sabato, giugno 02, 2007

gödel (I)

Se due linee sono disegnate in modo da intersecarne una terza in modo che la somma degli angoli interni, da un lato, sia minore di due angoli retti, allora le due linee si intersecheranno tra loro dallo stesso lato se sufficientemente prolungate.

euclide

in questo periodo sono ossessionato (di nuovo) dal teorema di incompletezza di gödel.

una delle cose che mi da piú fastidio al riguardo: se ne parla sempre, dichiarando che secondo questo meraviglioso teorema, ci sono proposizioni matematiche vere che non possono essere dimostrate (lascio perdere i dettagli).

ora, questa formulazione é sbagliata. grottenfalsch, direbbero i tedeschi. in matematica é vero solo ció che é dimostrabile. non c'é una definizione di veritá che prescinda da quella di dimostrabilitá.

ció che dice veramente il teorema di gödel é che ci sono proposizioni matematiche che in un dato sistema di assiomi non sono né vere, né false. un esempio semplice: si prendano i primi 4 postulati di euclide. riguardo al sistema assiomatico generato dai primi quattro, il quinto é una proposizione di gödel, nel senso che non é né vero né falso nel sistema matematico generato dai primi quattro postulati. per inciso: cosí sono nate le geometrie non euclidee.

3 commenti:

hronir ha detto...

Oh, finalmente posso dirmi pienamente d'accordo con quanto affermi!
Anch'io trovo irritante sentire sempre tirare fuori questa storia del "vero ma non-dimostrabile". Persino il famosissimo libro di Nagel e Newman cade in questo equivoco. (Mentre invece trovo bellissimo il modo di Hofstadter di affrontare il problema...)
Ciao!

Lap(l)aciano ha detto...

mi fa imbestialire questo equivoco! soprattutto quando sono professoroni di fama a cadere nella trappola gödeliana...

mi consigli quindi di leggere "gödel, escher, bach"?

da tempo cerco di trovare qualcuno che mi "costringa" a leggerlo: una certa pigrizia me lo ha impedito fino ad ora.

a marzo sono stato a roma al festival della matematica, e hofstädter ha tenuto una meravigliosa lectio magistralis, ne sono rimasto affascinato.

hronir ha detto...

Mah, io sono un grande fan di Hofstadter e soprattutto di GEB, quindi se mi chiedi se te lo consiglio, la risposta è ovviamente sì.
Se mi chiedi "ma mi piacerà?", non posso promettere nulla, perchè sento in giro pareri discordanti. Alcuni criticano la sua posizione sull'IA, altri criticano l'impostazione del tutto non-tradizionale del libro (lamentando che impiega un librone per dire cose che poteva dire in molto meno).
Io l'ho trovato fantastico, tanto per lo stile inusuale quanto per le tesi sostenute e ancora per l'eterogeneità dei temi trattati.
That's all.
Fammi sapere se cominci a leggerlo :)

Ah, se sei rimasto affascinato Roma, direi che hai tutti i prerequisiti per apprezzare GEB!