sinapsi, catene di markov multiple e limiti secondo cesaro

i have never done anything 'useful'. no discovery of mine has made, or is likely to make, directly or indirectly, for good or ill, the least difference to the amenity of the world

g. h. hardy

in questi giorni discutevo con un ragazzo di friburgo, che sta studiando un modello di sinapsi per il riconoscimento locale di correlazioni. fra gli altri problemi che deve risolvere, me ne ha presentato uno, per lui statistico, per me di analisi funzionale, che vi presento in una forma lievemente modificata.

il nostro scenario è il seguente: ci sono una certa quantità di particelle che si muovono in uno spazio-tempo discreto. ad ogni step temporale si muovono dallo stato i allo stato j con probabilità a_{ij}. con questi a_{ij} si può formare una matrice, detta matrice di transizione. la nostra situazione è però un po' più complicata. ad ogni step temporale, si sceglie la matrice di transizione da un insieme di M matrici transizione, secondo un certo vettore di probabilità p=(p_k). per comodità diamo un nome a queste matrici di transizione



la domanda che ci poniamo: esiste, ed in che senso, una distribuzione limite delle particelle? più precisamente ci si chiede se il limite



esista ed a che condizioni.

se avessimo a che fare con una singola matrice di transizione, assumendo che essa sia primitiva, cioè che le sue potenze convergano ad una proiezione unidimensionale, cioè che l'unico autovalore sul cerchio unitario sia 1 e che abbia dimensione dell'autospazio relativo pari a 1, allora si dimostra facilmente che la probabilità che una particella x si trovi nello stato j converge verso



qui v è uno qualsiasi degli autovettori nell'autospazio relativo all'autovalore 1. si potrebbe dunque pensare che nel caso di M matrici di transizione il tutto si comporti come se la matrice di transizione fosse



qui p è il vettore di probabilità le cui componenti p_k sono le probabilità con cui A_k viene scelta in uno step temporale.

simulando al computer (per un numero alto ma fisso di particelle e di iterazioni) questo sistema dinamico discreto abbiamo subito notato che non erà così, ma che lo era solo se si faceva la media di varie simulazioni. mentro ero in bicicletta ho capito perchè: facendo la media su varie simulazioni non facevamo altro che passare dal limite della distribuzione di probabilità, che evidentemente non esiste a a causa delle oscillazioni dovute al passare da una catena di markov all'altra, al limite secondo cesaro che, altrettanto ovviamente, esiste.

la cosa più divertente è che quando ho tentato di spiegare al mio collega, fisico, che stavamo tentando di calcolare un limite che non esiste, lui non riusciva a capacitarsi di questo fenomeno...