Teoremi di Baire (IV)

Il teorema di Baire ha delle applicazioni sorprendenti: sapevate che esistono funzioni continue che non possiedono una derivata in nessun punto?

Ecco come si fa a dimostrarlo. Si denoti con Df(x,h) il rapporto incrementale destro della funzione f, al punto x di lunghezza h e si consideri lo spazio C delle funzioni continue sull'intervallo [0,1].

Ora definiamo una famiglia numerabile di insiemi tramite:



Non spaventatevi! Lo riformulo a parole:

A_n è l'insieme delle funzioni continue i cui rapporti incrementali di lunghezza massima 1/n sono limitati da n in almeno in un punto distante non più di 1/n da 1.

Dubito che sia più facile scritto in questa maniera: voglio solo far vedere che non c'è nessuna matematica esoterica nella definizione.

Si noti che unendo tutti gli A_n si ottengono le funzioni che hanno in almeno in un punto un rapporto incrementale destro limitato. In particolare, le funzioni differenziabili in almeno un punto sono contenute in questa unione.

Voglio dimostrare aesso che tutti gli A_n sono insiemi chiusi e mai densi nell'insieme delle funzioni continue.

È un po' tecnico dimostrare che gli A_n sono tutti insiemi chiusi, ma ce lo si può aspettare, osservando che appaiono solo insiemi chiusi in tutte le definizioni. Crediamo che valga e andiamo alla parte divertente.

Dimostriamo per assurdo che nessuno degli A_n contiene un intorno.

Supponiamo che per un certo A_n esista f in A_n, tale che un intera sfera di centro f e raggio r sia contenuta in A_n. Approssimiamo f con un polinomio P a distanza minore di r/2.

Ora consideriamo una funzione L, lineare a tratti (una "funzione a denti di sega"). Si osservi che possiamo far crescere arbitrariamente i rapporti incrementali di tale funzione mantenendone invariata la norma dell'estremo superiore, diciamo inferiore a r/2.

Adesso, da una parte F + L dista da f meno di r e quindi è in A_n. Dall'altro, i suoi rapporti incrementali possono essere fatti crescere indefinitamente tramite un'opportuna scelta di L, e quindi non può essere in A_n.

La nostra ipotesi era che esistesse un A_n che non fosse mai denso, e quindi abbiamo dimostrato che tutti gli A_n sono mai densi.

Concludendo, abbiamo fatto vedere che l'insieme delle funzioni differenziabili in almeno un punto sono un sottoinsieme dell'unione numerabile di insiemi mai densi. In particolare, per Baire questo insieme è esso stesso mai denso nelle funzioni continue.

Non solo ci sono funzioni continue mai differenziabili: esse sono quasi tutte le funzioni continue!