roma

circa un mese fa sono stato al festival della matematica a roma. in una delle lunghissime code che hanno caratterizzato quei giorni ho conosciuto due studenti di scuola, il più giovane dei quali era al terzo liceo, ed era dotato di un eccellente istinto matematico. mi ha anche spiegato la dimostrazione elementare di un esercizio che non ero riuscito a risolvere molti anni fa, quando un mio coinquilino al primo anno venne disperato da me chiedendo aiuto. in suo onore (che peccato, non so nemmeno come si chiama), riporto la dimostrazione. una piccola premessa: con [x] si indica il più grande numero intero più piccolo di x. esempio: [1.2]=1, [-2.5]=-3. c´e´ un punto dove c´e´ un salto interessante: chi lo trova avra´ i miei complimenti.

Lemma
Sia 0< q <1 irrazionale. Allora la successione a(n):=nq-[nq] è densa nell'intervallo [0,1].

Dimostrazione
Si fissino epsilon>0 e x in (0,1) arbitrari. Cerchiamo un a(n), tale che |a(n)-x|< epsilon. Si osservi preventivamente che la successione ha valori in [0,1].
Per prima cosa si consideri un n0 sufficientemente grande, tale che n0>1/epsilon. Si consideri la partizione equidistante dell'intervallo [0,1] di larghezza 1/n0. Si consideri adesso un n1 > n0 e si noti che l'insieme (a(1),...,a(n1)) ha due elementi in almeno uno dei sottointervalli della partizione. Denoteremo questi due elementi n3 e n4.
Adesso è evidente che a(n3-n4) si trova nel primo intervallo e, per l'irrazionalità di q, è diverso da 0. Si scelga k tale che ka(n3-n4)=a(k(n3-n4)) sia nello stesso intervallo di x, cioè |a(k(n3-n4))-x|< epsilon, qed.

grafi orientati

Un grafo orientato D (o digrafo, grafo diretto) è un insieme D = (V, A), dove V è l'insieme dei vertici di D e A è l'insieme degli archi orientati di D.

Wikipedia

sto cominciando a capire perche´ sono pochi a occuparsi di grafi orientati. stiamo studiando proprieta´ di simmetria per equazioni di diffusione su reti, per le quali e´ necessario capire alcune cose sui grafi orientati. per giove, e´ un rompicapo formidabile!

il problema e´ che non riesco a trovare una rappresentazione discreta conveniente del problema.

il Libro e i sottobicchieri

per farvi capire che tipo e´ il mio prof vi vorrei raccontare un aneddoto. conoscete erdos? per lo meno di nome? beh, era un geniale matematico ungherese (1913-1996). ha scritto centinaia di articoli. fondato la teoria dei grafi casuali. dimostrato senza analisi complessa il teorema sulla distribuzione dei numeri primi. insomma, un geniaccio. chiamava le dimostrazioni meravigliose che ogni tanto si incontrano in matematica "dimostrazioni dal Libro". intendendo col Libro la lista delle dimostrazioni perfette in possesso di dio. non che ci credesse, in dio, parliamoci chiaro. ma per i matematici, diceva, e´ necessario credere nel Libro.

il mio prof (che non e´ erdos, pero´ e´ bravo comunque) le chiama "dimostrazioni da sottobicchieri" (bierdeckel in tedesco) perche´ possono essere eseguite in un pub, in tre righe, su un sottobicchiere.

non vi immaginate un tedesco birraiolo: e´ solo che non ama le cose troppo pompose.

per assurdo

Everything should be made as simple as possible, but not one bit simpler.

A. Einstein

durante le esercitazioni di analisi I ho notato uno strano fenomeno. appena si spiega ai ragazzi che esiste una tecnica chiamata "dimostrazione per assurdo", essi ne diventano immediatamente dipendenti, e dimostrano per assurdo anche proposizioni che possono essere dimostrate direttamente. peggio: ogni tanto affermano di aver dimostrato per assurdo cose che hanno dimostrato direttamente.

chiarisco il concetto: devono dimostrare la proposizione A. cominiciano la dimostrazione col dire: supponiamo che A sia falsa. poi dimostrano direttamente che A e´ vera. concludono quindi: cio´ contraddice la mia ipotesi che A fosse falsa, e quindi ho dimostrato per assurdo che A e´ vera. divertente, no?

anche matematici piu´ anziani non sono esenti da questo difetto. come viene dimostrato il teorema dei numeri primi, classicamente? per assurdo! supponiamo ce ne siamo n, ne costruisco un n+1esimo, e quindi mi ero sbagliato. si vede pero´ che questa e´ una dimostrazione per induzione, e non per assurdo.

Proposizione

Per ogni n numero naturale esistono p(1),...,p(n) distinti numeri primi.

Dimostrazione

Lo si dimostra per induzione completa su N. Per n=1 e´ evidentemente vero, dato che 2 e´ primo. Siano p(1),...,p(n) primi. Si definisca q=[p(1) x p(2) x...x p(n)]+1. Si consideri la (univoca) fattorizzazione di q=q(1)^a(1) x...x q(m)^a^(m). Per costruzione nessuno dei q(i) e´ in {p(1),...,p(n)}. Si definisca p(n+1):=q(1). Adesso p(1),...,p(n+1) sono primi distinti, e cosi´ il passo induttivo e´ provato, qed.

reti di attrattori

stavo leggendo alcuni articoli su anelli continui di neuroni. si usano tali cose bizzare per simulare, dicono questi scienziati, la memoria a breve termine di pattern visivi. c´e´ qualcosa pero´ che mi disturba. loro dicono che il riconoscimento di un pattern corrisponde alla convergenza di una certa equazione di evoluzione verso un equilibrio inomogeneo. ovvero che la soluzione di tale equazione di evoluzione, che chiamero´ u(t,x) converge per t --> oo verso una funzione v(x) che non e´ costante rispetto a x.

ora, per giove, decidetevi! volete una memoria a breve termine, o volete una memoria a lungo termine? se la memoria e´ a breve termine, si suppone che per t-->oo i vari pattern vengano, per cosi´ dire, azzerati. ovvero che u(t,x) converga verso una funzione v(x)=c, cioe´ costante nello spazio.

quello che io tenderei ad affermare, insomma, e´ che la memoria a breve termine corrisponde ad un transiente nell´equazione di evoluzione. la memoria a lungo termine, ovvero il fatto che ci siano dei pattern registrati nell´anello, corrisponde invece all´esistenza di soluzioni asintotiche. d´altra parte, leggendo codesti articoli, ho anche capito il motivo storico per cui si e´ originato questo equivoco. ma questa e´ un´altra storia.

firing rate e dimensioni finite

ieri ho pianificato con h.m. un articolo che dobbiamo scrivere. ci domandavamo perche´ e´ male occuparsi di modelli neurali basati sul firing rate, o a dimensione finita. h.m. e io siamo in due campi diversi delle neuroscienze, ma stranamente eravamo d´accordo sulla malvagita´ intrinseca di tali modelli. stamattina sono anche in grado di precisarlo: perche´ in questa maniera si pre-suppone che la codifica neurale sia il firing rate o il potenziale somatico, e´ non c´e´ nessuna evidenza per una simile assunzione.

primavera

voi che uscite all´amore, che cedete all´aprile

f. de andre´

sembra che sia arrivata la primavera in svevia. questo fine settimana sono stato a tü, dove dovevo pagare una scommessa - i debiti di gioco si pagano subito. ho studiato un po´ e mi sono goduto il primo sole del 2007.
ieri a cena ho chiacchierato a lungo con amici: parlare di matematica aiuta sempre a chiarirsi le idee su di essa, ma non sono riuscito a convincere il mio prof a iniziarmi ai misteri dei prodotti tensoriali di spazi di banach.
chissa´, forse, un giorno.

errata su einstein

il post di oggi per ammettere un errore. in realta´ il buon vecchio einstein ha ben poco a che fare con l´atomica. ecco la storia in breve. nel 1938 un gruppo di scienziati berlinesi scoprono che i nuclei di uranio, bombardati da neutroni, decadono producendo a loro volta neutroni ed energia. immaginare una reazione a catena e´ evidentemente facile. cosicche´ leo szilard, allarmato, si rivolge ad einstein affinche´ egli scriva una lettera a roosvelt per sollecitare attenzione. tuttavia, per un errore di calcolo (probabilmente comune anche ad heisenberg), sembrava che fossero necessarie tonnelate di uranio per costruire una bomba. quantita´ di uranio che al tempo non erano concepibili. cosi´ roosvelt istituisce una commissione per dare un contentino ad einstein, ma la dota dell´incredibile budget di 6000 dollari annui. questo accadeva nel 1939. successivamente, un gruppo di ricercatori inglesi scopre l´errore nei calcoli di szilard, heisenberg ed einstein e realizza che nella reazione vengono prodotti sufficienti neutroni per generare una reazione a catena anche con meno di un chilo di uranio (e siamo nel 1941). la commissione informa il governo britannico, che gira l´informazione a quello statunitense. solo allora roosvelt capisce che si puo´ costruire la bomba e, nel 1942, fa partire il progetto manhattan.

cervello di topo

interaction is complexity

d.m. e s.c.

dei ricercatori di losanna si sono imbarcati in una impresa mostruosa: stanno ricostruendo il cervello di un topo montando migliaia di processori, che immagino simulino in tempo reale dei neuroni di tipo h-h, in parallelo. sul sito di spiegel si possono trovare un sacco di informazioni, anche se in tedesco.
premetto che mi piacerebbe immensamente trovare una maniera per fare un periodo da loro. pero' mi chiedevo: cosa vogliono ottenere precisamente?
e´ ovvio che questa mia domanda e´ un po´ sciocca, dato che e´ evidente che non lo sanno, ne possono saperlo. pero´ mi domandavo che tipo di informazioni ci si puo´ aspettare da un progetto del genere. sono curioso di vedere come andra´ a finire.

dall´analogico al digitale all´analogico (I)

premetto che ho avuto una forte tentazione di dedicare questo post a questo articolo dell´avvenire, incredibilmente fazioso e con una messe di acrobazie logiche da far felice ogni professore di analisi 1.

tuttavia voglio rendere partecipe il mondo di una mia erkenntnis sull´utilita´ dell´analisi funzionale nello studio della computazione neurale.

1) i meccanismi a livello locale sono ben compresi: e´ chiaro come un congegno analogico (ovvero un´equazione differenziale) puo´ produrre come risultato asintotico - raggiungibile in tempi brevi con i giusti parametri - effetti di soglia, moltiplicazione, modulazione e cosi´ via discorrendo. potrebbe quindi sembrare che ogni singolo neurone altro non sia che un congegno analogico in grado di effettuare operazioni digitali.

2) however, i neuroni sono strutture estese, e non appena si consideri il meccanismo fisico, che porta a trasmettere queste informazioni da uno all´altro, e´ necessario considerare spazi a dimensione infinita. e ovviamente e´ possibile capirci qualcosa solo con un utilizzo appropriato dell´analisi funzionale. e questa trasmissione ha un carattere intrinsecamente analogico.

3) non solo: se si vogliono studiare le dinamiche di sistemi di neuroni, e´ impossibile sperare di poter ottenere soluzioni esplicite anche per il piu´ semplice dei modelli. e´ anche le simulazioni si scontrano con la terribile complessita´ computazionale delle equazioni alle derivate parziali non lineari. rimane da sperare che l´analisi qualitativa che puo´ essere effettuata tramite l´analisi funzionale possa dare qualche risultato. cosa che succede.

4) alcuni potrebbero obiettare che, dato che si e´ dimostrato che i neuroni possono svolgere operazioni digitali, allora la mente e´ un grosso computer. ovviamente, questo e´ un assioma, accettabile o meno. e´ la sua accettabilita´, ovvero il fatto che la complessita´ di una rete faccia emergere fenomeni di tipo non prettamente algoritmico, puo´ essere decisa solo studiandone le proprieta´ ad un livello non locale.