MCCN VII

Giovedì scorso abbiamo incominciato ad occuparci di reti. La prima cosa che abbiamo discusso è il principio di autoconsistenza.

Il principio di autoconsistenza per reti è in qualche maniera simile al principio di autoconsistenza di Novikov per la risoluzione del viaggio nel tempo. Lì si richiede che l'effetto di un'azione sia consistente con la sua causa, in quello per reti si richiede che l'output di un'unità sia consistente col suo input.

Il p.d.a. si può formulare nella maniera seguente. Per prima cosa ci serve il concetto di rete computazionale. Questo è un oggetto costruito nella seguente maniera. I nodi sono delle funzioni che trasformano una variabile di stato (che consideriamo essere nello stesso spazio per tutti i nodi) in un output, eventualmente in maniera probabilistica. L'output è sempre nello stesso spazio per tutti i nodi.

I lati e i loro pesi sono specificati da una certa matrice di connessione. Ogni nodo possiede anche una funzione di input che trasforma gli output di altre unità in una variazione della propria variabile di stato.

Poniamo le variabili di stato in uno stato iniziale. Procediamo quindi per tempi discreti. Al tempo 1 questo viene trasformato in un output, che diventa un input per le altre unità. Questo input viene utilizzato per aggiornare le variabili di stato. A questo punto siamo pronti per il tempo 2 e così via iterando.

Esistono stati stazionari di una rete computazionale? Come si trovano?

Si noti che l'output al tempo n+1 è una funzione dell'input al tempo n, che a sua volta una funzione dell'output al tempo n. In formule

O[n+1]=F(I[n])=G(O[n])

Se input e output sono stazionari otteniamo il sistema

O=F(I), I=G(0)

Questa è la prima equazione di autoconsistenza, dove I e O sono vettori. Si noti che abbiamo soppresso (barando) la dipendenza dalla variabile di stato, e quindi l'equazione non aiuta molto, di solito. Supponiamo adesso che la rete sia omogenea, cioè che le funzioni di input e output e le connessioni siano tutte uguali fra loro, o, alternativamente, scelte in maniera indipendente dalla stessa distribuzione. Allora l'equazione vettoriale precedente si riduce ad una equazione scalare, eventualmente per i valori attesi nel caso probabilistico. Inoltre si ha che l'input è identico all'output e quindi si ottiene la seconda equazione di autoconsistenza

O=F(X,O)

dove abbiamo ripristinato la dipendenza dalla variabile di stato.