Teoria alfa - composizione

Come promesso, continuo la mia discussione sulla teoria alfa.

Oggi parliamo della composizione di funzioni.

ASSIOMA DI COMPOSIZIONE

Siano f e g due successioni di reali e sia F una funzione tale che esistono F(f)(n) e F(g)(n). Allora f(Q)=g(Q) implica F(f)(Q)=F(g)(Q).

Qualche commento. Il primo: l'assioma afferma che F(f)(Q) dipende solo dal valore in Q di f. Quindi si può candidamente scrivere F(f(Q)) senza sbagliare.

Secondo commento: il nostro obiettivo è quello di scrivere e usare espressioni del tipo sin(Q²). Se si interpretasse sin(Q²) come il limite di sin(n²), allora il tutto non avrebbe senso, in quanto il limite si sin(n²) non esiste.

Con l'assioma di composizione possiamo dare un'ulteriore spiegazione del fatto che f(Q) non è il limite di f. Consideriamo le due successioni f(n)=(4n+1)p/2 e g(n)=4np/2. Evidentemente, sia f che g vanno ad infinito. Quindi se interpretassimo sin(Q) semplicemente come il valore di sin all'infinito, si dovrebbe avere sin(f(Q))=sin(g(Q)).

Tuttavia sin(f(n))=1 differisce da sin(g(n))=0 per ogni n. Quindi, per il secondo assioma di estensione, sin(f)(Q) deve essere diverso da sin(g)(Q).

Tutto questo accade perchè f(Q) non è Q, come accadrebbe se Q venisse interpretato semplicemente come un'altra maniera di dire "infinito", ma bensì f(Q)=(4Q+1)p/2, mentre g(Q)=4Qp/2. Per cui sin(f(Q))=sin((4Q+1)p/2) mentre sin(g(Q))=sin(4Qp/2) e non è nessun motivo per cui essi debbano essere uguali.

Non è difficile immaginare il valore di sin(f(Q)) e quello di sin(g(Q)), ma questo è per la prossima volta, fra 10 giorni.