Processi puntuali con interazioni

Giovedì scorso ho tenuto la mia prima presentazione al BCCN.

Ciò su cui lavoro al momento è un'estensione non-lineare del modello di Hawkes per famiglie di processi puntuali che si influenzano a vicenda.

Un processo puntuale è una successione di tempi: se stiamo trattando un neurone, il processo puntuale sarà un modello dei tempi ai quali il neurone emette un potenziale d'azione. In un processo puntuale singolo la grandezza più significativa è l'intensità condizionata.

L'intensità condizionata è la probabilità al tempo t di avere un evento, dato che l'ultimo evento si sia verificato a t-T. Nel modello lineare di Hawkes, eventi di un processo puntuale producono un aumento nell'intensità condizionata di un altro processo puntuale, che poi ritorna lentamente alla sua intensità condizionata originale. Ovviamente, il primo processo influenza il secondo nella stessa maniera.

Il problema è che questo modello non permette interazioni inibitorie fra processi. Se il primo processo abbassasse di un certo livello l'intensità condizionata del secondo, allora si correrrebbe il rischio di un'intensità condizionata minore di 0, che è assurdo, dato che è una probabilità.

La soluzione, allora, è quella di far si che l'abbassamento dell'intensità condizionata dipenda dal livello attuale, in maniera da evitare che vada sotto zero. La maniera più semplice di realizzare questo meccanismo è una regola moltiplicativa. Questo è esattamente quello che faccio io: processi puntuali che interagiscono moltiplicativamente.