apologia

meglio tardi che mai

mio nonno

la matematica è una cosa strana: m si studia per anni e anni un argomento, e non si capisce mai quale ne sia il senso, e lo si disprezza, e ci si dice "si, dovrei studiare anche questo", ma non se ne ha voglia e si cerca di evitare.

fino a quando, un giorno, d'improvviso, mentre si cerca di dimostrare un risultato per la densità spettrale di sequenze di potenziali d'azioni, si viene fulminati dal vero significato della vita.

in questo caso, delle variabili aleatorie.

consideriamo un insieme finito di numeri reali A=(a_1, ... , a_k). si definisca adesso una successione tramite



in pratica percorriamo tutti gli a_j dal primo all'ultimo, e poi ricominciamo. è evidente che tale successione non converge: ha esattamente k punti di accumulazione. tuttavia, se consideriamo il limite secondo cesaro, di cui ho parlato anche l'ultima volta, allora si vede subito che



in realtà, si vede subito che non è necessario definire la successione in tale maniera artificiosa. come prima generalizzazione si scelga ad ogni "giro" un nuovo ordine in cui vengono assunti i valori. si vede, quindi, che è possibile definirla in una maniera arbitraria, purchè la densità relativa che i valori valori a_j sia uguale. se le densità sono diverse (si noti che non ho ancora definito cos'è questa densità e che non lo farò), allora il limite secondo cesaro altro non sarà che una media pesata, dove il peso altro non è che la densità del valore in questione.

ora, supponiamo di non volerci fissare su una specifica, per quanto arbitraria, scelta dell'ordine dei valori assunti dalla successione. vogliamo lasciare la massima libertà, e scegliere una successione in maniera in parte algoritmica cioè deterministica, e in parte casuale, cioè stocastica.

per ogni n scegliamo un numero a caso fra gli elementi di A, purchè alla fine (per n grande) siano rispettate le densità relative. cosa abbiamo fatto? non abbiamo fatto altro che definire una successione indipendente di variabili aleatorie X, ognuna di esse avente la seguente distribuzione: con probabilità p_j pari alla densità del numero in questione, viene assunto il valore a_j.

per capire la connessione tra limite secondo cesaro e il valore atteso si consideri ogni successione scelta secondo tale algoritmo come una particolare realizzazione di questa successione di variabili aleatorie. il limite secondo cesaro di tale realizzazione esiste ed è uguale al valore atteso della variabile aleatoria. cioè, indicando con X tale variabile aleatoria,



qua si vede il vantaggio dell'approccio stocastico: non è necessario fermarsi a variabili aleatorie a valori in un insieme finito, o numerabile. si può assumere che la variabile aleatoria abbia valori reali. e mentre nel caso numerabile sarebbe possibile definire la successione in questione in maniera algoritmica, dato che è possibile assegnare ad ogni valore che può assumere X una densità finita maggiore di 0, ciò diventa impossibile nel caso continuo, rendendo necessario il ricorso al concetto di variabile aleatoria.

prima o poi devo spiegare cosa ha che fare tutto ciò con la densità spettrale di una popolazione neuronale.