sabato, febbraio 07, 2009

NSA e assioma della scelta

Ieri ho scoperto una cosa veramente interessante leggendo questo libro. E cioè che l'analisi non standard è indipendente dall'assioma della scelta, e necessità solo dell'esistenza di ultrafiltri.

Dato che quest'ultima è più debole dell'assioma della scelta stessa, e che i teoremi dell'analisi non standard possono essere provati anche nell'analisi standard, ne consegue che, se di un teorema esiste una dimostrazione non standard, allora il teorema stesso dipende solo dall'esistenza di ultrafiltri, e non dall'assioma della scelta.

Un altro motivo per studiarla, l'analisi non standard.

5 commenti:

tomate ha detto...

Affascinante. Com'è il rapporto con l'analisi standard, più debole, più forte o semplicemente diversa? Sarebbe interessante se l'assioma della scelta potesse essere abbandonato. Per esempio, cosa succede al paradosso di Banach-Tarsky e l'insieme di Vitali con le ultrafiltrazioni?

Lap(l)aciano ha detto...

Non conosco bene i dettagli; per quanto è possibile provare che se un teorema vale nell'analisi non standard allora vale in quella standard. Cioè NSA è più debole, che poi è ovvio perchè non usa l'assioma della scelta.

Quanto all'insieme di Vitali: cercando un po' sulla rete, pare che qua

Solovay R. M. (1970) A Model of Set Theory in Which Every Set of Reals is Lebesgue Measurable. Annals of Mathematics 92:21–56

ci dovrebbe essere la dimostrazione del fatto che senza l'assioma della scelta, è possibile assegnare una misura a tutti i sottoinsiemi di R^n.

Quanto a BT, è istruttivo leggere l'articolo inglese di Wiki.

Se ti interessa veramente, posso guardare nel Davis che riferimenti bibliografici da per la questione degli ultrafiltri.

tomate ha detto...

No, non preoccuparti, non avrei tempo di leggere...

tomate ha detto...

In effetti Wiki riporta ...the Banach-Tarski paradox follows from ZF plus the Hahn-Banach theorem. The Hahn-Banach theorem doesn't rely on the full axiom of choice but can be proved using a weaker version of AC called the ultrafilter lemma.

Anonimo ha detto...

ti avviso che la discussione sui reali prosegue e che qualcuno sapeva come abbonarsi ai feed dei commenti
saluti
tomate