guardando un bel film ieri al cinema ho fatto questa riflessione.
Premessa
Per l'uomo (e immagino per la maggior parte dei mammiferi) il grasso è la parte più preziosa dei costituenti corporei. Può sembrare strano sentirlo dire così, ma è una meravigliosa riserva di energia, utilizzabile in ogni momento. Per questo è così difficile dimagrire: il corpo è programmato per non utilizzare che non in caso di estremo bisogno le sue riserve di combustibile d'emergenza. Per tutte le normali attività usa infatti gli zuccheri, che tanto se ne trovano dappertutto in natura.
Analogia
Qual'è l'equivalente del grasso per la società? Qual'è la forma di energia più concentrata che possediamo? Su, su, non fatvi pregrare: il petrolio!
Quindi, sarebbe giusto utilizzare il petrolio, elemento meraviglioso, esattamente come il nostro corpo fa con il grasso: solo quando ce n'è veramente bisogno.
E quando non c'è ne bisogno, tirare avanti con le energie a facile disponibilità: che so, solare, eolica, idroelettrica...
Morale
Così come l'obesità è una malattia odierna causata da un (apparente) eccesso di disponibilità di cibo, anche l'inquinamento della terra è una malattia della società dovuta ad un (apparente) eccesso di disponibilità di petrolio.
domenica, febbraio 24, 2008
sabato, febbraio 23, 2008
Simmetrie di gauge (I)
Nel portare a termine la scrittura della mia tesi, mi par finalmente di aver capito come formulare il concetto di simmetria di gauge senza usare nulla di geometria differenziale, ma solo analisi funzionale.
Supponiamo, dunque, che la funzione u(t,x) dove x varia nel dominio D e designa lo spazio e t designa il tempo e varia fra 0 e T, sia la soluzione di un certa equazione differenziale
dove A è un operatore che non dipende dal tempo.
Una simmetria spaziale, allora, è una famiglia
di applicazioni su D che costituisca un gruppo per la composizione di funzioni e che mandi soluzioni dell'equazione in altre equazioni dell'equazione, cioè tale che
sia una soluzione dell'equazione per ogni z, supposto che u(t,x) sia una soluzione dell'equazione.
(A dire la verità, una simmetria è un'applicazione che lascia invariante la Lagrangiana, ma in prima approssimazione può bastare quanto detto prima).
Come si vede, le simmetrie spaziali hanno un grande svantaggio: è possibile considerarle solo nel caso il dominio D abbia qualche tipo di simmetria.
Le simmetrie di Gauge non hanno questo svantaggio. Supponiamo che la funzione u(t,x) abbia valori in uno spazio di Hilbert complesso H (nel caso banale: nel campo dei numeri complessi). Supponiamo adesso che la famiglia
sia un gruppo unitario di operatori lineari sullo spazio di Hilbert H. Allora essa è una simmetria di gauge se
è una soluzione dell'equazione per ogni z, supposto che u(t,x) sia una soluzione.
Come si vede, simmetrie di questo tipo non hanno bisogno di alcuna assunzione sul dominio!
Peraltro, ci ho messo circa due anni prima di capire che la mia tesi è esattamente su simmetrie di gauge per grafi quantistici. Quello che dovrei fare ora che ho finito, è buttare la mia tesi dal balcone e riscrivere tutto dall'inizio...
Supponiamo, dunque, che la funzione u(t,x) dove x varia nel dominio D e designa lo spazio e t designa il tempo e varia fra 0 e T, sia la soluzione di un certa equazione differenziale
dove A è un operatore che non dipende dal tempo.
Una simmetria spaziale, allora, è una famiglia
di applicazioni su D che costituisca un gruppo per la composizione di funzioni e che mandi soluzioni dell'equazione in altre equazioni dell'equazione, cioè tale che
sia una soluzione dell'equazione per ogni z, supposto che u(t,x) sia una soluzione dell'equazione.
(A dire la verità, una simmetria è un'applicazione che lascia invariante la Lagrangiana, ma in prima approssimazione può bastare quanto detto prima).
Come si vede, le simmetrie spaziali hanno un grande svantaggio: è possibile considerarle solo nel caso il dominio D abbia qualche tipo di simmetria.
Le simmetrie di Gauge non hanno questo svantaggio. Supponiamo che la funzione u(t,x) abbia valori in uno spazio di Hilbert complesso H (nel caso banale: nel campo dei numeri complessi). Supponiamo adesso che la famiglia
sia un gruppo unitario di operatori lineari sullo spazio di Hilbert H. Allora essa è una simmetria di gauge se
è una soluzione dell'equazione per ogni z, supposto che u(t,x) sia una soluzione.
Come si vede, simmetrie di questo tipo non hanno bisogno di alcuna assunzione sul dominio!
Peraltro, ci ho messo circa due anni prima di capire che la mia tesi è esattamente su simmetrie di gauge per grafi quantistici. Quello che dovrei fare ora che ho finito, è buttare la mia tesi dal balcone e riscrivere tutto dall'inizio...
mercoledì, febbraio 06, 2008
componente connessa (II)
al contrario di ciò che io e d.m. facciamo di solito, ieri mi è capitato di dover utilizzare un risultato di teoria dei grafi per dimostrare una proposizione di analisi funzionale.
Proposizione
Sia G un grafo. Allora esistono
sottografi disgiunti e disconnessi di G, tale che ciascuno di essi è connesso.
Tale famiglia è univocamente determinata.
Dimostrazione
Si consideri la relazione R sull'insieme dei nodi di G definita da aRb se e solo se esiste un cammino (finito) da a a b.
R è una relazione di equivalenza, infatti
1) aRa, grazie al cammino triviale (a,a).
2) aRb implica bRa. Si prenda il cammino di lunghezza n
Il cammino inverso
ha lunghezza n e congiunge b ad a.
3) Se aRb e bRc allora, aRc. Infatti, siano
due cammini di lunghezza rispettivamente n e m, congiungenti il nodo a al nodo b e il nodo b al nodo c. Allora il cammino
ha lunghezza n+m e congiunge il nodo a al nodo c.
Si denoti N l'insieme dei nodi e si consideri l'insieme quoziente N/R. Allora gli elementi di N/R sono le componenti connesse del grafo. L'unicità è conseguenza dell'unicità dell'insieme quoziente, q.e.d.
Proposizione
Sia G un grafo. Allora esistono
sottografi disgiunti e disconnessi di G, tale che ciascuno di essi è connesso.
Tale famiglia è univocamente determinata.
Dimostrazione
Si consideri la relazione R sull'insieme dei nodi di G definita da aRb se e solo se esiste un cammino (finito) da a a b.
R è una relazione di equivalenza, infatti
1) aRa, grazie al cammino triviale (a,a).
2) aRb implica bRa. Si prenda il cammino di lunghezza n
Il cammino inverso
ha lunghezza n e congiunge b ad a.
3) Se aRb e bRc allora, aRc. Infatti, siano
due cammini di lunghezza rispettivamente n e m, congiungenti il nodo a al nodo b e il nodo b al nodo c. Allora il cammino
ha lunghezza n+m e congiunge il nodo a al nodo c.
Si denoti N l'insieme dei nodi e si consideri l'insieme quoziente N/R. Allora gli elementi di N/R sono le componenti connesse del grafo. L'unicità è conseguenza dell'unicità dell'insieme quoziente, q.e.d.
venerdì, gennaio 18, 2008
Suriettività
Per D.M. da me e R.N.
È vero che il duale di c={successioni convergenti} è isomorfo a
. Però l'isomorfismo non è quello che uno si aspetta. Infatti sarebbe portato a definire per un funzonale r in c* una successione sommabile come 
, dove 
sono i vettori della base canonica di c00={successioni finite}. Tuttavia questa applicazione f:r --> x(r) non è quella giusta.
Si prenda per mostrarlo il funzionale lineare r, continuo su c che ad una successione y associa il suo limite, i.e. r(y)=lim(y). Ovviamente
. Quindi l'applicazione f ha come immagine una succesione sommabile, cioè (0,0,...). Ma questa successione sommabile non è quella giusta, perchè applicata ad una successione di c non restituisce il suo limite.
Detto in altre parole, f non è surgettiva.
È vero che il duale di c={successioni convergenti} è isomorfo a
. Però l'isomorfismo non è quello che uno si aspetta. Infatti sarebbe portato a definire per un funzonale r in c* una successione sommabile come , dove sono i vettori della base canonica di c00={successioni finite}. Tuttavia questa applicazione f:r --> x(r) non è quella giusta.Si prenda per mostrarlo il funzionale lineare r, continuo su c che ad una successione y associa il suo limite, i.e. r(y)=lim(y). Ovviamente
. Quindi l'applicazione f ha come immagine una succesione sommabile, cioè (0,0,...). Ma questa successione sommabile non è quella giusta, perchè applicata ad una successione di c non restituisce il suo limite.Detto in altre parole, f non è surgettiva.
martedì, gennaio 15, 2008
Funzioni armoniche (I)
Mi sto avvicinando alla discussione della tesi, e ho deciso di riguardarmi un po' di cose che stanno pian piano scomparendo dalla memoria. Ne approfitto per risvegliare dalla sua morte apparente il mio blog, rendendo onore al suo nome.
Perchè l'operatore di Laplace è fondamentale?
Tutti sanno che per un campo vettoriale v vale il teorema della divergenza
Ora, immaginiamo che il campo vettoriale sia il gradiente
di una funzione f sufficientemente regolare. Dato che vale la relazione (basta farsi i conti!)
allora usando il teorema della divergenza sul gradiente di f si ottiene che
dove la seconda uguaglianza altro non è che la definizione della derivata normale.
Questa relazione ha un sacco di consequenze divertenti. Ad esempio, supponiamo che f sia armonica, cioè che
e supponiamo che il nostro dominio sia unapalla di raggio R. Allora la derivata normale su ogni sfera di raggio r < R può essere espressa come
per ogni r e con F funzione crescente. Se f è armonica, allora l'espressione, che è continua in r, si annulla, e quindi assume sempre il valore assunto in 0, che è f(0). (se non vi ricordate cos'è F, basta moltiplicarla per l'inverso di f(0)).
In pratica, quello che abbiamo appena derivato è il teorema del valor medio, che dice che se f è armonica allora f(0) è uguale al valore dell'integrale di f su ogni sfera.
Perchè l'operatore di Laplace è fondamentale?
Tutti sanno che per un campo vettoriale v vale il teorema della divergenza
Ora, immaginiamo che il campo vettoriale sia il gradiente
di una funzione f sufficientemente regolare. Dato che vale la relazione (basta farsi i conti!)allora usando il teorema della divergenza sul gradiente di f si ottiene che
dove la seconda uguaglianza altro non è che la definizione della derivata normale.
Questa relazione ha un sacco di consequenze divertenti. Ad esempio, supponiamo che f sia armonica, cioè che
e supponiamo che il nostro dominio sia unapalla di raggio R. Allora la derivata normale su ogni sfera di raggio r < R può essere espressa come per ogni r e con F funzione crescente. Se f è armonica, allora l'espressione, che è continua in r, si annulla, e quindi assume sempre il valore assunto in 0, che è f(0). (se non vi ricordate cos'è F, basta moltiplicarla per l'inverso di f(0)).
In pratica, quello che abbiamo appena derivato è il teorema del valor medio, che dice che se f è armonica allora f(0) è uguale al valore dell'integrale di f su ogni sfera.
lunedì, dicembre 10, 2007
grafi connessi e numerabili
ho scoperto un fenomeno veramente sorprendente. ricordo che un grafo è localmente numerabile se l'insieme di lati che connettono due nodi è numerabile per ogni coppia di nodi. ricordo anche che un grafo è connesso se fra ogni due nodi esiste un cammino di lunghezza finita.
Teorema
Sia G un grafo. Se G è localmente numerabile e connesso, allora G è numerabile.
Dimostrazione
Si fissi un nodo arbitrario v e si definisca
l'insieme dei nodi distanti n da v.
A causa della locale numerabilità, stesso è numerabile, e dato che G è connesso, allora
è un insieme numerabile in quanto unione numerabile di insiemi numerabili.
Dato che G è localmente numerabile, allora fra ogni due lati ci sono al massimo un insieme numerabile di lati. Quindi G ha al massimo NxNxN lati, e quindi G è numerabile, q.e.d..
domanda di oggi:
Si può usare un argomento simile per dedurre la numerabilità dall'irridicubilità?
secondo me, si.
ps: il concetto di connessione per cammini e di connessione topologica sono equivalenti per un grafo!
Teorema
Sia G un grafo. Se G è localmente numerabile e connesso, allora G è numerabile.
Dimostrazione
Si fissi un nodo arbitrario v e si definisca
l'insieme dei nodi distanti n da v.A causa della locale numerabilità,
stesso è numerabile, e dato che G è connesso, alloraè un insieme numerabile in quanto unione numerabile di insiemi numerabili.
Dato che G è localmente numerabile, allora fra ogni due lati ci sono al massimo un insieme numerabile di lati. Quindi G ha al massimo NxNxN lati, e quindi G è numerabile, q.e.d..
domanda di oggi:
Si può usare un argomento simile per dedurre la numerabilità dall'irridicubilità?
secondo me, si.
ps: il concetto di connessione per cammini e di connessione topologica sono equivalenti per un grafo!
martedì, dicembre 04, 2007
vortici extradimensionali
è un'anfora di energia cosmica... ed è puntata contro di me!
crystal
qualche giorno fa, scrivendo la tesi, ho fatto una divertente osservazione riguardante grafi infiniti. partiamo dal caso finito e immaginiamo di avere una stella con un numero finito di punte, cioè un punto da cui si dipartono un numero finito di segmenti. su ognuno di questi segmenti abbiamo un'equazione di schrödinger che governa una funzione d'onda. supponiamo che non ci sia assorbimento ne eccitazione nel punto centrale, cioè che tutti gli elettroni che arrivano al centro possano proseguire.
la cosa migliore per studiare questo problema è scrivere il funzionale dell'energia, che altro non è che l'integrale su tutta la stella del gradiente quadrato della funzione d'onda; alle funzioni sui diversi lati si impone solamente che esista la derivata e che abbiano un valore comune al centro. questo ansatz funziona, e l'operatore associato a questo funzionale dell'energia è quello giusto.
ancora meglio: in questo caso, l'equazione di schödinger ha tutte le proprietà possibili e immaginabili, e, per riassumere in poche parole, è quasi indistinguibile da un'equazione di schrödinger su un dominio. in particolare, se la funzione d'onda è concentrata su un segmento, allora si espanderà in tutti gli altri.
nel caso la stella abbia infiniti lati. accade qualcosa di strano: il nodo centrale si comporta come se fosse imposta una condizione di dirichlet. in pratica, è un buco nero che inghiotte tutti gli elettroni che vengono a trovarsi li.
una spiegazione intuitiva è la seguente: immaginate di essere un elettrone in procinto di attraversare il nodo centrale. per simmetria avete una probabilità identica di passare ad ogni altro lato. dato che i lati sono infiniti, questa identica probabilità è 0, è così venite risucchiati da un vortice extradimensionale. amen.
ps: per altro: così si possono intrappolare funzioni d'onda in un lato prefissato.
crystal
qualche giorno fa, scrivendo la tesi, ho fatto una divertente osservazione riguardante grafi infiniti. partiamo dal caso finito e immaginiamo di avere una stella con un numero finito di punte, cioè un punto da cui si dipartono un numero finito di segmenti. su ognuno di questi segmenti abbiamo un'equazione di schrödinger che governa una funzione d'onda. supponiamo che non ci sia assorbimento ne eccitazione nel punto centrale, cioè che tutti gli elettroni che arrivano al centro possano proseguire.
la cosa migliore per studiare questo problema è scrivere il funzionale dell'energia, che altro non è che l'integrale su tutta la stella del gradiente quadrato della funzione d'onda; alle funzioni sui diversi lati si impone solamente che esista la derivata e che abbiano un valore comune al centro. questo ansatz funziona, e l'operatore associato a questo funzionale dell'energia è quello giusto.
ancora meglio: in questo caso, l'equazione di schödinger ha tutte le proprietà possibili e immaginabili, e, per riassumere in poche parole, è quasi indistinguibile da un'equazione di schrödinger su un dominio. in particolare, se la funzione d'onda è concentrata su un segmento, allora si espanderà in tutti gli altri.
nel caso la stella abbia infiniti lati. accade qualcosa di strano: il nodo centrale si comporta come se fosse imposta una condizione di dirichlet. in pratica, è un buco nero che inghiotte tutti gli elettroni che vengono a trovarsi li.
una spiegazione intuitiva è la seguente: immaginate di essere un elettrone in procinto di attraversare il nodo centrale. per simmetria avete una probabilità identica di passare ad ogni altro lato. dato che i lati sono infiniti, questa identica probabilità è 0, è così venite risucchiati da un vortice extradimensionale. amen.
ps: per altro: così si possono intrappolare funzioni d'onda in un lato prefissato.
lunedì, novembre 26, 2007
ex congettura
an enticing game is to choose the basis so as to make the matrix as simple as possible.
paul halmos
qui avevo formulato una congettura. ebbene, tale congettura è falsa. Infatti vale il seguente lemma:
Lemma
La matrice di incidenza di un grafo è un operatore limitato su l^2 se e solo se il grafo è uniformemente localmente finito.
la dimostrazione è un calcolo semplice in ambo le direzioni (una la devo a d.m.). la cosa divertente è che tutto ciò ha lo stesso aroma del capitolo di "a hilbert space problem book" di halmos, nel capitolo dove discute di matrici infinite. in particolare assomiglia ad un lemma di toeplitz che afferma che se A è un operatore su l^2, allora esiste una rappresentazione matriciale dove ogni colonna contiene solo un numero finito di elementi diversi da 0.
ed anche oggi ho un intrattieni...
paul halmos
qui avevo formulato una congettura. ebbene, tale congettura è falsa. Infatti vale il seguente lemma:
Lemma
La matrice di incidenza di un grafo è un operatore limitato su l^2 se e solo se il grafo è uniformemente localmente finito.
la dimostrazione è un calcolo semplice in ambo le direzioni (una la devo a d.m.). la cosa divertente è che tutto ciò ha lo stesso aroma del capitolo di "a hilbert space problem book" di halmos, nel capitolo dove discute di matrici infinite. in particolare assomiglia ad un lemma di toeplitz che afferma che se A è un operatore su l^2, allora esiste una rappresentazione matriciale dove ogni colonna contiene solo un numero finito di elementi diversi da 0.
ed anche oggi ho un intrattieni...
giovedì, novembre 08, 2007
componente connessa (I)
quant'è bella giovinezza che si fugge tuttavia!
lorenzo de'medici
in risposta ad un mio amico barese, ecco qua una spiegazione visiva del significato del termine "componente connessa".
immaginiamo di vivere in un arcipelago di isole, collegate tra loro da ponti, ognuno dei quali è percorso da una strada a doppio senso. l'isola dove noi viviamo si chiama aaaahh. un giorno prendiamo la macchina e ci avviamo per il primo ponte che incontriamo, che si chiama uuunnno. per semplicità, supponiamo che l'unica strada interna alle isole sia una litoranea percorribile solo in senso orario, cosicchè esiste un unico primo ponte che si incontra partendo da un qualsiasi punto della strada. prima di attraversare il ponte disegniamo su un foglietto un punto rappresentante l'isola e una linea per il ponte.
attraversiamo questo ponte ed arriviamo su di una seconda isola, l'isola di bbbbee. nuovamente cerchiamo il primo ponte, che chiamiamo ddueeee. potrebbe essere quello da cui siamo appena arrivati, nel caso ci sia un solo ponte per bbbbee. in questo caso facciamo sul nostro foglietto una croce su bbbbee, per segnarci che abbiamo percorso tutti i ponti, e torniamo a aaaahh, a prendere il successivo ponte. nell'altro caso, segniamo sulla carta prendiamo il ponte ddueeee e proseguiamo per andare all'isola di cccì.
li proseguiremo questa operazione in un'ovvia progressione; alla fine avremo solo isole segnate da croci sulla nostra carta: quella che vediamo disegnata è una componente connessa del grafo delle isole.
le altre le possiamo trovare volando con l'aereo su un'altra isola e ricominciando il gioco...
lorenzo de'medici
in risposta ad un mio amico barese, ecco qua una spiegazione visiva del significato del termine "componente connessa".
immaginiamo di vivere in un arcipelago di isole, collegate tra loro da ponti, ognuno dei quali è percorso da una strada a doppio senso. l'isola dove noi viviamo si chiama aaaahh. un giorno prendiamo la macchina e ci avviamo per il primo ponte che incontriamo, che si chiama uuunnno. per semplicità, supponiamo che l'unica strada interna alle isole sia una litoranea percorribile solo in senso orario, cosicchè esiste un unico primo ponte che si incontra partendo da un qualsiasi punto della strada. prima di attraversare il ponte disegniamo su un foglietto un punto rappresentante l'isola e una linea per il ponte.
attraversiamo questo ponte ed arriviamo su di una seconda isola, l'isola di bbbbee. nuovamente cerchiamo il primo ponte, che chiamiamo ddueeee. potrebbe essere quello da cui siamo appena arrivati, nel caso ci sia un solo ponte per bbbbee. in questo caso facciamo sul nostro foglietto una croce su bbbbee, per segnarci che abbiamo percorso tutti i ponti, e torniamo a aaaahh, a prendere il successivo ponte. nell'altro caso, segniamo sulla carta prendiamo il ponte ddueeee e proseguiamo per andare all'isola di cccì.
li proseguiremo questa operazione in un'ovvia progressione; alla fine avremo solo isole segnate da croci sulla nostra carta: quella che vediamo disegnata è una componente connessa del grafo delle isole.
le altre le possiamo trovare volando con l'aereo su un'altra isola e ricominciando il gioco...
sabato, novembre 03, 2007
buona notte
dolce e chiara è la notte e senza vento,
e queta sovra i tetti e in mezzo agli orti
posa la luna, e di lontan rivela
serena ogni montagna.
g. leopardi
premesso che non sono costretto a "gettarmi a terra, gridare e fremere" come il buon giacomo (anzi, oggi ho anche rifiutato un invito al rockside della mia graziosa coinquilina), ammetto che ho passato tutta la serata a fare conti.
con questi risultati.
Congettura
La matrice di di incidenza di un grafo è un operatore limitato su l^2 se e solo se il grafo contiene O(k) nodi di grado k.
Dimostrazione
Speriamo domani.
PS: se qualcuno fosse infastidito dalla notazione con O(k): vuol dire semplicemente che il limite superiore del numero dei nodi di grado k diviso k è minore di infinito.
e queta sovra i tetti e in mezzo agli orti
posa la luna, e di lontan rivela
serena ogni montagna.
g. leopardi
premesso che non sono costretto a "gettarmi a terra, gridare e fremere" come il buon giacomo (anzi, oggi ho anche rifiutato un invito al rockside della mia graziosa coinquilina), ammetto che ho passato tutta la serata a fare conti.
con questi risultati.
Congettura
La matrice di di incidenza di un grafo è un operatore limitato su l^2 se e solo se il grafo contiene O(k) nodi di grado k.
Dimostrazione
Speriamo domani.
PS: se qualcuno fosse infastidito dalla notazione con O(k): vuol dire semplicemente che il limite superiore del numero dei nodi di grado k diviso k è minore di infinito.
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