roma

circa un mese fa sono stato al festival della matematica a roma. in una delle lunghissime code che hanno caratterizzato quei giorni ho conosciuto due studenti di scuola, il più giovane dei quali era al terzo liceo, ed era dotato di un eccellente istinto matematico. mi ha anche spiegato la dimostrazione elementare di un esercizio che non ero riuscito a risolvere molti anni fa, quando un mio coinquilino al primo anno venne disperato da me chiedendo aiuto. in suo onore (che peccato, non so nemmeno come si chiama), riporto la dimostrazione. una piccola premessa: con [x] si indica il più grande numero intero più piccolo di x. esempio: [1.2]=1, [-2.5]=-3. c´e´ un punto dove c´e´ un salto interessante: chi lo trova avra´ i miei complimenti.

Lemma
Sia 0< q <1 irrazionale. Allora la successione a(n):=nq-[nq] è densa nell'intervallo [0,1].

Dimostrazione
Si fissino epsilon>0 e x in (0,1) arbitrari. Cerchiamo un a(n), tale che |a(n)-x|< epsilon. Si osservi preventivamente che la successione ha valori in [0,1].
Per prima cosa si consideri un n0 sufficientemente grande, tale che n0>1/epsilon. Si consideri la partizione equidistante dell'intervallo [0,1] di larghezza 1/n0. Si consideri adesso un n1 > n0 e si noti che l'insieme (a(1),...,a(n1)) ha due elementi in almeno uno dei sottointervalli della partizione. Denoteremo questi due elementi n3 e n4.
Adesso è evidente che a(n3-n4) si trova nel primo intervallo e, per l'irrazionalità di q, è diverso da 0. Si scelga k tale che ka(n3-n4)=a(k(n3-n4)) sia nello stesso intervallo di x, cioè |a(k(n3-n4))-x|< epsilon, qed.