L'idea di Benci e di Di Nasso nel costruire la semplificazione dell'analisi non standard di cui parlavo precedentemente, consiste nel costruire un'estensione del campo dei numeri reali in maniera analoga a quello che si fa coi numeri complessi. In quel caso si aggiunge al campo dei reali l'unità i, che ha la proprietà i²=-1, e poi si completa il campo dichiarando le operazioni che si possono fare con questo nuovo elemento i.
Per esempio si dichiara che è possibile sommare un reale e i, o di moltiplicare un reale e i, per cui tutti i numeri del tipo a i + b i sono numeri del nostro nuovo sistema.
Nel nostro caso, chiamiamo la nuova unità Q. Il nostro campo dei numeri iperreali sarà quindi formato dai numeri reali, da Q, e da tutto quello che si ottiene applicando a Q le regole che permettono di manipolarlo.
Analogamente al caso dei numeri immaginari, dobbiamo elencare quali sono le regole con le quali Q viene manipolato. Oggi discuteremo le due prime ragole: i due assiomi di estensione.
ASSIOMI DI ESTENSIONE
1) Se f è una successione di reali, allore f può essere estesa in maniera unica nel punto Q.
Si può tenere a mente che Q è come un numero naturale, ma inifinitamente grande. Si potrebbe allora pensare che f(Q) è il limite di f. Questo non è completamente esatto, perchè vale:
2) Se f e g sono due successioni tali che f(n) differisce da g(n) per ogni n, allora f(Q) differisce da g(Q).
Facciamo adesso un esempio; consideriamo f(n)=1/n e g(n)=2/n. Per prima cosa notiamo che, per il primo assioma di estensione f(Q) e g(Q) esistono. Denotiamoli, per ovvi motivi 1/Q e 2/Q.
Per il secondo assioma di estensione, si ha che 1/Q è diverso da 2/Q.
Sarebbe interessante verificare che 2/Q=2 1/Q, ma questo è impossibile con gli assiomi scelti fino ad ora.
Per esempio si dichiara che è possibile sommare un reale e i, o di moltiplicare un reale e i, per cui tutti i numeri del tipo a i + b i sono numeri del nostro nuovo sistema.
Nel nostro caso, chiamiamo la nuova unità Q. Il nostro campo dei numeri iperreali sarà quindi formato dai numeri reali, da Q, e da tutto quello che si ottiene applicando a Q le regole che permettono di manipolarlo.
Analogamente al caso dei numeri immaginari, dobbiamo elencare quali sono le regole con le quali Q viene manipolato. Oggi discuteremo le due prime ragole: i due assiomi di estensione.
ASSIOMI DI ESTENSIONE
1) Se f è una successione di reali, allore f può essere estesa in maniera unica nel punto Q.
Si può tenere a mente che Q è come un numero naturale, ma inifinitamente grande. Si potrebbe allora pensare che f(Q) è il limite di f. Questo non è completamente esatto, perchè vale:
2) Se f e g sono due successioni tali che f(n) differisce da g(n) per ogni n, allora f(Q) differisce da g(Q).
Facciamo adesso un esempio; consideriamo f(n)=1/n e g(n)=2/n. Per prima cosa notiamo che, per il primo assioma di estensione f(Q) e g(Q) esistono. Denotiamoli, per ovvi motivi 1/Q e 2/Q.
Per il secondo assioma di estensione, si ha che 1/Q è diverso da 2/Q.
Sarebbe interessante verificare che 2/Q=2 1/Q, ma questo è impossibile con gli assiomi scelti fino ad ora.
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