Più che spiegare la derivazione, che, come al solito, si trova qua, e forse più interessare spiegare cosa descrive.
Il punto di partenza è una particella singola che si muova sotto l'azione di un'equazione differenziale
Ovviamente, supponiamo che lo stato iniziale u(0) sia noto. Nell'equazione, s(t) è un segnale casuale che "disturba" il movimento della particella. Supponiamo adesso di avere un insieme di particelle identiche, tutte sottoposte alla stessa dinamica, e che NON interagiscono.
Chiamiando p(t,x) la distribuzione degli stati di queste particelle, possiamo supporre che p(t,x) sarà sottoposta ad una equazione dinamica che sia in qualche maniera derivabile dall'espressione di F e dalle statistiche di s.
Non è sembre possibile farlo, ma in alcuni casi si. Per esempio se s(t) è un rumore bianco e F=0, allora otteniamo un moto browniano, e la corrispondente equazione di Fokker-Planck è l'equazione di diffusione.
Se invece s(t) è un rumore bianco e F(u)=-Cu è una funzione lineare, allora otteniamo un processo di Ornstein–Uhlenbeck. L'equazione di Fokker-Planck è un'equazione di diffusione con un termine di primo grado.
Le cose diventano più complicate se s(t) non è un rumore bianco. Ma questi argomenti sono ben al di la di quanto possiamo trattare su un blog.
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