ex congettura

an enticing game is to choose the basis so as to make the matrix as simple as possible.

paul halmos

qui avevo formulato una congettura. ebbene, tale congettura è falsa. Infatti vale il seguente lemma:

Lemma

La matrice di incidenza di un grafo è un operatore limitato su l^2 se e solo se il grafo è uniformemente localmente finito.

la dimostrazione è un calcolo semplice in ambo le direzioni (una la devo a d.m.). la cosa divertente è che tutto ciò ha lo stesso aroma del capitolo di "a hilbert space problem book" di halmos, nel capitolo dove discute di matrici infinite. in particolare assomiglia ad un lemma di toeplitz che afferma che se A è un operatore su l^2, allora esiste una rappresentazione matriciale dove ogni colonna contiene solo un numero finito di elementi diversi da 0.

ed anche oggi ho un intrattieni...