Anziani
3 ore fa
e_n(t):=e^{2\pi nit}
where n ranges in the integers.
f(t)=\sum_{n \in \mathbb Z} c_n e^{2\pi nit}
c_n are the (unknown!) weights of the linear combination that you want to represent the function f. We now try to isolate a single coefficient, say the kth, to know whether is possible to get a formula for a single coefficient depending only on f and not on the other coefficients. So you get
f(t)- \sum_{n\neq k} c_n e^{2\pi nit} = c_ke^{2\pi kit}
f(t)e^{-2\pi kit}- \sum_{(n-k)\neq k} c_n e^{2\pi nit} = c_k
\int_0^1 f(t)e^{-2\pi kit} dt- \int_0^1\sum_{(n-k)\neq k} c_n e^{2\pi nit}dt = c_k
\int_0^1 f(t)e^{-2\pi kit} dt- \int_0^1\sum_{(n-k)\neq k} c_n e^{2\pi nit}dt = c_k=:\hat{f}(k)
\hat{f}(k). We will call this number by the suggestive name of the kth Fourier coefficient of f.
A,B sono una la trasformata di Fourier dell'altra, allora devono soddisfare la relazione [A,B]=i \hbar dove abbiamo indicato [A,B]=AB-BA il commutatore dei due operatori.[A,B]=1 allora [A,B^{n+1}]= (n+1)B^n La dimostrazione di questo fatto è una semplice manipolazione algebrica e un'altrettanto semplice induzione.(n+1)|B^n|\leq 2|A||B||B^n| che vale per tutti gli n.B=0, di conseguenza anche A=0, e così abbiamo ottenuto che Mf(x) := m(x)f(x) Questi operatori vengono studiati per la loro semplicità e perchè è possibile illustrare molte definizioni e molti teoremi utilizzando questi operatori. Ad esempio, lo spettro di un moltiplicatore (a meno di dettagli tecnici) corrisponde all'immagine della funzione m. \mu è una funzione, il moltiplicatore in dominio di frequenza è \mathcal Mf(\omega) := \mu(\omega)f(\omega) Adesso siamo in grado di definire un moltiplicatore di Fourier T, che è la rappresentazione temporale di un moltiplicatore in spazio di frequenza, cioè Tf= \mathcal F^{-1}\mathcal M \mathcal F f Detto in italiano: consideriamo la rappresentazione spettrale di una funzione f; la moltiplichiamo con una funzione \mu, e quello che otteniamo lo rappresentiamo temporalmente. Questa serie di operazioni definisce un moltiplicatore di Fourier.Ben è vero, dicevo tra me, scartabellando il manoscritto, ben è vero che quella grandine di concettini e di figure non continua così alla distesa per tutta l'opera. Il buon secentista ha voluto sul principio mettere in mostra la sua virtù; ma poi, nel corso della narrazione, e talvolta per lunghi tratti, lo stile cammina ben più naturale e più piano. Sì; ma com'è dozzinale! com'è sguaiato! com'è scorretto! Idiotismi lombardi a iosa, frasi della lingua adoperate a sproposito, grammatica arbitraria, periodi sgangherati. E poi, qualche eleganza spagnola seminata qua e là; e poi, ch'è peggio, ne' luoghi più terribili o più pietosi della storia, a ogni occasione d'eccitar maraviglia, o di far pensare, a tutti que' passi insomma che richiedono bensì un po' di rettorica, ma rettorica discreta, fine, di buon gusto, costui non manca mai di metterci di quella sua così fatta del proemio. E allora, accozzando, con un'abilità mirabile, le qualità più opposte, trova la maniera di riuscir rozzo insieme e affettato, nella stessa pagina, nello stesso periodo, nello stesso vocabolo. Ecco qui: declamazioni ampollose, composte a forza di solecismi pedestri, e da per tutto quella goffaggine ambiziosa, ch'è il proprio carattere degli scritti di quel secolo, in questo paese. In vero, non è cosa da presentare a lettori d'oggigiorno: son troppo ammaliziati, troppo disgustati di questo genere di stravaganze. Meno male, che il buon pensiero m'è venuto sul principio di questo sciagurato lavoro: e me ne lavo le mani.Riuscirà Cota a dividere ciò che Manzoni ha unito?