Sono contento di essere tornato a Friburgo, dopo la mia maratona di conferenze. Così ho anche il tempo di imparare qualcosa!
Ad esempio, oggi ho perso un po' di tempo a studiare la curva ROC. Spieghiamo il problema con un esempio: supponiamo che abbiate un forte mal di denti agli incisivi e andiate dal medico. Egli vi spiega che può avere due cause: un'infenzione del virus CRO o un'infezione del batterio ORC. L'unica maniera per distinguerli è misurare nel sange la concentrazione dell'anticorpo COR. Se è alta avete il temibile batterio, se è bassa avete l'arrendevole virus.
"Quanto alta? Quanto bassa?" sono le domande che subito risuonano (dovrebbero risuonare) nel vostro brillante cervelletto di matematici. Il problema è abbastanza complesso, anzi molto complesso. La prassi è quella di stabilire una soglia: al di la' di questa soglia si crede cha abbiate il batterio, al di sotto si crede che abbiate il virus.
Ovviamente può essere che, casualmente, abbiate un valore basso di anticorpi, ma che comunque vi siate presi il batterio (falso negativo), o cha abbiate un valore alto, ma causato dal virus (falso positivo). La curva ROC è la curva che vi dice qual'è la percentuale di veri positivi che è da attendersi supponendo di avere un dato numero di falsi positivi. È fonte di molte interessanti informazioni statistiche e vi consiglio di leggere almeno la pagina di wikipedia.
giovedì, agosto 06, 2009
mercoledì, luglio 29, 2009
Appello: dimostrazione del teorema dei 4 colori
Qualcuno sa se questo articolo e' vero?
L'autore da' una dimostrazione senza computer del teorema dei 4 colori. Potrebbe essere possibile, soprattutto dato che l'autore (Ibrahim Cahit) sembra essere un professionista.
Per i non-addetti ai lavori: il teorema dei 4 colori afferma che e' possibile colorare ogni mappa (senza enclavi) con al massimo 4 colori differenti. E' stato provato alla fine degli anni '80 verificando ogni caso possibile, dopo aver ridotto il problema ad un numero finito (ma grande) di casi critici possibili.
Ovviamente fu quasi uno scandalo per la comunita' matematica, quindi sarebbe veramente interessante sapere se esiste una dimostrazione "umana".
Purtroppo non sono un esperto di teoria dei grafi, quindi non penso di poter verificare la dimostrazione di persona: qualcuno sa qualcosa?
L'autore da' una dimostrazione senza computer del teorema dei 4 colori. Potrebbe essere possibile, soprattutto dato che l'autore (Ibrahim Cahit) sembra essere un professionista.
Per i non-addetti ai lavori: il teorema dei 4 colori afferma che e' possibile colorare ogni mappa (senza enclavi) con al massimo 4 colori differenti. E' stato provato alla fine degli anni '80 verificando ogni caso possibile, dopo aver ridotto il problema ad un numero finito (ma grande) di casi critici possibili.
Ovviamente fu quasi uno scandalo per la comunita' matematica, quindi sarebbe veramente interessante sapere se esiste una dimostrazione "umana".
Purtroppo non sono un esperto di teoria dei grafi, quindi non penso di poter verificare la dimostrazione di persona: qualcuno sa qualcosa?
martedì, luglio 28, 2009
Sfere dantesche
A quei pochi fortunati fra voi che hanno accesso al Mathematical Intelligencer, e che hanno una certa passione per l'arte e la letteratura, non posso far altro che consigliare di leggere The geometry of paradise, un bellissimo saggio di Mark Peterson sulla costruzione geometrica sottostante all'universo dantesco; in particolare dell'Empireo.
Peterson porta un sacco di argomenti molto convincenti per la tesi che Dante abbia consapevolmente utilizzato come modello S3, sarebbe a dire la superficie di una palla a quattro dimensioni. Puo' sembrare un po' sorprendente, date le conoscenze primitive che i medievali avevano della matematica, ma leggere il saggio convincera' abbastanza rapidamente della plausibilita' di tale interpretazione.
Dato che qui non siamo pero' su un blog di letteratura, ma su uno di matematica, cerchiamo di spiegare cos'e' S3. Come ho detto, essa e' la superficie di una palla quadridimensionale; algebricamente, se (x,y,z,t) sono le nostre coordinate, la palla e' determinata dall'equazione
Quali sono le caratteristiche di questa sfera?
1) Localmente sembra esattamente come R3; cioe' non e' possibile determinare da una misura locale se ci troviamo in R3 o in S3
2) La sfera non ha un bordo: non si puo' cadere dal bordo della terra, perche' la sua superficie e' S2! E non si puo' arrivare alla fine dell'empireo perche' e' S3!
3) Ovviamente, esattamente come la superficie della terra, il volume di S3 e' limitato. Sembra contraintuitivo, ma e' cosi'.
Insomma, se avete tempo, leggetevi l'articolo che e' estremamente interessante!
Peterson porta un sacco di argomenti molto convincenti per la tesi che Dante abbia consapevolmente utilizzato come modello S3, sarebbe a dire la superficie di una palla a quattro dimensioni. Puo' sembrare un po' sorprendente, date le conoscenze primitive che i medievali avevano della matematica, ma leggere il saggio convincera' abbastanza rapidamente della plausibilita' di tale interpretazione.
Dato che qui non siamo pero' su un blog di letteratura, ma su uno di matematica, cerchiamo di spiegare cos'e' S3. Come ho detto, essa e' la superficie di una palla quadridimensionale; algebricamente, se (x,y,z,t) sono le nostre coordinate, la palla e' determinata dall'equazione
x^2+y^2+z^2+t^2 \leq 1
x^2+y^2+z^2+t^2 = 1
Quali sono le caratteristiche di questa sfera?
1) Localmente sembra esattamente come R3; cioe' non e' possibile determinare da una misura locale se ci troviamo in R3 o in S3
2) La sfera non ha un bordo: non si puo' cadere dal bordo della terra, perche' la sua superficie e' S2! E non si puo' arrivare alla fine dell'empireo perche' e' S3!
3) Ovviamente, esattamente come la superficie della terra, il volume di S3 e' limitato. Sembra contraintuitivo, ma e' cosi'.
Insomma, se avete tempo, leggetevi l'articolo che e' estremamente interessante!
mercoledì, luglio 08, 2009
Giro di Germania
lunedì, luglio 06, 2009
Bilancio
Ho fatto un esperimento per due semestri: vedere che succede a far diventare di questo blog un diario professionale, inserendo i riferimenti alle lezioni.
L'esperimento è fallito, dato che mi ha tolto molto del piacere di scrivere su blog, e che la qualità di quello che ho scritto è stata decisamente bassa. Detto questo, è interessante vedere perchè l'esperimento è fallito.
Secondo me la causa principale di questo fallimento è il fatto che questo blog è principalmente una valvola di sfogo per le mie idee sotterranee. Per ciò che non ha un gran valore scientifico, ma piuttosto didattico, o estetico, o psicologico.
Quindi trasformarlo in uno strumento professionale ne ha distrutto un po' l'essenza.
Pazienza, gli esperimenti si fanno, e ogni tanto falliscono. Da oggi si riprende col vecchio stile.
L'esperimento è fallito, dato che mi ha tolto molto del piacere di scrivere su blog, e che la qualità di quello che ho scritto è stata decisamente bassa. Detto questo, è interessante vedere perchè l'esperimento è fallito.
Secondo me la causa principale di questo fallimento è il fatto che questo blog è principalmente una valvola di sfogo per le mie idee sotterranee. Per ciò che non ha un gran valore scientifico, ma piuttosto didattico, o estetico, o psicologico.
Quindi trasformarlo in uno strumento professionale ne ha distrutto un po' l'essenza.
Pazienza, gli esperimenti si fanno, e ogni tanto falliscono. Da oggi si riprende col vecchio stile.
venerdì, giugno 26, 2009
PP09 (VIII)
This week we have started the analysis of interactions between point processes. The oldest model in this context is probably due to Hawkes and it is based on the following idea.
We want to model a family point processes, each with its own events
where j is the index for the event and n is the index for the process. The simplest idea is to assume that each of the processes is Cox one, i.e. an inhomogeneous Poisson process whose rate function changes randomly in time. We then let depend the rate function on the realization itself of the point process, by convolving the realization with a causal kernel.
This procedure is known as a Hawkes process, and it is very useful. It only has a drawback for neuronal modeling: you cannot model inhibition, since your kernels have to be positive, but if you are interested in this problem, you probably should take a look at the lecture.
We want to model a family point processes, each with its own events
t_j^n, \qquad j,n \in \mathbb N
where j is the index for the event and n is the index for the process. The simplest idea is to assume that each of the processes is Cox one, i.e. an inhomogeneous Poisson process whose rate function changes randomly in time. We then let depend the rate function on the realization itself of the point process, by convolving the realization with a causal kernel.
This procedure is known as a Hawkes process, and it is very useful. It only has a drawback for neuronal modeling: you cannot model inhibition, since your kernels have to be positive, but if you are interested in this problem, you probably should take a look at the lecture.
lunedì, giugno 15, 2009
domenica, giugno 14, 2009
Auguri... (II)
Oggi mi sono ascoltato questa intervista a Maurizio Monti, del MSI. Al minuto 2:30 lui afferma, rispondendo all'intervistatrice che gli chiedeva se le divise delle ronde nere gli facessero venire in mente qualcosa
Ma sicuramente anche a me mi torna in mente qualcosa. [...] Il fascismo fa parte della storia italiana, fa parte del patrimonio del popolo italiano, è una cosa che è avvenuta tanti anni fa, è una cosa che può aver portato cose buone, e cose cattive, ma sa, i ricordi non fanno male a nessunoDetto in altre parole: questi sono neofasciti (vedi qui), lo dicono pure, e non se ne vergognano.
PP09 (VII)
Last time we have defined the spectrum of a point process.
In general, spectral properties of stochastic processes are an interesting and difficult topic. Interesting because of the amount of information that can be extracted by analysis in frequency domain, and difficult mainly because it is quite difficult to measure the spectrum of a stochastic process.
Why it is difficult? To measure the spectrum, one idea could be to sample the stochastic process for a very long time, to plug the observed values into the definition of the Fourier transform, and take this as an estimation of the spectrum.
Does it work? If you do this, you're actually computing the periodogram of the stochastic process: as you can read in wikipedia, the periodogram has the problem to be a non-consistent estimator of the spectrum, and this fact can't be avoided but by collecting more observations of the process.
So, surprisingly, the key is not to observe the process for a long time, but to collect many independent observations of them.
Of course, observing for long times also is useful, e.g. to reduce spectral leakage, but this is another story...
In general, spectral properties of stochastic processes are an interesting and difficult topic. Interesting because of the amount of information that can be extracted by analysis in frequency domain, and difficult mainly because it is quite difficult to measure the spectrum of a stochastic process.
Why it is difficult? To measure the spectrum, one idea could be to sample the stochastic process for a very long time, to plug the observed values into the definition of the Fourier transform, and take this as an estimation of the spectrum.
Does it work? If you do this, you're actually computing the periodogram of the stochastic process: as you can read in wikipedia, the periodogram has the problem to be a non-consistent estimator of the spectrum, and this fact can't be avoided but by collecting more observations of the process.
So, surprisingly, the key is not to observe the process for a long time, but to collect many independent observations of them.
Of course, observing for long times also is useful, e.g. to reduce spectral leakage, but this is another story...
giovedì, maggio 28, 2009
PP09 (VI)
Finally, the update of the lecture.
I will skip lecture VI: I was somehow busy last week, and I could not update the blog.
So, tuesday we started to learn something about networks. In particular, we discussed what can be said about the statistics of the superposition of renewal processes.
Superposition is not a renewal process.
Assume that you have two different processes and fix a spike at time -1 from the first process, the previous one being in a late past. Then, depending on when the last spike of the second process was, the hazard of the superposition will be different, and so it can't be a renewal process. The exception is of course the superposition of Poisson processes for which the hazard is constant.
Superposition of large numbers of renewal processes in equilibrium has exponential distributed intervals
How to see it? Formal method: compute the ISI distribution of the superposition, see the slides or the book by Cox. More intuitevly, you can reason in the following manner: first discretize with width dt the time and assume that a time 0 you had a spike from neuron 1. Now, the probability of having a spike at time 1 will be dt(r_1+r_2+...+r_n) approximately for all subsequent bins: this is because we are superimposing a large number of processes which all are in equilibrium. So, it is a Poisson process in discrete time, and going to the limit dt-->0 we obtain what we are looking for.
I will skip lecture VI: I was somehow busy last week, and I could not update the blog.
So, tuesday we started to learn something about networks. In particular, we discussed what can be said about the statistics of the superposition of renewal processes.
Superposition is not a renewal process.
Assume that you have two different processes and fix a spike at time -1 from the first process, the previous one being in a late past. Then, depending on when the last spike of the second process was, the hazard of the superposition will be different, and so it can't be a renewal process. The exception is of course the superposition of Poisson processes for which the hazard is constant.
Superposition of large numbers of renewal processes in equilibrium has exponential distributed intervals
How to see it? Formal method: compute the ISI distribution of the superposition, see the slides or the book by Cox. More intuitevly, you can reason in the following manner: first discretize with width dt the time and assume that a time 0 you had a spike from neuron 1. Now, the probability of having a spike at time 1 will be dt(r_1+r_2+...+r_n) approximately for all subsequent bins: this is because we are superimposing a large number of processes which all are in equilibrium. So, it is a Poisson process in discrete time, and going to the limit dt-->0 we obtain what we are looking for.
Iscriviti a:
Post (Atom)
