giovedì, febbraio 28, 2008

Simmetrie di gauge (II)

Qualche giorno fa esponevo a d.m. la mia dicotomica divisione fra dicotomie per il concetto di simmetria nella fisica.
La prima dicotomia è quella fra simmetrie di gauge e simmetrie spaziali. La seconda dicotomia è quella fra simmetrie locali e globali.

Qual'è il problema, mi chiedevo ieri, nel considerare simmetrie spaziali locali?

Come ho già fatto notare, per considerare simmetrie spaziali, è necessario che il dominio D su cui è definita la nostra funzione possieda un gruppo di simmetrie parametrizzazo tramite un certo gruppo Z.

Se adesso vogliamo che la simmetria sia locale, abbiamo bisogno di una famiglia a due parametri di trasformazioni di D in D, diciamo

(s_{z,x})_{z \in Z, x \in D}

Il problema, adesso, è che questa famiglia di simmetrie deve essere un gruppo secondo l'operazione di composizione; questo vuol dire (mi sembra in questo momento) che fissato z, la famiglia (s_{z,x})_{x \in D} debba essere un gruppo, rispetto alla legge di gruppo in D.

Ma allora stiamo chiedendo a D di avere un gruppo di simmetrie parametrizzato in D stesso!

Due cose non mi sono chiare:

La prima, se il mio ragionamento di cui sopra è corretto.

La seconda, se esistono domini (a parte le palle unitarie) che hanno questa bizzarra proprietà.

10 commenti:

hronir ha detto...

purtroppo è passato molto tempo da quando mi divertivo con queste cose, quindi la mia osservazione potrebbe essere molto ingenua e/o inappropriata.

Ma non è proprio una simmetria spaziale locale che contraddistingue la relatività generale?

PS
Sai da dove deriva il termine "gauge" per le teorie di campo con simmetria locale (interna)?

delio ha detto...

> il dominio D su cui è definita la nostra funzione

> rispetto alla legge di gruppo in D.

cos'è la legge di gruppo di un dominio???

rispetto alla seconda domanda: a naso almeno i tori potrebbero avere una legge di gruppo (una roba tipo U(n)), e anche i tubi (pensa ad una traslazione). probabilmente anche un reticolo o, piú in generale, un grafo di cayley (se rilassi un po' le ipotesi su D). se ho capito bene cosa intendi, ovviamente.

hronir: cosa intendi per "contraddistingue"? che le caratterizza? considera che il tenutario del blog ed io lavoriamo con equazioni alle derivate parziali.

hronir ha detto...

si', delio, intendevo quello: la relativita' generale non e' forse una teoria di gauge (la prima, storicamente, teoria di gauge!) che ha il gruppo di simmetria spaziale come gruppo di gauge?

Lap(l)aciano ha detto...

Ciao hronir,

ma l'elettrodinamica classica non è anche lei una teoria di gauge a causa del gauge di Lorentz per il potenziale vettoriale?

hronir ha detto...

intendi dire che forse e' l'elettrodinamica classica ad essere la prima teoria di gauge?
In realta' credo si tratti di un problema di terminologia.
Il termine "gauge" viene introdotto da Weyl nel tentativo di spiegare l'elettromagnetismo con una simmetria locale simile a quella della relativita' generale, solo che invece di coinvolgere l'orientazione della tetrade spaziotemporale, avrebbe coinvolto il valore della distanza (da cui il termine gauge, calibro). Il tentativo, in questi termini, falli': la simmetria giusta per l'elettrodinamica non era piu' una simmetria "spaziale" come quella della relativita', ma una simmetria "interna", come poi furono quelle per le altre interazioni (debole e forte). Il nome gauge rimase e da allora venne usato sia per le simmetrie interne che, anche se piu' raramente, per la simmetria "spaziale" della relativita' generale.
Dunque, quale fu la prima teoria di gauge? Certamente l'elettrodinamica classica ha un'invarianza che, a posteriori, rappresenta proprio la simmetria locale U(1) di una teoria di campo di gauge. Ma la prima teoria che, consapevolmente, usa il concetto di simmetria locale per una teoria di campo, e' la relativita' generale di Einstein.
Ma insomma, e' questione di nomi... :)

Lap(l)aciano ha detto...

Giusto per intenderci sui nomi: con "simmetria di gauge" intendo sempre una simmetria "interna".

Grazie per la spiegazione storica...

hronir ha detto...

Si', avevo immaginato che sottintendessi una simile identificazione, viste le distinzioni nelle tue due dicotomie.
La mia osservazione (legata forse alla tua seconda domanda del post) era che la relativita' generale dovrebbe appunto rappresentare una teoria di campo con simmetria spaziale (non interna) locale (non globale).
Ti torna?
Ciao!

hronir ha detto...

A proposito di simmetrie in fisica, magari vi interessa questo mio vecchio post...
Ciao!

Lap(l)aciano ha detto...

Ciao hronir,

in realtà quel tuo vecchio post lo conosciamo bene e ci ha motivato a tentare di capire cosa abbiamo calcolato prima qui e poi qui.

Grazie comunque per la segnalazione, così mi sono riscaricato il libro di Rovelli a Friburgo.

A presto
Stefano

hronir ha detto...

:D