gödel (I)

Se due linee sono disegnate in modo da intersecarne una terza in modo che la somma degli angoli interni, da un lato, sia minore di due angoli retti, allora le due linee si intersecheranno tra loro dallo stesso lato se sufficientemente prolungate.

euclide

in questo periodo sono ossessionato (di nuovo) dal teorema di incompletezza di gödel.

una delle cose che mi da piú fastidio al riguardo: se ne parla sempre, dichiarando che secondo questo meraviglioso teorema, ci sono proposizioni matematiche vere che non possono essere dimostrate (lascio perdere i dettagli).

ora, questa formulazione é sbagliata. grottenfalsch, direbbero i tedeschi. in matematica é vero solo ció che é dimostrabile. non c'é una definizione di veritá che prescinda da quella di dimostrabilitá.

ció che dice veramente il teorema di gödel é che ci sono proposizioni matematiche che in un dato sistema di assiomi non sono né vere, né false. un esempio semplice: si prendano i primi 4 postulati di euclide. riguardo al sistema assiomatico generato dai primi quattro, il quinto é una proposizione di gödel, nel senso che non é né vero né falso nel sistema matematico generato dai primi quattro postulati. per inciso: cosí sono nate le geometrie non euclidee.