definiscimi una libreria
d.m.
altrettanto che da gödel, sono in questo periodo ossessionato dal concetto di definizione. in particolare mi disurba l'impossibilitá di definire con precisione fabbricati umani. per esempio, non mi pare che sia possibile definire con esattezza il concetto, ad esempio, di "libreria". o di "tavolo". o di qualsiasi altra cosa sia stata prodotta nel mondo fisico dall'uomo.
in realtá, come ho giá fatto notare in precedenza, mi risulta difficile definire con precisione anche oggetti fisici non prodotti dall'uomo. in generale mi irrita non essere in grado di dire la realtá sensibile che mi circonda. non di spiegarla: chiamarla per nome mi risulta giá ostico.
gli unici oggetti della cui definizione possa dirmi soddisfatto sono quelli matematici. forse é per questo che tendo ad attribuire loro una esistenza certa e indubitabile.
venerdì, giugno 08, 2007
giovedì, giugno 07, 2007
gödel (II)
there are more things in heaven and earth, horatio,
than are dreamt of in your philosophy.
hamlet
riguardo al teorema di gödel, c'é un`altra questione che mi stupisce, probabilmente perché sono un analista e non un logico.
ogni sistema assiomatico ha evidentemente infinite proposizioni indecidibili. tuttavia, aggiungere una proposizione, o la sua negazione, al sistema assiomatico, restringe immediatamente il campo di queste proposizioni indecidibili. questa operazione é evidentemente associativa, nel senso che il sistema assiomatico A U {p,q} ha lo stesso campo di proposizioni indecidibili che A U {p} U {q}.
in pratica, nonostante si possano aggiungere assiomi uno alla volta, man mano che si trovano nuove proposizioni indecidibili, tuttavia un sistema assiomatico completo - che definisco adesso come il limite di un tale processo - é un insieme e non una successione di assiomi.
than are dreamt of in your philosophy.
hamlet
riguardo al teorema di gödel, c'é un`altra questione che mi stupisce, probabilmente perché sono un analista e non un logico.
ogni sistema assiomatico ha evidentemente infinite proposizioni indecidibili. tuttavia, aggiungere una proposizione, o la sua negazione, al sistema assiomatico, restringe immediatamente il campo di queste proposizioni indecidibili. questa operazione é evidentemente associativa, nel senso che il sistema assiomatico A U {p,q} ha lo stesso campo di proposizioni indecidibili che A U {p} U {q}.
in pratica, nonostante si possano aggiungere assiomi uno alla volta, man mano che si trovano nuove proposizioni indecidibili, tuttavia un sistema assiomatico completo - che definisco adesso come il limite di un tale processo - é un insieme e non una successione di assiomi.
martedì, giugno 05, 2007
pausa con excursus
di piè' sol temo, non alcun feace mi superi nel corso
odisseo
oggi sono venuto di corsa all'universitá e ho notato ancora una volta un fenomeno che mi affascina. premessa: la strada da casa all'universitá é in salita, e quindi faticosa. seconda premessa: spesso, quando corro, i miei pensieri divagano su ogni possibile tema, non ultimo: la matematica.
in questi momenti di distrazione la fatica si fa sempre sentire con maggiore intensitá. soprattutto quando i miei pensieri sono raffigurazioni precise di altre attivitá, fisiche o meno. come se questo desincronizzasse tutto il programma di corsa presente nel mio cervello.
peraltro, é sufficiente che io mi raffiguri mentalmente l'atto della corsa, insomma, che mi concentri su di essa, per far sparire quella sensazione di lieve fatica.
odisseo
oggi sono venuto di corsa all'universitá e ho notato ancora una volta un fenomeno che mi affascina. premessa: la strada da casa all'universitá é in salita, e quindi faticosa. seconda premessa: spesso, quando corro, i miei pensieri divagano su ogni possibile tema, non ultimo: la matematica.
in questi momenti di distrazione la fatica si fa sempre sentire con maggiore intensitá. soprattutto quando i miei pensieri sono raffigurazioni precise di altre attivitá, fisiche o meno. come se questo desincronizzasse tutto il programma di corsa presente nel mio cervello.
peraltro, é sufficiente che io mi raffiguri mentalmente l'atto della corsa, insomma, che mi concentri su di essa, per far sparire quella sensazione di lieve fatica.
lunedì, giugno 04, 2007
realtá
La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.»
Galileo Galilei
in realtá io non sono tanto d'accordo con galileo. pur essendo convinto dell'esistenza oggettiva delle idee matematiche, mi sembra che il mondo non sia scritto in lingua matematica.
il problema, a mio parere, é che non mi pare possibile trovare una definizione univoca per la maggior parte delle entitá fisiche. piú precisamente: quando é possibile trovarla, é molto spesso necessario far perdere a tali oggetti la loro identitá. il mio grave problema é che mi risulta giá quasi impossibile trovare un esempio di numeri naturali nella realtá fisica, che prescinda dalla descrizione matematica di un certo particolare fenomeno.
persino le unitá matematiche di base, i numeri naturali, non hanno rispondenza nella realtá fisica, ma sono puri oggetti matematici, che noi utilizziamo per descrivere questa realtá.
faccio un esempio: l'elettrone. gli esperimenti di doppia fenditura mostrano come non sia possibile pensare ad un elettrone in termini classici. peraltro, é difficile parlare di un singolo elettrone, nel senso che non é possibile localizzarlo con precisione a cause della relazione di indeterminazione. inoltre sappiamo da molti anni che l'unica descrizione matematica dell'elettrone é tramite una funzione d'onda. in pratica, mi sembra illeggittimo parlare di un singolo elettrone - e quindi di n singoli elettroni.
a dire il vero, l'unico momento dove vedo una qualche possibilitá di definire un oggetto singolo, ben separato dalla realtá circostante, é nel caso di un'entitá cosciente. io sono io, e sono benissimo in grado di distinguere ció che sono io, da ció che non sono. questo peró é troppo filosofico per un matematico...
Galileo Galilei
in realtá io non sono tanto d'accordo con galileo. pur essendo convinto dell'esistenza oggettiva delle idee matematiche, mi sembra che il mondo non sia scritto in lingua matematica.
il problema, a mio parere, é che non mi pare possibile trovare una definizione univoca per la maggior parte delle entitá fisiche. piú precisamente: quando é possibile trovarla, é molto spesso necessario far perdere a tali oggetti la loro identitá. il mio grave problema é che mi risulta giá quasi impossibile trovare un esempio di numeri naturali nella realtá fisica, che prescinda dalla descrizione matematica di un certo particolare fenomeno.
persino le unitá matematiche di base, i numeri naturali, non hanno rispondenza nella realtá fisica, ma sono puri oggetti matematici, che noi utilizziamo per descrivere questa realtá.
faccio un esempio: l'elettrone. gli esperimenti di doppia fenditura mostrano come non sia possibile pensare ad un elettrone in termini classici. peraltro, é difficile parlare di un singolo elettrone, nel senso che non é possibile localizzarlo con precisione a cause della relazione di indeterminazione. inoltre sappiamo da molti anni che l'unica descrizione matematica dell'elettrone é tramite una funzione d'onda. in pratica, mi sembra illeggittimo parlare di un singolo elettrone - e quindi di n singoli elettroni.
a dire il vero, l'unico momento dove vedo una qualche possibilitá di definire un oggetto singolo, ben separato dalla realtá circostante, é nel caso di un'entitá cosciente. io sono io, e sono benissimo in grado di distinguere ció che sono io, da ció che non sono. questo peró é troppo filosofico per un matematico...
sabato, giugno 02, 2007
gödel (I)
Se due linee sono disegnate in modo da intersecarne una terza in modo che la somma degli angoli interni, da un lato, sia minore di due angoli retti, allora le due linee si intersecheranno tra loro dallo stesso lato se sufficientemente prolungate.
euclide
in questo periodo sono ossessionato (di nuovo) dal teorema di incompletezza di gödel.
una delle cose che mi da piú fastidio al riguardo: se ne parla sempre, dichiarando che secondo questo meraviglioso teorema, ci sono proposizioni matematiche vere che non possono essere dimostrate (lascio perdere i dettagli).
ora, questa formulazione é sbagliata. grottenfalsch, direbbero i tedeschi. in matematica é vero solo ció che é dimostrabile. non c'é una definizione di veritá che prescinda da quella di dimostrabilitá.
ció che dice veramente il teorema di gödel é che ci sono proposizioni matematiche che in un dato sistema di assiomi non sono né vere, né false. un esempio semplice: si prendano i primi 4 postulati di euclide. riguardo al sistema assiomatico generato dai primi quattro, il quinto é una proposizione di gödel, nel senso che non é né vero né falso nel sistema matematico generato dai primi quattro postulati. per inciso: cosí sono nate le geometrie non euclidee.
euclide
in questo periodo sono ossessionato (di nuovo) dal teorema di incompletezza di gödel.
una delle cose che mi da piú fastidio al riguardo: se ne parla sempre, dichiarando che secondo questo meraviglioso teorema, ci sono proposizioni matematiche vere che non possono essere dimostrate (lascio perdere i dettagli).
ora, questa formulazione é sbagliata. grottenfalsch, direbbero i tedeschi. in matematica é vero solo ció che é dimostrabile. non c'é una definizione di veritá che prescinda da quella di dimostrabilitá.
ció che dice veramente il teorema di gödel é che ci sono proposizioni matematiche che in un dato sistema di assiomi non sono né vere, né false. un esempio semplice: si prendano i primi 4 postulati di euclide. riguardo al sistema assiomatico generato dai primi quattro, il quinto é una proposizione di gödel, nel senso che non é né vero né falso nel sistema matematico generato dai primi quattro postulati. per inciso: cosí sono nate le geometrie non euclidee.
venerdì, giugno 01, 2007
strutture
schiri, ich stand im abseits
die bild zeitung
la nuova campagna della bild zeitung é geniale. non per l'originalitá dei contenuti, ovviamente. ma per l'omoegeneitá dello stile.
tutti i cartelloni che ho visto fino ad ora ("mutti, du kannst nicht kochen", "chef, sie sind nicht witzig", "schatz, ich habe dich betrogen") hanno una struttura precisissima: riassumbile in *vocativo*, *pronome* *verbo* *oggetto (composto di due parole)*. solo "ja, dein hintern ist zu dick" sfugge a questa ferrea logica populistica.
il mio prof. a tübingen sarebbe felice: dietro il fenomeno si intravede una struttura...
die bild zeitung
la nuova campagna della bild zeitung é geniale. non per l'originalitá dei contenuti, ovviamente. ma per l'omoegeneitá dello stile.
tutti i cartelloni che ho visto fino ad ora ("mutti, du kannst nicht kochen", "chef, sie sind nicht witzig", "schatz, ich habe dich betrogen") hanno una struttura precisissima: riassumbile in *vocativo*, *pronome* *verbo* *oggetto (composto di due parole)*. solo "ja, dein hintern ist zu dick" sfugge a questa ferrea logica populistica.
il mio prof. a tübingen sarebbe felice: dietro il fenomeno si intravede una struttura...
giovedì, maggio 31, 2007
scimmie e bambini
in computer science, reinforcement learning is a sub-area of machine learning concerned with how an agent ought to take actions in an environment so as to maximize some notion of long-term reward.
wikipedia
stavo notando una cosa. quando per un esperimento neurologico si addestrano scimmie per eseguire qualche compito, la procedura é piú o meno sempre la stessa. si mette la scimmia in un ambiente in cui probabilmente eseguirá il compito, e se lo fa, allora le si dá un po di succo d'arancia. lei, la scimmia intendo, dopo un po' capirá che ogni volta che esegue il suo compito, ottiene del succo d'arancia, e comincerá, furbescamente, ad imparare ad eseguire il compito desiderato alla perfezione. ora, se siamo stati in grado di capire come addestrare le scimmie (e faccio notare che possiamo in questo modo addestrarle a compiere attivitá che noi stessi potremmo non essere in grado di compiere, é sufficiente che sappiamo giudicare i risultati), perché esiste ancora il concetto di "vis modica"? sono forse i bambini piú cretini delle scimmie?
wikipedia
stavo notando una cosa. quando per un esperimento neurologico si addestrano scimmie per eseguire qualche compito, la procedura é piú o meno sempre la stessa. si mette la scimmia in un ambiente in cui probabilmente eseguirá il compito, e se lo fa, allora le si dá un po di succo d'arancia. lei, la scimmia intendo, dopo un po' capirá che ogni volta che esegue il suo compito, ottiene del succo d'arancia, e comincerá, furbescamente, ad imparare ad eseguire il compito desiderato alla perfezione. ora, se siamo stati in grado di capire come addestrare le scimmie (e faccio notare che possiamo in questo modo addestrarle a compiere attivitá che noi stessi potremmo non essere in grado di compiere, é sufficiente che sappiamo giudicare i risultati), perché esiste ancora il concetto di "vis modica"? sono forse i bambini piú cretini delle scimmie?
gattopardi
non ragioniam di lor, ma guarda e passa
dante alighieri
per chi é conservatore. sempre e comunque. e nemmeno troppo intelligente, se crediamo agli scrittori.
dante alighieri
per chi é conservatore. sempre e comunque. e nemmeno troppo intelligente, se crediamo agli scrittori.
martedì, maggio 29, 2007
mente e cervello
non puó piovere per sempre. ma per 36 ore consecutive, si.
brandon lee & s.c.
un po' mi fa arrabbiare pietro greco, il giornalista scientifico dell'unitá. sempre con questo suo atteggiamento positivista, da "magnifiche sorti e progressive". buon vecchio marxista. d'altra parte si scaglia continuamente contro tutte le teorie finalistiche, in particolare contro tutti coloro che osano criticare darwin (e quando si tratta dei difensori dell'intelligent design, non posso che dirmi d'accordo), quindi devo supporre che non possa essere marxista in senso stretto. ma comunque.
qui recensisce in maniera interessante due libri sul problema della coscienza. questo problema della coscienza mi affascina particolarmente in questo periodo: se é vero che la mente é il cervello, come sembrano affermare questi due, mi si pongono alcuni problemi. innanzitutto, dovrei rinunciare alla trascendenza delle idee matematiche, e non voglio. e poi, questo ansatz sembra postulare a priori che il linguaggio matematico sia quello giusto per descrivere questa materia. cosa che mi sembra bizzarra a causa dei teoremi di gödel.
brandon lee & s.c.
un po' mi fa arrabbiare pietro greco, il giornalista scientifico dell'unitá. sempre con questo suo atteggiamento positivista, da "magnifiche sorti e progressive". buon vecchio marxista. d'altra parte si scaglia continuamente contro tutte le teorie finalistiche, in particolare contro tutti coloro che osano criticare darwin (e quando si tratta dei difensori dell'intelligent design, non posso che dirmi d'accordo), quindi devo supporre che non possa essere marxista in senso stretto. ma comunque.
qui recensisce in maniera interessante due libri sul problema della coscienza. questo problema della coscienza mi affascina particolarmente in questo periodo: se é vero che la mente é il cervello, come sembrano affermare questi due, mi si pongono alcuni problemi. innanzitutto, dovrei rinunciare alla trascendenza delle idee matematiche, e non voglio. e poi, questo ansatz sembra postulare a priori che il linguaggio matematico sia quello giusto per descrivere questa materia. cosa che mi sembra bizzarra a causa dei teoremi di gödel.
venerdì, maggio 25, 2007
numeri primi (II)
végre nem butulok tovább
paul erdős
stavo per scrivere un post per commentare un post di un altro blogger, molto piú bravo di me (von wegen: autoreferenzialitá della blogosfera), quando sono stato vittima di un blitzkrieg del mio compagno di stanza, il mai troppo lodato r. n. che mi ha presentato una divertente dimostrazione dell'inifinitá dei numeri primi.
Teorema
Sia P={p in N, tale che p é primo}. Allora vale #(P)=infinito.
Dimostrazione
L'idea é quella di introdurre un'opportuna base topologica B sull'insieme degli interi Z. Sia per a intero e n naturale strettamente maggiore di 0 B(a,n):={a+kn: k intero} la progressione aritmetica di origine a e ragione n. Si noti che B:={B(a,n): a in Z, n in N*} definisce una base topologica, dato che l'intersezione di due progressioni aritmetiche é essa stessa una progressione aritmetica. Sia T la topologia generata da B, cioé l'insieme di tutte le possibili unioni di elementi di B. Essa ha le tre seguenti proprietá:
1) Dato che ogni progressione aritmetica é infinita, allora se O é un aperto di T, allora O é vuoto o ha inifiniti elementi.
2) Ogni elemento B(a,n) della base di O é anche chiuso. Infatti si ha B(a,n)=(B(a+1,n) U B(a+2,n) U B(a+n-1,n))^C, dove ^C indica l'operazione di complementazione. B(a,n) é quindi chiuso in quanto complemento di un'unione di insieme aperti.
3) Si consideri l'insieme A, unione di tutti i B(0,p), dove p é primo. Allora vale: A aperto in quanto unione di aperti. Inoltre A = Z\{-1,1}, dato che 1,-1 sono gli unici numeri senza fattori primi.
Supponiamo adesso che ci siano solo un numero finito di primi. Allora A sarebbe un insieme chiuso in quanto unione finita di chiusi. Il suo complemente A^C é quindi aperto e quindi o é vuoto, o possiede infiniti elementi. Avendo precedentemente dimostrato che A^C={-1,1}, otteniamo un assurdo.
paul erdős
stavo per scrivere un post per commentare un post di un altro blogger, molto piú bravo di me (von wegen: autoreferenzialitá della blogosfera), quando sono stato vittima di un blitzkrieg del mio compagno di stanza, il mai troppo lodato r. n. che mi ha presentato una divertente dimostrazione dell'inifinitá dei numeri primi.
Teorema
Sia P={p in N, tale che p é primo}. Allora vale #(P)=infinito.
Dimostrazione
L'idea é quella di introdurre un'opportuna base topologica B sull'insieme degli interi Z. Sia per a intero e n naturale strettamente maggiore di 0 B(a,n):={a+kn: k intero} la progressione aritmetica di origine a e ragione n. Si noti che B:={B(a,n): a in Z, n in N*} definisce una base topologica, dato che l'intersezione di due progressioni aritmetiche é essa stessa una progressione aritmetica. Sia T la topologia generata da B, cioé l'insieme di tutte le possibili unioni di elementi di B. Essa ha le tre seguenti proprietá:
1) Dato che ogni progressione aritmetica é infinita, allora se O é un aperto di T, allora O é vuoto o ha inifiniti elementi.
2) Ogni elemento B(a,n) della base di O é anche chiuso. Infatti si ha B(a,n)=(B(a+1,n) U B(a+2,n) U B(a+n-1,n))^C, dove ^C indica l'operazione di complementazione. B(a,n) é quindi chiuso in quanto complemento di un'unione di insieme aperti.
3) Si consideri l'insieme A, unione di tutti i B(0,p), dove p é primo. Allora vale: A aperto in quanto unione di aperti. Inoltre A = Z\{-1,1}, dato che 1,-1 sono gli unici numeri senza fattori primi.
Supponiamo adesso che ci siano solo un numero finito di primi. Allora A sarebbe un insieme chiuso in quanto unione finita di chiusi. Il suo complemente A^C é quindi aperto e quindi o é vuoto, o possiede infiniti elementi. Avendo precedentemente dimostrato che A^C={-1,1}, otteniamo un assurdo.
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