sinapsi, catene di markov multiple e limiti secondo cesaro

i have never done anything 'useful'. no discovery of mine has made, or is likely to make, directly or indirectly, for good or ill, the least difference to the amenity of the world

g. h. hardy

in questi giorni discutevo con un ragazzo di friburgo, che sta studiando un modello di sinapsi per il riconoscimento locale di correlazioni. fra gli altri problemi che deve risolvere, me ne ha presentato uno, per lui statistico, per me di analisi funzionale, che vi presento in una forma lievemente modificata.

il nostro scenario è il seguente: ci sono una certa quantità di particelle che si muovono in uno spazio-tempo discreto. ad ogni step temporale si muovono dallo stato i allo stato j con probabilità a_{ij}. con questi a_{ij} si può formare una matrice, detta matrice di transizione. la nostra situazione è però un po' più complicata. ad ogni step temporale, si sceglie la matrice di transizione da un insieme di M matrici transizione, secondo un certo vettore di probabilità p=(p_k). per comodità diamo un nome a queste matrici di transizione



la domanda che ci poniamo: esiste, ed in che senso, una distribuzione limite delle particelle? più precisamente ci si chiede se il limite



esista ed a che condizioni.

se avessimo a che fare con una singola matrice di transizione, assumendo che essa sia primitiva, cioè che le sue potenze convergano ad una proiezione unidimensionale, cioè che l'unico autovalore sul cerchio unitario sia 1 e che abbia dimensione dell'autospazio relativo pari a 1, allora si dimostra facilmente che la probabilità che una particella x si trovi nello stato j converge verso



qui v è uno qualsiasi degli autovettori nell'autospazio relativo all'autovalore 1. si potrebbe dunque pensare che nel caso di M matrici di transizione il tutto si comporti come se la matrice di transizione fosse



qui p è il vettore di probabilità le cui componenti p_k sono le probabilità con cui A_k viene scelta in uno step temporale.

simulando al computer (per un numero alto ma fisso di particelle e di iterazioni) questo sistema dinamico discreto abbiamo subito notato che non erà così, ma che lo era solo se si faceva la media di varie simulazioni. mentro ero in bicicletta ho capito perchè: facendo la media su varie simulazioni non facevamo altro che passare dal limite della distribuzione di probabilità, che evidentemente non esiste a a causa delle oscillazioni dovute al passare da una catena di markov all'altra, al limite secondo cesaro che, altrettanto ovviamente, esiste.

la cosa più divertente è che quando ho tentato di spiegare al mio collega, fisico, che stavamo tentando di calcolare un limite che non esiste, lui non riusciva a capacitarsi di questo fenomeno...

baden (II)

si scopron le tombe, si levano i morti,
i martiri nostri, son tutti risorti,
le spade nel pugno, gli allori alle chiome,
la fiamma ed il nome, d'italia sul cuor

inno di garibaldi



una foto dal siegesdenkmal di freiburg.

maledetti prussiani! come hanno osato respingere gli attacchi di bourbaki!

che sia un segno del destino che mi dice di fermarmi qui?

vuoto temporale

dove andiamo noi, non c'è bisogno di strade

e. l. "doc" brown

al momento sto studiando la teoria dei processi di rinnovamento, cioè la teoria che si occupa di modellare il ricorrere di eventi quando il tempo che intercorre fra un evento e l'altro è determinato da una variabile aleatoria.

ciò che ci fanno i neuroscienziati è
1) approssimare la serie dei potenziali di azione di un neurone tramite un processo di rinnovamento,
2) sovrappore le serie provenienti da vari neuroni dopo averli resi statisticamente dipendenti, e
3) tentare di sviluppare metodi statistici per districare le dipendenze osservando il processo sovrapposto.

tutto ciò viene fatto in via teorica, con l'idea di applicarlo, appena il metodo funzionerà, come metodo per verificare quanto i neuroni si discostino dall'ipotesi zero di un banale generatore casuale di potenziali d'azione.

questa settimana non ho fatto altro che tentare di orientarmi nella giungla di pubblicazioni, e ho scoperto una cosa veramente divertente; si comincia nel 1948, quando willi k. feller pubblica un articolo dal titolo "fluctuation theory of recurrent events" che tratta il caso di un tempo discretizzato.

dopodicchè tutto il mondo sembra voler estendere ad ogni caso possibile la teoria di feller (che, a proposito, doveva essere uno mica male). fino a quando, nel 1976, un matematico russo, b. a. sevastyanov, pubblica un survey.

poi per dieci anni, sembra non accadere nulla, fino a quando tutto il campo non si rianima in un contesto completamente diverso.

o io non ho capito niente, com'è probabile dato che sono nuovo del campo, oppure è molto divertente...

ps: solo ora mi accorgo che qui avevo già citato cox e miller (1965), il quale cox, a sua volta, è l'idolo dei neuroscienziati locali.

l'ultima crociata

guarda, ci sono molti tipi di dimostrazione. uno di essi è un metodo a cascata, in cui parti da un numero e riesci a proseguire per tutti i numeri naturali.

p. milella

giusto per portare acqua al mio mulino: gowers fa notare che una dimostrazione índuttiva sui numeri naturali può sempre essere trasformata in una dimostrazione per assurdo.

io vado un po' più in la: dico che la dimostrazione giusta è quella induttiva, e che quella per assurdo è solo una complicazione inutile. e questo perchè una dimostrazione induttiva ha sempre nascosto dentro di se un algoritmo, a differenza di quella per assurdo.

forme sesquilineari (I)

in mathematics you don’t understand things. you just get used to them.

j. von neumann

john von neumann mi diviene sempre più simpatico, col passare del tempo. e dire che non l'ho mai amato nella mia fanciullezza. per il progetto manhattan e quelle storie lì, s'intende.

cerco, dunque, di "get used" al concetto di forma sesquilineare, dopo due anni di dottorato passati a lavorarci. partiamo considerando un hamiltoniano H di un sistema quantistico. questo hamiltoniano avrà degli autovalori, se è stato fornito delle giuste condizioni al bordo. ogni buon fisico sa che tali autovalori sono le energie che può possedere il sistema quantistico quando viene osservato.

matematicamente, non c`è nessun motivo preciso per considerare le energie solo di un sistema osservato; in generale, l'energia contenuta da una funzione d'onda la posso definire tramite la dualità dello spazio di hilbert dove sto lavorando come



astraendo ancora di più, dato che sappiamo che il sistema si "muove" nella direzione dell'hamiltoniano, possiamo dire con un abuso di terminologia che i puristi mi perdoneranno, che la quantità di moto del sistema, che deve essere quindi un vettore dello spazio di hilbert, è dato dall'hamiltoniano applicato al sistema stesso.

non sto affermando che l'operatore quantistico della quantità di moto sia l'hamiltoniano! sto solo affermando la tautologia che la direzione e velocità del sistema dinamico definito dall'equazione di schödinger



possa essere identificata da H&psi(t), a meno di una moltiplicazione con uno scalare. la qual cosa, ripeto, è una tautologia. quello che mi interessa, in questo momento, è identificare il vettore H&psi(t).

per il teorema di rappresentazione di riesz possiamo identificare questo vettore nello spazio di hilbert, osservandone il prodotto scalare con gli altri vettori. chiamando dunque Q(&psi,&phi) la quantità di moto dello stato &psi nella direzione &phi si ottiene



Q è allora la nostra "applicazione della quantità di moto". il prossimo passo è quello di definire le proprietà essenziali di questa applicazione della quantità di moto Q che abbiamo appena definito. ogni applicazione avente tale proprietà definisce una forma sesquilineare per cui è possibile sviluppare una teoria unificata e coerente.

ma non oggi.

corsi e ricorsi

meditate gente, meditate!

renzo arbore

trascrivo l'indice di "Lectures on Theoretical Physics", H. A. Lorentz, Princeton University Press, 1927.

Aether theories and aether models

I. Aberration of Light
1. Stoke's Theory: The Earth drags the Surrounding Aether.
2. Velocity Potential in an Incompressible Aether.
3. Planck's Theory: Compressible Aether.
4. Fresnel's Theory: Fixed Aether.
5. Dragging Coefficient.
6. Theory of Aberration.
7. Michelson's Experiment.
8. Contraction in the Direction of Motion.

II. Mechanical Aether Theories

et cetera et cetera...

ovviamente non voglio prendermi gioco di h. a. lorentz, premio nobel per la fisica nel 1902. solo: ciò di cui allora era normale parlare ci sembra oggi una assurdità infantile...

il testo è preso dal progetto gutenberg, se interessa.

dall´analogico al digitale all´analogico (II)

nec procul afuerunt telluris margine summae:
hic, ne deficeret, metuens avidusque videndi
flexit amans oculos, et protinus illa relapsa est.

publio ovidio nasone

qui a friburgo sono nuovamente affascinato dalle neuroscienze; torno allora su un tema che ho già trattato in passato.

uno dei miei argomenti preferiti per giustificare il passaggio dello studio delle reti neurali come sistemi dinamici continui alle reti di spiking neurons si basa sulle equazioni di fitzhugh-nagumo, d'ora in poi fn. sono una semplificazione fenomenologica delle equazioni di hodgkin-huxley, che descrivono con ammirevole precisione il comportamento elettrico delle membrane dei neuroni. il modello fn è particolarmente istruttivo, perchè, se si tralascia l'accoppiamento del voltaggio con la variabile di recupero, che gli conferisce un carattere "periodico", permettono di capire esattamente il significato del concetto di soglia in un sistema dinamico.

le fn, private dell'accoppiamento con la variabile di recupero, hanno la forma



qui T denota la soglia e A l'ampiezza per motivi che spiego immediatamente: sostituendo a y_0 i valori 0,T,A, si vede che essi sono punti stazionari. d'altra parte y' è minore di 0 per valori maggiori di A, oppure fra 0 e T, maggiore di 0 per valori fra T e A oppure per valori minori di 0. dato che le soluzioni di un sistema dinamico non possono incrociarsi per il teorema di picard-lindelöf, ne consegue che la soluzione converge ad A (l'ampiezza!) per dati iniziali maggiori di T (la soglia!) e converge a 0 per valori iniziali minori di T.

detto in altre parole, il sistema dinamico associato all'equazione di cui sopra non è altro che un dispositio che trasforma un segnale analogico (il dato iniziale scelto in R) in un segnale digitale (il valore a cui converge la soluzione scelto in {0,A}). è possibile, inoltre, accelerare o rallentare questo dispositivo aggiungendo un fattore V, rispettivamente maggiore o minore di 1, davanti al lato destro dell'equazione. questa è un'ottima giustificazione, a mio parere, per considerare le reti neurali di spiking neurons una buona approssimazione di quellie rappresentate da sistemi dinamici continui. inoltre è anche un buon esempio di come ottenere buona positura globale per un'equazione differenziale ordinaria che abbia un lato destro non globalmente lipschitziano.

qualche considerazione, adesso, sul concetto astratto di soglia; per esprimersi con precisione, bisognerebbe dire che A è un punto fisso dell'equazione, con bacino di attrazione (T,\infty). da qui si può generalizzare il concetto di soglia, definendo la soglia di un punto fisso di un sistema dinamico come il bordo del suo bacino di attrazione.

questa erkenntnis sicuramente non è nuova, come la maggior parte delle mie illuminazioni. tuttavia mi riservo di tornare sull'argomento, magari con qualche riflessione sui cicli limite e onde viaggianti...

semafori

gullit è come cervo che esce di foresta

v. boskov

ieri ho avuto un'illuminazione, mentre seguivo un talk sui potenziali locali di campo nel cervello. eccovela qua, fresca di lampadina:

un circuito elettrico è come un semaforo ideale: quando diventa verde, tutte le cariche si muovon insieme.

che poi mi ricorda la recensione di un cortometraggio che non son riuscito a vedere al platform nobudget di tübingen. era su un tipo che voleva spiegare al mondo come coordinarsi per essere come un circuito elettrico.

baden (I)

i want to ride my bike

the queen

questa città di freiburg ha qualcosa di inquietante: il numero abnorme di biciclette. ci sono (di gran lunga) più biciclette che macchine. ci sono strade riservate alla biciclette. non piste ciclabili, ma strade riservate alle biciclette. oppure promiscue con le macchine, dove però le macchine hanno il limite di 20 km/h. è vero che la città è piatta, e quindi si presta. però è qusi eccessivo.

la seconda cosa inquietante: la mole della pagina di wiki. certe cose mi rendono le città immediatamente simpatiche. e se sfogliate un po' l'articolo noterete che ci sono molti articoli correlati.

una cosa bella è l'accento: lento, un po' come in svizzera, piacevole e tranquillo e senza eccessi di sch...

fantasia al potere

musa, quell'uom di multiforme ingegno dimmi

i. pindemonte

solo per lodare un ragazzo di nome frank endler che, annoiato dal materiale scadente che riceveva per i suoi esperimenti di elettrofisiologia, ha deciso di scrivere un software che gli permette di usare delle schede sonore commerciali al posto dei carissimi, quanto inefficienti, apparecchi ricevuti.