FM09010 (I)

So, let us start we the new lecture: Fourier methods and their applications to neuroscience.

Preliminary disclaimer: there are many many approaches to the topic. I will follow this one. In fact, Osgood's lecture is by far better than what I can hope to do in my life, but he has a slow pace which is not suitable for PhD students at the BCCN.

In the first lecture we explained the basic idea, which is simple: you have a complex periodic function (where complex stays for both "complicated" and "not real") and you want to represent it as weighted sum of simpler (but also not real) periodic functions. For definiteness, let us say that all functions have period 1.

We can choose to use trigonometric functions or complex exponentials. We will choose the complex exponentials for different reasons. To be precise, we want to express any periodic function of period 1 as the weighted (probably infinite) sum of the functions

e_n(t):=e^{2\pi nit}

where n ranges in the integers.
The difficult problem is: how to find the weights for the sum? It goes in the following way. You start from what you are looking for

f(t)=\sum_{n \in \mathbb Z} c_n e^{2\pi nit}

Here, the numbers c_n are the (unknown!) weights of the linear combination that you want to represent the function f. We now try to isolate a single coefficient, say the kth, to know whether is possible to get a formula for a single coefficient depending only on f and not on the other coefficients. So you get

f(t)- \sum_{n\neq k} c_n e^{2\pi nit} = c_ke^{2\pi kit}

You divide by the complex exponential obtaining

f(t)e^{-2\pi kit}- \sum_{(n-k)\neq k} c_n e^{2\pi nit} = c_k

For this you have to use all properties of the complex exponentials. Which is, by the way, only one. And in fact it is the same as for the real exponential: "sum is mapped into multiplication". This is one motivation for using complex exponentials instead of trigonometric functions.

You now have the problem that you have expressed one c_k in terms of the other ones, but you want to have c_k without its companions. Algebra gave us everything she could, so let us try with Analysis. He suggests to integrate between 0 and 1 (which is the period of all functions here) obtaining

\int_0^1 f(t)e^{-2\pi kit} dt- \int_0^1\sum_{(n-k)\neq k} c_n e^{2\pi nit}dt = c_k

The c_k, integrated, gives c_k! And now the magic. Compute the integral of the complex exponentials: it gives 0.
So, you are left with the famous expression

\int_0^1 f(t)e^{-2\pi kit} dt- \int_0^1\sum_{(n-k)\neq k} c_n e^{2\pi nit}dt = c_k=:\hat{f}(k)

where we have introduced the symbol \hat{f}(k). We will call this number by the suggestive name of the kth Fourier coefficient of f.

Il mio voto...

...andrà a Bersani.

Gioelli della matematica (I)

Oggi parliamo dell'articolo Über die Unbeschränktheit der Operatoren der Quantenmechanik di Helmut Wielandt, apparso sui Mathematische Annalen nel 1949.

Il titolo, tradotto in italiano, vuol dire "Sull'illimitatezza degli operatori della meccanica quantistica". Di cosa stiamo parlando? Semplificando un po, in meccanica quantistica tutte le grandezze diventano operatori. E se due grandezze A,B sono una la trasformata di Fourier dell'altra, allora devono soddisfare la relazione

[A,B]=i \hbar

dove abbiamo indicato [A,B]=AB-BA il commutatore dei due operatori.

Questa relazione è detta la relazione canonica di commutazione, di più qui. Nel 1947 Wintner dimostrò, utilizzando una tecnica sviluppata da Rellich nel 1946, che due operatori che soddisfino le relazioni di commutazione devono essere illimitati. Tale dimostrazione era però complicata, e nel 1949 Wielandt diede una dimostrazione elementare di questo fatto. Come funziona?

Wielandt parte dall'osservazione che, se

[A,B]=1

allora

[A,B^{n+1}]= (n+1)B^n

La dimostrazione di questo fatto è una semplice manipolazione algebrica e un'altrettanto semplice induzione.

Da questo fatto, e dalla disuguaglianza triangolare inversa applicata alla norma operatoriale di A e B, ottiene una stima della norma di B

(n+1)|B^n|\leq 2|A||B||B^n|

che vale per tutti gli n.

L'attento lettore avrà già capito che questa stima implica che B=0, di conseguenza anche A=0, e così abbiamo ottenuto che l'unico operatore limitato che soddisfa le relazioni di commutazione è l'operatore nullo non esistono operatori limitati che soddisfano le relazioni di commutazione.

Moltiplicatori di Fourier

Ieri ho finalmente capito cosa sono, o meglio, realizzato qual è l'utilità dei moltiplicatori di Fourier.

Prima di spiegarlo, abbiamo bisogno di due premesse.

La prima premessa: la rappresentazione temporale e la rappresentazione spettrale di una funzione sono equivalenti, nel senso che contengono la stessa quantità di informazione.

La seconda premessa: in analisi funzionale spesso si considerano degli operatori lineari molto semplici, chiamati moltiplicatori; il moltiplicatore, chiamiamolo M, con una data funzione, diciamo m, è definito come

 Mf(x) := m(x)f(x) 

Questi operatori vengono studiati per la loro semplicità e perchè è possibile illustrare molte definizioni e molti teoremi utilizzando questi operatori. Ad esempio, lo spettro di un moltiplicatore (a meno di dettagli tecnici) corrisponde all'immagine della funzione m.

Ora, dato che come abbiamo detto rappresentazione temporale e rappresentazione spettrale sono equivalenti, è lecito utilizzare operatori di moltiplicazione anche per una funzione in dominio di frequenza. Cioè, se \mu è una funzione, il moltiplicatore in dominio di frequenza è

 \mathcal Mf(\omega) := \mu(\omega)f(\omega) 

Adesso siamo in grado di definire un moltiplicatore di Fourier T, che è la rappresentazione temporale di un moltiplicatore in spazio di frequenza, cioè

Tf= \mathcal F^{-1}\mathcal M \mathcal F f

Detto in italiano: consideriamo la rappresentazione spettrale di una funzione f; la moltiplichiamo con una funzione \mu, e quello che otteniamo lo rappresentiamo temporalmente. Questa serie di operazioni definisce un moltiplicatore di Fourier.

Cui prodest? Qual è il vantaggio di tali operatori? Ma è chiaro! Che è possibile controllare esattamente come questi operatori agiscono sullo spettro!

Alcuni esempi importanti: il Laplaciano, la trasformata di Hilbert, tutti gli operatori di convoluzione, tutti gli operatori differenziali a coefficienti costanti sono moltiplicatori di Fourier.

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Questo semestre terrò il corso per dottorandi di biologia (e fisica) "Analisi di Fourier e applicazioni alle neuroscienze".

Cercando su internet ho trovato questo bellissimo corso di Brad Osgood.

È ad un livello molto di base, ma tutto è spiegato così bene, e con una tale chiarezza di idee, da lasciarmi stupefatto.

Aspettando il gatto...

... ci accontentiamo dei virus di Schrödinger

Strategie energetiche

Forse non tutti sanno che amo i giochi di strategia quanto la matematica; anzi, secondo me sono due facce della stessa medaglia.

Giochi da tavola, come Scacchi, Siedler, Risiko, Axis and Allies, Agricola, Star Quest, ma anche al computer come Civilization, Age of Empires, Pretorians, The Guild .

Ora, una delle cose fondamentali nei giochi di strategia è, tautologicamente, la pianificazione. Essa diventa particolarmente importante nel caso si vadano a compiere azioni irreversibili; se io muovo il pedone sulla colonna f, devo sapere che il mio arrocco corto sarà debole per sempre. Posso prendere il rischio, ma devo esserne cosciente.

Io dunque mi chiedo: siamo convinti che i nostri amministratori, di destra, sinistra e centro, italiani e tedeschi, siano coscienti dei rischi che ci hanno fatto assumere decidendo di usare risorse rare come petrolio e uranio per produrre energia elettrica? Non è più sensato produrla in maniera rinnovabile, magari con costi più alti?

Tornando a noi, la domanda cruciale è: fra 500 anni come faranno i nostri nipoti a far andare le navi? O satelliti e navi spaziali? O produrre plastica?

Dialetti

L'ultima volta che siamo stati in Italia, io e Ulla abbiamo comprato una montagna di classici perche lei possa conoscere le basi della letteratura italiana. Come di solito avviene in questi casi, ho ricominciato a leggere vecchi classici.

Così mi è capitato di riprendere in mano I promessi sposi e di ricominciare a leggerlo.

Subito dopo aver introdotto il falso manoscritto secentesco, Manzoni ne commenta lo stile, in una sorta di "manifesto della lingua":

Ben è vero, dicevo tra me, scartabellando il manoscritto, ben è vero che quella grandine di concettini e di figure non continua così alla distesa per tutta l'opera. Il buon secentista ha voluto sul principio mettere in mostra la sua virtù; ma poi, nel corso della narrazione, e talvolta per lunghi tratti, lo stile cammina ben più naturale e più piano. Sì; ma com'è dozzinale! com'è sguaiato! com'è scorretto! Idiotismi lombardi a iosa, frasi della lingua adoperate a sproposito, grammatica arbitraria, periodi sgangherati. E poi, qualche eleganza spagnola seminata qua e là; e poi, ch'è peggio, ne' luoghi più terribili o più pietosi della storia, a ogni occasione d'eccitar maraviglia, o di far pensare, a tutti que' passi insomma che richiedono bensì un po' di rettorica, ma rettorica discreta, fine, di buon gusto, costui non manca mai di metterci di quella sua così fatta del proemio. E allora, accozzando, con un'abilità mirabile, le qualità più opposte, trova la maniera di riuscir rozzo insieme e affettato, nella stessa pagina, nello stesso periodo, nello stesso vocabolo. Ecco qui: declamazioni ampollose, composte a forza di solecismi pedestri, e da per tutto quella goffaggine ambiziosa, ch'è il proprio carattere degli scritti di quel secolo, in questo paese. In vero, non è cosa da presentare a lettori d'oggigiorno: son troppo ammaliziati, troppo disgustati di questo genere di stravaganze. Meno male, che il buon pensiero m'è venuto sul principio di questo sciagurato lavoro: e me ne lavo le mani.

Riuscirà Cota a dividere ciò che Manzoni ha unito?

Barconi

Certo che ci vuole coraggio a definire i migranti che vengono in Italia su barconi malsicuri "un problema che affligge le nostre coste".

Pensavo che il problema fosse loro, dei migranti, e fosse anche un po' più grave di quello che si può immaginare Fabio Betti.

Linguaggio

Una discussione con un mio caro amico ha fatto si che una riflessione che avevo in mente da molto tempo si cristallizzasse. Non pretendo di aver scoperto qualcosa di nuovo, ma vorrei scriverla per formalizzarla coerentemente. Il tema è l'inadeguatezza assoluta del linguaggio.

Per questo dobbiamo fare un passo indietro e vedere dove nasce questo linguaggio: il quale nasce nella mente. Spesso assumiamo implicitamente che il linguaggio che parliamo abbia qualche relazione col mondo esterno; questo però è un assunto indimostrabile ed è sicuramente falso in molte situazioni.

L'esempio più evidente, ma anche più banale, è quello delle illusioni ottiche . In esse è evidente che il linguaggio rispecchia la mente, e ci porta a descrivere in maniera ingannevole il mondo esterno, ammesso che esso esista in qualche senso del termine esistere. L'unica maniera per sottrarsi a ciò è, in questo caso, l'utilizzo di un linguaggio poco naturale come quello della matematica.

Un altro esempio, più stringente, è la sovrabbondanza nelle lingue umane di termini emozionali, che dunque riflettono stati interni della mente e che solo casualmente hanno la fortuna di essere comunicabili. Casualmente: a mio parere è un gran colpo di fortuna che tutti gli uomini abbiano un universo interiore simile e comunicabile.

Che poi non è nemmeno tanto vero. Ad esempio, i libri di Oliver Sacks contengono sterminati esempi di persone il quale mondo interiore è decisamente diverso dal nostro. Diciamo così: la maggioranza degli esseri umani possiede un universo interiore che permette di parlare con un linguaggio comune degli stati interni della mente.

Questa però è un'inadeguatezza relativa, dovuta al fatto che c'è la mente fra il mondo e il linguaggio, e che quindi tutto ciò che arriva a quest'ultimo è mediato da essa, con tutti i problemi del caso. Per capire cos'è l'inadeguatezza assoluta assumiamo, per un attimo che ci sia una bigezione fra il mondo e la mente, cosicchè parlare degli stati interni della mente, o degli stati del mondo è la stessa cosa. Se il linguaggio fosse adeguato, allora dovrebbe essere in grado di comunicare questi stati interni. È qui sorge il problema: il linguaggio è uno strumento culturale, sviluppatosi con alcuni obiettivi (cacciare, raccogliere, trovare un partner etc). E i suoi mezzi sono buoni per tali obiettivi, ma non necessariamente per altri.

Questo si vede quando si tenta di piegare il linguaggio a fini che non sono i suoi: ad esempio comunicare gli stati interni, o addirittura affermare verità logiche su di essi. Fra le altre cose, questo è dovuto al fatto, banale, che il linguaggio è un insieme finito di simboli, e per questo stesso motivo incapace di rappresentare un universo (probabilmente) inifinito, o comunque molto più grande, di stati interni.

Sembra un ragionamento astratto, ma è una questione pratica! Il linguaggio, nato per comunicare cose essenziali, o comunque non per parlare del mondo, ma per sopravvivere in esso, è stato piegato a questa necessità, per il quale è totalmente inadeguato.

Questo stato di cose ha una conseguenza bizzarra, ed è qua che mi riallaccio (anche se solo parzialmente) alla discussione col mio caro amico. Che è praticamente impossibile formulare leggi valide in termini di linguaggio naturale. I motivi sono i più svariati, ma dipendono tutti sostanzialmente dal problema di esaurire i casi di applicazione di una regola, a meno che non si desideri utilizzare una regola che valga sempre, cosa evidentemente assurda, già ad un livello puramente linguistico.

Un esempio banale: supponiamo di enunciare la legge "D'estate ci sono più di 30 gradi." Evidentemente imprecisa. "D'estate, a Friburgo, la temperatura massima è più di 30 gradi". Per rispondere alle obiezioni sulle eccezioni, inseriamo una variabile temporale. "Noi prevediamo che, nelle estati del III millennio, a Friburgo, la temperatura massima sarà sempre più di 30 gradi". Ora vengono i problemi di misurazione. "Durante il III millennio, la temperatura massima misurata d'estate nella piazza di Friburgo sarà superiore ai 30 gradi". Come immaginate, si può continuare quasi all'infinito, e stiamo usando il linguaggio per esprimere uno stato di cose semplice ed oggettivamente misurabile! Pensate cosa accade quando bisogna esprimere con questo linguaggio verità su concetti trascendenti, o verità filosofiche.

Perchè scrivo queste cose? Perchè spesso soffro molto per l'inadeguatezza espressiva del linguaggio naturale.