Time rescaling

Leggendo un articolo su Neural Computation mi sono accorto che gli autori utilizzano un trucco molto interessante.

Supponiamo di avere un sistema S che ad ogni input i associa un output S(i).
Supponiamo ulteriormente che i che si evolva a causa della legge di/dt= F(i(t)).

Sarebbe interessante scrivere S direttamente in funzione del tempo, cioè passare dalla variabile i(t) ad una variabile u che abbia la stessa dimensione del tempo reale, in maniera da poter scrivere S(u) come se u fosse la variabile indipendente temporale.

Detto in altre parole, quello che voglio fare è trovare una trasformazione T dell'input, tale che u=T(i(t)) e du/dt=1. A quel punto, se scrivo formalmente S(u) posso trattare u direttamente come un parametro temporale, dato che la derivata temporale di u è costantemente uguale a 1.

È difficile da fare? Beh no... basta osservare che da una parte

du/dt = T'(i(t)) di/dt = T'(i(t)) F(i(t))

ma dall'altra

du/dt=1

per cui

T'(i(t))= 1/F(i(t))

Cioè la trasformazione T è semplicemente un integrale indefinito di 1/F!