Quello che vogliamo fare in uno spazio metrico è misurare distanze fra elementi di un insieme X: per fare questo utilizziamo una funzione a valori reali positivi, la distanza. Questa distanza associa ad ogni due elementi di X un numero reale maggiore o uguale a 0. In formule
Ovviamente, non tutte le funzioni di questo genere sono accettabili.
Richiediamo, infatti, qualche proprietà ulteriore. In primis, vogliamo che la distanza fra due elementi sia sempre maggiore di 0, se gli elementi sono distinti. In formule,
Questa richiesta (detta positiva definitezza) non è arbitraria come sembra; se infatti ci fossero elementi che hanno fra loro distanza 0, allora essi non possono essere distinti tramite questa funzione; essi rappresentano lo stesso punto dello spazio metrico che si ottiene identificando fra loro tutti i punti che hanno distanza 0.
La seconda richiesta è una richiesta di simmetria: la distanza percorsa da x verso y deve essere la stessa di quella da y verso x. In formule
In ultimo, richiediamo che il valore d(x,y) rappresenti la distanza minima fra x e y. Cioè che non esistano scorciatoie ottenute passando per un punto z. In altre parole,
Questa proprietà si chiama disuguaglianza triangolare.
Una funzione che soddisfi tutte le quattro richieste di cui sopra è detta una distanza; la coppia (X,d) è detta uno spazio metrico.
Già con questi pochissimi ingredienti, si può ottenere un divertente risultato.
Lemma
Sia d una metrica su X e f una funzione continua sui reali positivi cresecente, invertibile e concava, cioè tale che
Allora la composizione
è una metrica su X.Dimostrazione
Dato che f è invertibile e monotona crescente, vale f(0)=0 e f(x) > 0 per ogni x > 0. Quindi f(d(x,y)) = 0 se e solo se d(x,y)=0 se e solo se x=y. L'uguaglianza f(d(x,y))=f(d(y,x)) vale perchè d(x,y)=d(y,x).
Per mostrare che vale la disuguaglianza triangolare utilizziamo prima la monotonia e otteniamo
Quindi, grazie alla concavità
Q.e.d.
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