PP09 (II)

Today we had another lecture about renewal processes. The focus was on variability of count statistics.

We have seen a theorem relating the asymptotics of the Fano factor, which is the normalized variance of the counts, and the coefficient of variation of the inter event times.

If you have a point process, you can think of two different types of variability:

1) variability within each realization: how inter event times do differ from each other;

2) variability across trials: how statistics change from one realization to the next.

It is quite intuitive that for renewal processes both type of variability should be somehow connected: if you have a long realization of a renewal process, you can cut that into pieces and construct many shorter realizations; the renewal property implies that the statistics of the every single realization will be independent from the others.

This is exactly the meaning of the theorem about the asymptotics of the Fano factor: in the limit, for a renewal process the Fano factor and the CV2 will coincide.

Why the exponential function?

In the first lecture of the point processes course, we have used at least twice the exponential function. It is maybe worth to shortly explain why the exponential function can be represented in different ways.
We are mainly concerned with the identities

e^{x} =  \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}= \lim_n (1+\frac{x}{n})^n 

Let us start by defining the exponential function to be the only function for which

f(x) = f'(x)

up to a scalar factor. So, we have to check that both definitions enjoy this property. If it is case, then they will both agree with the exponential function, assumed that everything converges.

Let us check it for the first formula. Deriving term by term yields

d/dx\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n x^{n-1}}{n!}=\sum_{n=1}^\infty \frac{ x^{n-1}}{(n-1)!}

By calling k the term n-1 we obtain our desired identity.

For the second one, observe that

d/dx f^n(x) = nf'(x)f^{n-1}(x) 

Applying this to the product in the formula we obtain

d/dx(1+\frac{x}{n})^n  =\frac{n}{n} (1+\frac{x}{n})^{n-1}

But since

\lim_n (1+\frac{x}{n})=1

one could hope that the identity holds. But here we have some difficulties with the convergence, indeed.

PP09 (I)

Tomorrow the lecture "One-dimensional point processes" will start.

I will introduce the theory of point processes on the real line in a rather mathematically informal way. The main goal is to provide the students with some tools for modeling neural networks on the basis of point processes and to give them a feeling for what could be done with spike data, once you have collected them.

The first topic will be very basic: the time-representation of renewal processes. We will see how far we can go by describing renewal processes as sum of an i.i.d. sequence.

I will post the lectures here and will try to give some additional material here on the blog.

Al Mercato Nero

Ho varie cose su cui vorrei scrivere nei prossimi giorni: spero di riuscire ad evaderle tutte prima che il semestre cominci: varie conferenze a cui sono stato nell'ultimo mese, un'altra che stiamo organizzandon con un collega, l'ultimo paper che ho messo su arXiv, il corso che terrò questo semestre.

Comincio con la bizzarra installazione teatrale a cui ho partecipato ieri. La compagnia teatrale del teatro cittadino di Friburgo ha realizzato un progetto con delle scuole, in cui gli studenti dovevano realizzare delle rappresentazioni teatrali che trattasero di alcuni temi neuroscientifici: stimulazione cerebrale profonda, interfaccia cervello-computer ed altre amenità.

Ieri hanno presentato questi spettacoli, insieme a conferenze e dibattiti diretti da alcuni specialisti del settore. La sera è stato organizzato dalla compagnia un mercato nero del sapere. 48 esperti hanno offerto delle conversazioni di 1/2 ora su un tema a loro scelta al pubblico. Il pubblico poteva scegliere l'espero, e per 1 euro, parlare con lui del tema proposto.

Il mio tema era "Conway's game of life: l'ultimo gioco dove l'uomo è ancora superiore alla macchina". La mia idea era di partire dalla notizia che da pochi mesi esistono programmi giocatori di go in grado di competere con giocatori professionisti. Questo è stata una grande soprpresa per me, perchè nell'ambiente dei giocatori di strategia si andava mormorando che, a differenza degli scacchi, il go era insolubile per i computer, perchè non è attaccabile in maniera brute force, e per altri motivi più profondi. Da quello che ho capito essenzialmente è difficile scrivere un algoritmo di valutazione.

Poi volevo introdurre il game of life: spiegarne le regole, e giocare alcune situazioni semplici, per far capire che è in teoria è possibile costruire un computer composto da automi cellulari.

L'idea era di poi passare a Turing, Gödel, e argomentare che il computer non può, a causa del teorema di Gödel, superare l'uomo nel game of life.

Cosa a cui non credo fino in fondo, a dire il vero. Ma tant'è: tutte e due le conversazioni sono andate benissimo, nonostante il primo ragazzo fosse uno scolaro di 17 anni e il secondo uno studente di storia al 3° anno.

Di più: certamente un'esperienza ispiratrice e che ripeterò, qualora ce ne sia ancora l'occasione.

Scoperte scientifiche

Oggi ho scoperto una nuova forma di autocondizionamento: la mia ragazza è (scherzosamente) convinta che la sua ipocondriaca convinzione di essere malata delle malattie più improbabili avrà un effetto anti-placebo su lei stessa, facendola realmente ammalare delle malattie di cui lei crede essere già malata.

Abbiamo già deciso il nome per questo disturbo: "metaipocondria".

25 deputati

Con poca voglia di lavorare appena tornato da Londra, girando un po' su internet ho trovato questa meravigliosa predizione di Ferrara prima delle elezioni:

Mi aspetto di portare alla Camera 20-25 deputati che avranno come missione quella di lanciare un grande piano nazionale di aiuto alla vita. E penso di riuscirci

Giusto per ricordare come è andata a finire.