Il titolo, tradotto in italiano, vuol dire "Sull'illimitatezza degli operatori della meccanica quantistica". Di cosa stiamo parlando? Semplificando un po, in meccanica quantistica tutte le grandezze diventano operatori. E se due grandezze
A,B sono una la trasformata di Fourier dell'altra, allora devono soddisfare la relazione [A,B]=i \hbar dove abbiamo indicato [A,B]=AB-BA il commutatore dei due operatori.Questa relazione è detta la relazione canonica di commutazione, di più qui. Nel 1947 Wintner dimostrò, utilizzando una tecnica sviluppata da Rellich nel 1946, che due operatori che soddisfino le relazioni di commutazione devono essere illimitati. Tale dimostrazione era però complicata, e nel 1949 Wielandt diede una dimostrazione elementare di questo fatto. Come funziona?
Wielandt parte dall'osservazione che, se
[A,B]=1 allora [A,B^{n+1}]= (n+1)B^n La dimostrazione di questo fatto è una semplice manipolazione algebrica e un'altrettanto semplice induzione.Da questo fatto, e dalla disuguaglianza triangolare inversa applicata alla norma operatoriale di A e B, ottiene una stima della norma di B
(n+1)|B^n|\leq 2|A||B||B^n| che vale per tutti gli n.L'attento lettore avrà già capito che questa stima implica che
B=0, di conseguenza anche A=0, e così abbiamo ottenuto che 
4 commenti:
Fino alla disuguaglianza per le norme ci sono, e riesco anche a vedere perchè devono essere illimitati... ma mi sfugge perché l'operatore nullo soddisfi le relazioni di commutazione.
Giusto. Non cambia molto nell'argomento, per fortuna :-)
...continuo a non capire perche' debba essere B=0...
Non è difficile: prima osserva che la disuguaglianza implica che B^n_0 = 0 per qualche n_0: che se non lo fosse, otteresti n+1 <2|A||B| per ogni n.
Adesso, la disuguaglianza
|A||B||B^n| >= |A||B^(n+1)|
implica che da B^(n_0)=0 risulta B^(n_0-1)=0 e così, inducendo inducendo, si arriva a B=0.
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