Da oggi comincerò ad aggiornare il compendio di matematica per il corso di Neuroscienze Computazionali di cui curo le esercitazioni.
L'esercizio più divertente di oggi riguarda il fatto che sistemi dinamici discreti lineari possono essere "sensibili" ad alcuni sottospazi.
Soluzioni lineari a problemi non lineari
Fissiamo una retta R e un vettore v di C^n. C'è una maniera algoritmica, iterativa che permetta di calcolare il vettore u su R che sia più vicino a v?
Ecco la soluzione "dinamica": si costruisca una matrice M che abbia come autospazio per l'autovalore 1 esattamente la retta R e tale che tutti gli altri autovalori siano in valore assoluto minori di 1. Allora non è difficile far vedere che le potenze M^n applicate a v convergono esattamente ad u.
Ovviamente il problema sta nel trovare una M con le proprietà richieste. Altrettanto ovviamente, risolvere questo problema è, purtroppo, esattamente equivalente al problema di trovare u direttamente...
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