è un'anfora di energia cosmica... ed è puntata contro di me!
crystalqualche giorno fa, scrivendo la tesi, ho fatto una divertente osservazione riguardante grafi infiniti. partiamo dal caso finito e immaginiamo di avere una stella con un numero finito di punte, cioè un punto da cui si dipartono un numero finito di segmenti. su ognuno di questi segmenti abbiamo un'equazione di schrödinger che governa una funzione d'onda. supponiamo che non ci sia assorbimento ne eccitazione nel punto centrale, cioè che tutti gli elettroni che arrivano al centro possano proseguire.
la cosa migliore per studiare questo problema è scrivere il
funzionale dell'energia, che altro non è che l'integrale su tutta la stella del gradiente quadrato della funzione d'onda; alle funzioni sui diversi lati si impone solamente che esista la derivata e che abbiano un valore comune al centro. questo ansatz funziona, e l'operatore associato a questo funzionale dell'energia è quello giusto.
ancora meglio: in questo caso, l'equazione di schödinger ha tutte le proprietà possibili e immaginabili, e, per riassumere in poche parole, è quasi indistinguibile da un'equazione di schrödinger su un dominio. in particolare, se la funzione d'onda è concentrata su un segmento, allora si espanderà in tutti gli altri.
nel caso la stella abbia infiniti lati. accade qualcosa di strano: il nodo centrale si comporta come se fosse imposta una condizione di dirichlet. in pratica, è un buco nero che inghiotte tutti gli elettroni che vengono a trovarsi li.
una spiegazione intuitiva è la seguente: immaginate di essere un elettrone in procinto di attraversare il nodo centrale. per simmetria avete una probabilità identica di passare ad ogni altro lato. dato che i lati sono infiniti, questa identica probabilità è 0, è così venite risucchiati da un vortice extradimensionale. amen.
ps: per altro: così si possono intrappolare funzioni d'onda in un lato prefissato.
l'insieme dei nodi distanti n da v.
