Quello che dobbiamo dimostrare è che uno spazio metrico completo non può essere espresso come unione numerabile di insiemi chiusi mai densi. Prima di cominciare la dimostrazione, chiediamoci cosa vuol dire. Un esempio facile si ottiene scegliendo il piano come spazio metrico completo; come distanza si scelga la distanza euclidea. Cos'è un insieme mai denso (vedi post precedente!) nel piano? Un tale insieme non può contenere una palla; intuitivamente, gli insiemi mai densi del piano sono varietà monodimensionali; ce ne ovviamente qualcuno in più, ma non molti. Quindi il teorema afferma che il piano non può essere decomposto, ad esempio, in un unione numerabile di segmenti; sembra banale, ma si pensi che non è necessario che i segmenti siano paralleli. Il teorema di Baire-Hausdorff assicura che non importa come si orientano i segmenti: non si riuscirà a ricoprire il piano con una quantità numerabile di essi.
Teorema di Baire-Haudorff
Uno spazio metrico completo non vuoto è di seconda categoria.
Dimostrazione
Dobbiamo dimostrare che non esiste una successione di insiemi chiusi e mai densi che ricopramo lo sapzio topologico completo X.
Come in tutte le dimostrazioni di inesistenza, l'unica possibilità risiede in una dimostrazione per assurdo (io e wiki).
Consideriamo allora una successione di insiemi chiusi mai densi M_n e assumiamo che la loro unione sia il nostro spazio topologico X.
La prima osservazione è che il complemento di M_1, che denotiamo C(M_1), è aperto e che quindi contiene una palla chiusa B_1 di centro x_1 e raggio r_1. Dato che M_1 è mai denso, il suo complemento è denso in X e quindi x_1 può essere scelto arbitrariamente vicino ad ogni punto di X. Questo sarà importante nel secondo passo! Il raggio lo scegliamo più piccolo di 0.5.
Come secondo passo notiamo che anche il complemento di M_2 è aperto e denso e quindi contiene una palla chiusa B_2, che per densità può essere scelta come avente centro x_2 all'interno di B_1. Il suo raggio lo scegliamo pari a (r_1)^2. Si noti che dato che r_1<0.5, tale sfera sarà contenuta nella precedente.
Ripetiamo quindi lo stesso ragionamento per ogni n e otteniamo una serie di palle, contenute l'una nell'altra. Per la disuguaglianza triangolare per la distanza di due centri x_p, x_q (per semplicità scegliamo p < q) vale
Dato che la serie converge, la distanza diventa piccola a piacere se p va a infinito, quindi i centri formano una successione di Cauchy.
Ora usiamo la completezza dello spazio e otteniamo che la successione dei centri converge verso un limite x.
Dato che ogni palla B_n è contenuta nella precedente B_{n-1}, se ne deduce che il limite x è in tutte le palle. Per vedere che vale questa affermazione si usi la disuguaglianza triangolare per osservare che
Dato che epsilon può essere scelto arbitrariamente piccolo mandando n a infinito, dato che le palle sono chiuse, e data l'arbitrarietà di m, se ne deduce che x è contenuto in ogni palla.
Adesso concludiamo: le palle erano contenute nei complementi C(M_n), quindi il limite x è contenuto in tutti i complementi C(M_n), in quanto elemento di ogni palla. Dunque non è contenuto in nessun M_n. Quindi abbiamo trovato un elemento di X che non è contenuto in nessun M_n.
Dato che però avevamo assunto che X è un unione degli M_n, abbiamo un assurdo!
Wow, finito... la dimostrazione è adatta da quella di Yosida in "Functional Analysis". A dire il vero non so come sia la dimostrazione originale di Baire. Mi riprometto di cercarlo, prima o poi.
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