Curve caratteristiche e curve di risposta

Cosa c'entra il metodo delle curve caratteristiche con le neuroscienze, mi chiedeva oggi un collega per telefono?

Se descriviamo un neurone tramite un processo puntuale caratterizzato da una certa frequenza condizionale h, allora avremo che l'evoluzione della distribuzione d'età sarà governata per tempi brevi t dall'equazione

\partial_t u = -\partial_\tau u - h u

dotata di una condizione iniziale. Questa è una equazione alle derivate parziali libera (cioè priva di condizioni al bordo), e la risposta in termini di frequenza di potenziali d'azione è data da

\int uh dx

Ma tale PDE può essere risolta analiticamente tramite il metodo delle caratteristiche: ecco che c'entra!

NWG

Al moment sono alla conferenza della società tedesca di neuroscienze.

Matematica, ovviamente, ce n'è poca, ma sto studiando il metodo delle curve caratteristiche: potrebbe essermi d'aiuto per alcune questioni relative ai processi puntuali.

Per essere brevi: è un metodo che permette di ridurre equazioni alle derivate parziali del prim'ordine ad un sistema di equazioni alle derivate ordinarie, sfruttando il fatto che la soluzione dell'equazione forma una superficie di cui è noto lo spazio tangenziale.

Di più su Wikipedia...

Diciotto anni

Deh! Non volerli vittime del mio fatale errore...

Norma

Raramente scrivo di politica. Spesso per far notare che scempio hanno fatto e stanno facendo del Petruzzelli.

Repubblica

Dato che il dm ha abbandonato il suo lodevole lavoro, provvedo io a listare i titoli una delle pagine di scienze più terrificanti della storia di repubblica.

Attrazione tra gli ultimi maschi l'anatra blu rischia di estinguersi.

Anoressia e bulimia tra ragazze prima causa morte per malattia.

A Parigi lo spot adesso ti spia. La città contro i pannelli hi-tech.

Santino, scimpanzè lancia-pietre che pianifica i suoi attacchi.

Ecco la zona del cervello dove nasce la fede in Dio.

Amore o odio a prima vista così decide la nostra testa.

Un partner più sensibile se ha orecchio musicale.

Faccio notare: 3 su 7 contengono riferimenti più o meno impliciti al sesso. 4 su 7 sono di neuroscienze. E non capisco perchè l'articolo su Parigi si trovi qui e non nella sezione tecnologia.

E poi la gente si lamenta che non esiste una cultura scientifica in Italia.

NSA: due strade diverse

Esistono sostanzialmente due approcci all'analisi non standard. Il primo, quello classico di Robinson è legato alla teoria dei modelli. Ridotto all'osso e oltre: si costruisce una "superstruttura" in cui esistono numeri naturali non standard, e si dimostra tramite ultrafiltri, che questa struttura è consistente logicamente.

Pur nel suo grande valore, sia intrinseco sia storico, questa versione della NSA è estremamente complicata, e richiede uno studio approfondito prima di capirci qualcosa.

L'alternativa è l'approccio assiomatico. Si introduce un nuovo predicato per gli oggetti di ZFC, "standard" e si pongono alcuni assiomi per operare con questo predicato. Se si ha fortuna (cioè se si usa una versione assiomatizzata da qualche matematico bravo) si disporrà anche di un algoritmo di traduzione dall'NSA all'analisi classica, che è una cosa utile. Questo è l'approccio scelto da Nelson.

Una variante è la teoria alpha di Benci e Di Nasso, in cui si introducono direttamente in maniera assiomatica i numeri non-standard.

Per un principiante, le teorie assiomatiche sono certamente meglio!

Letture consigliate:

[1] Benci, Di Nasso, "Alpha-theory: an elementary axiomatics for nonstandard analysis", Expositiones Mathematicae, 2003

[2] Davis, "Applied non standard analysis", Dover Publications, 2005

[3] Nelson, "Internal set theory: a new approach to nonstandard analysis", Bullettin of the American Mathematical Society, 1977

[4] Robinson, "Non-standard analysis", Princeton University Press, 1966

I numeri reali non sono numerabili

Nella discussione su questo post di tomate, ci si chiedeva se ci fosse una dimostrazione topologica, non basata sull'argomento diagonale di Cantor, del fatto che i numeri reali sono sovrannumerabili.

Sicuramente ve n'è una, nota come prima dimostrazione di non contabilità di Cantor, che è dovuta allo stesso Cantor. Leggasi la dimostrazione su Wikipedia.

Una dimostrazione più rapida è basata sul teorema di Baire. Il teorema di Baire afferma che uno spazio metrico completo non può essere unione numerabile di insiemi mai densi.

Un insieme mai denso è un insieme la cui chiusura ha insieme complementare denso.

Torniamo alla dimostrazione del teorema "R è sovrannumeabile". Ovviamente R è l'unione dei suoi punti. Ognuno dei suoi punti è evidentemente un insieme mai denso. Dato che R è completo, dal teorema di Baire si deduce che non è numerabile.

Faccio notare che la facilità della dimostrazione di questo teorema rispetto alla dimostrazione originale di Cantor è dovuta al fatto che il teorema di Baire è equivalente all'assioma della scelta dipendente.