Simmetrie di gauge (II)

Qualche giorno fa esponevo a d.m. la mia dicotomica divisione fra dicotomie per il concetto di simmetria nella fisica.
La prima dicotomia è quella fra simmetrie di gauge e simmetrie spaziali. La seconda dicotomia è quella fra simmetrie locali e globali.

Qual'è il problema, mi chiedevo ieri, nel considerare simmetrie spaziali locali?

Come ho già fatto notare, per considerare simmetrie spaziali, è necessario che il dominio D su cui è definita la nostra funzione possieda un gruppo di simmetrie parametrizzazo tramite un certo gruppo Z.

Se adesso vogliamo che la simmetria sia locale, abbiamo bisogno di una famiglia a due parametri di trasformazioni di D in D, diciamo



Il problema, adesso, è che questa famiglia di simmetrie deve essere un gruppo secondo l'operazione di composizione; questo vuol dire (mi sembra in questo momento) che fissato z, la famiglia debba essere un gruppo, rispetto alla legge di gruppo in D.

Ma allora stiamo chiedendo a D di avere un gruppo di simmetrie parametrizzato in D stesso!

Due cose non mi sono chiare:

La prima, se il mio ragionamento di cui sopra è corretto.

La seconda, se esistono domini (a parte le palle unitarie) che hanno questa bizzarra proprietà.

strategie

guardando un bel film ieri al cinema ho fatto questa riflessione.

Premessa

Per l'uomo (e immagino per la maggior parte dei mammiferi) il grasso è la parte più preziosa dei costituenti corporei. Può sembrare strano sentirlo dire così, ma è una meravigliosa riserva di energia, utilizzabile in ogni momento. Per questo è così difficile dimagrire: il corpo è programmato per non utilizzare che non in caso di estremo bisogno le sue riserve di combustibile d'emergenza. Per tutte le normali attività usa infatti gli zuccheri, che tanto se ne trovano dappertutto in natura.

Analogia

Qual'è l'equivalente del grasso per la società? Qual'è la forma di energia più concentrata che possediamo? Su, su, non fatvi pregrare: il petrolio!
Quindi, sarebbe giusto utilizzare il petrolio, elemento meraviglioso, esattamente come il nostro corpo fa con il grasso: solo quando ce n'è veramente bisogno.
E quando non c'è ne bisogno, tirare avanti con le energie a facile disponibilità: che so, solare, eolica, idroelettrica...

Morale

Così come l'obesità è una malattia odierna causata da un (apparente) eccesso di disponibilità di cibo, anche l'inquinamento della terra è una malattia della società dovuta ad un (apparente) eccesso di disponibilità di petrolio.

Simmetrie di gauge (I)

Nel portare a termine la scrittura della mia tesi, mi par finalmente di aver capito come formulare il concetto di simmetria di gauge senza usare nulla di geometria differenziale, ma solo analisi funzionale.

Supponiamo, dunque, che la funzione u(t,x) dove x varia nel dominio D e designa lo spazio e t designa il tempo e varia fra 0 e T, sia la soluzione di un certa equazione differenziale



dove A è un operatore che non dipende dal tempo.

Una simmetria spaziale, allora, è una famiglia



di applicazioni su D che costituisca un gruppo per la composizione di funzioni e che mandi soluzioni dell'equazione in altre equazioni dell'equazione, cioè tale che



sia una soluzione dell'equazione per ogni z, supposto che u(t,x) sia una soluzione dell'equazione.

(A dire la verità, una simmetria è un'applicazione che lascia invariante la Lagrangiana, ma in prima approssimazione può bastare quanto detto prima).

Come si vede, le simmetrie spaziali hanno un grande svantaggio: è possibile considerarle solo nel caso il dominio D abbia qualche tipo di simmetria.

Le simmetrie di Gauge non hanno questo svantaggio. Supponiamo che la funzione u(t,x) abbia valori in uno spazio di Hilbert complesso H (nel caso banale: nel campo dei numeri complessi). Supponiamo adesso che la famiglia



sia un gruppo unitario di operatori lineari sullo spazio di Hilbert H. Allora essa è una simmetria di gauge se



è una soluzione dell'equazione per ogni z, supposto che u(t,x) sia una soluzione.

Come si vede, simmetrie di questo tipo non hanno bisogno di alcuna assunzione sul dominio!

Peraltro, ci ho messo circa due anni prima di capire che la mia tesi è esattamente su simmetrie di gauge per grafi quantistici. Quello che dovrei fare ora che ho finito, è buttare la mia tesi dal balcone e riscrivere tutto dall'inizio...

componente connessa (II)

al contrario di ciò che io e d.m. facciamo di solito, ieri mi è capitato di dover utilizzare un risultato di teoria dei grafi per dimostrare una proposizione di analisi funzionale.


Proposizione

Sia G un grafo. Allora esistono



sottografi disgiunti e disconnessi di G, tale che ciascuno di essi è connesso.
Tale famiglia è univocamente determinata.

Dimostrazione

Si consideri la relazione R sull'insieme dei nodi di G definita da aRb se e solo se esiste un cammino (finito) da a a b.
R è una relazione di equivalenza, infatti
1) aRa, grazie al cammino triviale (a,a).
2) aRb implica bRa. Si prenda il cammino di lunghezza n



Il cammino inverso



ha lunghezza n e congiunge b ad a.
3) Se aRb e bRc allora, aRc. Infatti, siano



due cammini di lunghezza rispettivamente n e m, congiungenti il nodo a al nodo b e il nodo b al nodo c. Allora il cammino



ha lunghezza n+m e congiunge il nodo a al nodo c.

Si denoti N l'insieme dei nodi e si consideri l'insieme quoziente N/R. Allora gli elementi di N/R sono le componenti connesse del grafo. L'unicità è conseguenza dell'unicità dell'insieme quoziente, q.e.d.