serie (quasi) geometriche

in the first part are explained the principles of the new incremental method, and by the means of that the method of fluxions is more fully explained than has yet been done; it being shown how this method is deduced from the former, by taking the first and last ratios of the nascent and evanescent increments.

brook taylor

oggi ho scoperto una banalità che, come al solito, mi ha lasciato di stucco; peraltro, mi fa credere che la mia curiosità crescente per l'analisi non standard sia ben giustificata.

tutti sanno che la serie geometrica \sum z^k ha raggio di convergenza 1. è quindi facile dedurre che ponendo uguale a 0 il coefficiente per un numero finito di termini, il raggio di convergenza rimanga uguale a 1. cosa succede se facciamo lo stesso per un numero infinito di termini? il risultato, che è facile da dimostrare, è sorprendente. il raggio di convergenza è sempre 1, a meno che non rimangano solo un numero finito di coefficienti non nulli, nel qual caso diventa il raggio di convergenza è infinito, dato che la serie si riduce ad un polinomio

Teorema

Sia f: N -->N una funzione strettamente crescente. Allora la serie di potenze

\sum_n z^f(n)

ha raggio di convergenza pari a 1.

Dimostrazione

Si riscriva la serie come

\sum_n z^f(n)=\sum_k a_k z^k,

dove a_k=1 se esiste un (unico) n, con k=f(n) e a_k=0 altrimenti. Dato che a_k=1 oppure a_k=0 è evidente che la successione b_k:=\root[k] a_k assume come valori solamente 0 o 1, cosicchè si ha 0 =< limsup b_k =< 1.

D'altra parte, per la monotonia di f, il valore 1 è assunto infinte volte, per cui 1 è il limite superiore della successione b_k.

Usando la formula che lega il limite superiore di b_k al raggio di convergenza della serie associata, si ottiene dunque che il raggio di convergenza è pari a 1.