Il teorema del limite centrale è quella legge che afferma che la somma di variabili casuali i.i.d. converge ad una distribuzione normale. La dimostrazione si può trovare dappertutto: non è difficile, e sono richiesti alcuni ingredienti.
Uno lo voglio spiegare oggi.
Ingrediente 1: la funzione caratteristica e i momenti di una variabile casuale
La funzione caratteristica di una variabile casuale X è definita tramite
Se X ha una densità, allora la funzione caratteristica altro non è che la trasformata di Fourier della densità. Sfruttando il fatto che si possono scambiare integrale e derivata facciamo questo piccolo calcolo:
Si vede che il valore atteso di X è la derivata in 0 della funzione caratteristica moltiplicato per -i. Integrando analogamente e inducendo, si ottiene la famosa formula
Per completezza elenco gli ingredienti necessari a comprendere la dimostrazione classica del teorema del limite centrale.
Ingrediente 2: la formula di Eulero per la definizione di e. Cioè la prima caratterizzazione qui.
Ingrediente 3: lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione.
Ingrediente 4: il fatto che la distribuzione normale è invariante sotto l'azione della trasformata di Fourier. Questo è un mistero che ricorre in tutte le parti della matematica.
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