il Libro e i sottobicchieri

per farvi capire che tipo e´ il mio prof vi vorrei raccontare un aneddoto. conoscete erdos? per lo meno di nome? beh, era un geniale matematico ungherese (1913-1996). ha scritto centinaia di articoli. fondato la teoria dei grafi casuali. dimostrato senza analisi complessa il teorema sulla distribuzione dei numeri primi. insomma, un geniaccio. chiamava le dimostrazioni meravigliose che ogni tanto si incontrano in matematica "dimostrazioni dal Libro". intendendo col Libro la lista delle dimostrazioni perfette in possesso di dio. non che ci credesse, in dio, parliamoci chiaro. ma per i matematici, diceva, e´ necessario credere nel Libro.

il mio prof (che non e´ erdos, pero´ e´ bravo comunque) le chiama "dimostrazioni da sottobicchieri" (bierdeckel in tedesco) perche´ possono essere eseguite in un pub, in tre righe, su un sottobicchiere.

non vi immaginate un tedesco birraiolo: e´ solo che non ama le cose troppo pompose.

per assurdo

Everything should be made as simple as possible, but not one bit simpler.

A. Einstein

durante le esercitazioni di analisi I ho notato uno strano fenomeno. appena si spiega ai ragazzi che esiste una tecnica chiamata "dimostrazione per assurdo", essi ne diventano immediatamente dipendenti, e dimostrano per assurdo anche proposizioni che possono essere dimostrate direttamente. peggio: ogni tanto affermano di aver dimostrato per assurdo cose che hanno dimostrato direttamente.

chiarisco il concetto: devono dimostrare la proposizione A. cominiciano la dimostrazione col dire: supponiamo che A sia falsa. poi dimostrano direttamente che A e´ vera. concludono quindi: cio´ contraddice la mia ipotesi che A fosse falsa, e quindi ho dimostrato per assurdo che A e´ vera. divertente, no?

anche matematici piu´ anziani non sono esenti da questo difetto. come viene dimostrato il teorema dei numeri primi, classicamente? per assurdo! supponiamo ce ne siamo n, ne costruisco un n+1esimo, e quindi mi ero sbagliato. si vede pero´ che questa e´ una dimostrazione per induzione, e non per assurdo.

Proposizione

Per ogni n numero naturale esistono p(1),...,p(n) distinti numeri primi.

Dimostrazione

Lo si dimostra per induzione completa su N. Per n=1 e´ evidentemente vero, dato che 2 e´ primo. Siano p(1),...,p(n) primi. Si definisca q=[p(1) x p(2) x...x p(n)]+1. Si consideri la (univoca) fattorizzazione di q=q(1)^a(1) x...x q(m)^a^(m). Per costruzione nessuno dei q(i) e´ in {p(1),...,p(n)}. Si definisca p(n+1):=q(1). Adesso p(1),...,p(n+1) sono primi distinti, e cosi´ il passo induttivo e´ provato, qed.

reti di attrattori

stavo leggendo alcuni articoli su anelli continui di neuroni. si usano tali cose bizzare per simulare, dicono questi scienziati, la memoria a breve termine di pattern visivi. c´e´ qualcosa pero´ che mi disturba. loro dicono che il riconoscimento di un pattern corrisponde alla convergenza di una certa equazione di evoluzione verso un equilibrio inomogeneo. ovvero che la soluzione di tale equazione di evoluzione, che chiamero´ u(t,x) converge per t --> oo verso una funzione v(x) che non e´ costante rispetto a x.

ora, per giove, decidetevi! volete una memoria a breve termine, o volete una memoria a lungo termine? se la memoria e´ a breve termine, si suppone che per t-->oo i vari pattern vengano, per cosi´ dire, azzerati. ovvero che u(t,x) converga verso una funzione v(x)=c, cioe´ costante nello spazio.

quello che io tenderei ad affermare, insomma, e´ che la memoria a breve termine corrisponde ad un transiente nell´equazione di evoluzione. la memoria a lungo termine, ovvero il fatto che ci siano dei pattern registrati nell´anello, corrisponde invece all´esistenza di soluzioni asintotiche. d´altra parte, leggendo codesti articoli, ho anche capito il motivo storico per cui si e´ originato questo equivoco. ma questa e´ un´altra storia.

firing rate e dimensioni finite

ieri ho pianificato con h.m. un articolo che dobbiamo scrivere. ci domandavamo perche´ e´ male occuparsi di modelli neurali basati sul firing rate, o a dimensione finita. h.m. e io siamo in due campi diversi delle neuroscienze, ma stranamente eravamo d´accordo sulla malvagita´ intrinseca di tali modelli. stamattina sono anche in grado di precisarlo: perche´ in questa maniera si pre-suppone che la codifica neurale sia il firing rate o il potenziale somatico, e´ non c´e´ nessuna evidenza per una simile assunzione.

primavera

voi che uscite all´amore, che cedete all´aprile

f. de andre´

sembra che sia arrivata la primavera in svevia. questo fine settimana sono stato a tü, dove dovevo pagare una scommessa - i debiti di gioco si pagano subito. ho studiato un po´ e mi sono goduto il primo sole del 2007.
ieri a cena ho chiacchierato a lungo con amici: parlare di matematica aiuta sempre a chiarirsi le idee su di essa, ma non sono riuscito a convincere il mio prof a iniziarmi ai misteri dei prodotti tensoriali di spazi di banach.
chissa´, forse, un giorno.

errata su einstein

il post di oggi per ammettere un errore. in realta´ il buon vecchio einstein ha ben poco a che fare con l´atomica. ecco la storia in breve. nel 1938 un gruppo di scienziati berlinesi scoprono che i nuclei di uranio, bombardati da neutroni, decadono producendo a loro volta neutroni ed energia. immaginare una reazione a catena e´ evidentemente facile. cosicche´ leo szilard, allarmato, si rivolge ad einstein affinche´ egli scriva una lettera a roosvelt per sollecitare attenzione. tuttavia, per un errore di calcolo (probabilmente comune anche ad heisenberg), sembrava che fossero necessarie tonnelate di uranio per costruire una bomba. quantita´ di uranio che al tempo non erano concepibili. cosi´ roosvelt istituisce una commissione per dare un contentino ad einstein, ma la dota dell´incredibile budget di 6000 dollari annui. questo accadeva nel 1939. successivamente, un gruppo di ricercatori inglesi scopre l´errore nei calcoli di szilard, heisenberg ed einstein e realizza che nella reazione vengono prodotti sufficienti neutroni per generare una reazione a catena anche con meno di un chilo di uranio (e siamo nel 1941). la commissione informa il governo britannico, che gira l´informazione a quello statunitense. solo allora roosvelt capisce che si puo´ costruire la bomba e, nel 1942, fa partire il progetto manhattan.