Cos'è la distribuzione di Poisson? A cosa serve? Come è possibile derivarla come somma di variabili di Bernoulli infinitesimali?
Queste ed altre domande sono risposte nella prima trasmissione di CardaTV!
domenica, agosto 16, 2009
giovedì, agosto 06, 2009
Discriminazioni matematiche
Sono contento di essere tornato a Friburgo, dopo la mia maratona di conferenze. Così ho anche il tempo di imparare qualcosa!
Ad esempio, oggi ho perso un po' di tempo a studiare la curva ROC. Spieghiamo il problema con un esempio: supponiamo che abbiate un forte mal di denti agli incisivi e andiate dal medico. Egli vi spiega che può avere due cause: un'infenzione del virus CRO o un'infezione del batterio ORC. L'unica maniera per distinguerli è misurare nel sange la concentrazione dell'anticorpo COR. Se è alta avete il temibile batterio, se è bassa avete l'arrendevole virus.
"Quanto alta? Quanto bassa?" sono le domande che subito risuonano (dovrebbero risuonare) nel vostro brillante cervelletto di matematici. Il problema è abbastanza complesso, anzi molto complesso. La prassi è quella di stabilire una soglia: al di la' di questa soglia si crede cha abbiate il batterio, al di sotto si crede che abbiate il virus.
Ovviamente può essere che, casualmente, abbiate un valore basso di anticorpi, ma che comunque vi siate presi il batterio (falso negativo), o cha abbiate un valore alto, ma causato dal virus (falso positivo). La curva ROC è la curva che vi dice qual'è la percentuale di veri positivi che è da attendersi supponendo di avere un dato numero di falsi positivi. È fonte di molte interessanti informazioni statistiche e vi consiglio di leggere almeno la pagina di wikipedia.
Ad esempio, oggi ho perso un po' di tempo a studiare la curva ROC. Spieghiamo il problema con un esempio: supponiamo che abbiate un forte mal di denti agli incisivi e andiate dal medico. Egli vi spiega che può avere due cause: un'infenzione del virus CRO o un'infezione del batterio ORC. L'unica maniera per distinguerli è misurare nel sange la concentrazione dell'anticorpo COR. Se è alta avete il temibile batterio, se è bassa avete l'arrendevole virus.
"Quanto alta? Quanto bassa?" sono le domande che subito risuonano (dovrebbero risuonare) nel vostro brillante cervelletto di matematici. Il problema è abbastanza complesso, anzi molto complesso. La prassi è quella di stabilire una soglia: al di la' di questa soglia si crede cha abbiate il batterio, al di sotto si crede che abbiate il virus.
Ovviamente può essere che, casualmente, abbiate un valore basso di anticorpi, ma che comunque vi siate presi il batterio (falso negativo), o cha abbiate un valore alto, ma causato dal virus (falso positivo). La curva ROC è la curva che vi dice qual'è la percentuale di veri positivi che è da attendersi supponendo di avere un dato numero di falsi positivi. È fonte di molte interessanti informazioni statistiche e vi consiglio di leggere almeno la pagina di wikipedia.
mercoledì, luglio 29, 2009
Appello: dimostrazione del teorema dei 4 colori
Qualcuno sa se questo articolo e' vero?
L'autore da' una dimostrazione senza computer del teorema dei 4 colori. Potrebbe essere possibile, soprattutto dato che l'autore (Ibrahim Cahit) sembra essere un professionista.
Per i non-addetti ai lavori: il teorema dei 4 colori afferma che e' possibile colorare ogni mappa (senza enclavi) con al massimo 4 colori differenti. E' stato provato alla fine degli anni '80 verificando ogni caso possibile, dopo aver ridotto il problema ad un numero finito (ma grande) di casi critici possibili.
Ovviamente fu quasi uno scandalo per la comunita' matematica, quindi sarebbe veramente interessante sapere se esiste una dimostrazione "umana".
Purtroppo non sono un esperto di teoria dei grafi, quindi non penso di poter verificare la dimostrazione di persona: qualcuno sa qualcosa?
L'autore da' una dimostrazione senza computer del teorema dei 4 colori. Potrebbe essere possibile, soprattutto dato che l'autore (Ibrahim Cahit) sembra essere un professionista.
Per i non-addetti ai lavori: il teorema dei 4 colori afferma che e' possibile colorare ogni mappa (senza enclavi) con al massimo 4 colori differenti. E' stato provato alla fine degli anni '80 verificando ogni caso possibile, dopo aver ridotto il problema ad un numero finito (ma grande) di casi critici possibili.
Ovviamente fu quasi uno scandalo per la comunita' matematica, quindi sarebbe veramente interessante sapere se esiste una dimostrazione "umana".
Purtroppo non sono un esperto di teoria dei grafi, quindi non penso di poter verificare la dimostrazione di persona: qualcuno sa qualcosa?
martedì, luglio 28, 2009
Sfere dantesche
A quei pochi fortunati fra voi che hanno accesso al Mathematical Intelligencer, e che hanno una certa passione per l'arte e la letteratura, non posso far altro che consigliare di leggere The geometry of paradise, un bellissimo saggio di Mark Peterson sulla costruzione geometrica sottostante all'universo dantesco; in particolare dell'Empireo.
Peterson porta un sacco di argomenti molto convincenti per la tesi che Dante abbia consapevolmente utilizzato come modello S3, sarebbe a dire la superficie di una palla a quattro dimensioni. Puo' sembrare un po' sorprendente, date le conoscenze primitive che i medievali avevano della matematica, ma leggere il saggio convincera' abbastanza rapidamente della plausibilita' di tale interpretazione.
Dato che qui non siamo pero' su un blog di letteratura, ma su uno di matematica, cerchiamo di spiegare cos'e' S3. Come ho detto, essa e' la superficie di una palla quadridimensionale; algebricamente, se (x,y,z,t) sono le nostre coordinate, la palla e' determinata dall'equazione
Quali sono le caratteristiche di questa sfera?
1) Localmente sembra esattamente come R3; cioe' non e' possibile determinare da una misura locale se ci troviamo in R3 o in S3
2) La sfera non ha un bordo: non si puo' cadere dal bordo della terra, perche' la sua superficie e' S2! E non si puo' arrivare alla fine dell'empireo perche' e' S3!
3) Ovviamente, esattamente come la superficie della terra, il volume di S3 e' limitato. Sembra contraintuitivo, ma e' cosi'.
Insomma, se avete tempo, leggetevi l'articolo che e' estremamente interessante!
Peterson porta un sacco di argomenti molto convincenti per la tesi che Dante abbia consapevolmente utilizzato come modello S3, sarebbe a dire la superficie di una palla a quattro dimensioni. Puo' sembrare un po' sorprendente, date le conoscenze primitive che i medievali avevano della matematica, ma leggere il saggio convincera' abbastanza rapidamente della plausibilita' di tale interpretazione.
Dato che qui non siamo pero' su un blog di letteratura, ma su uno di matematica, cerchiamo di spiegare cos'e' S3. Come ho detto, essa e' la superficie di una palla quadridimensionale; algebricamente, se (x,y,z,t) sono le nostre coordinate, la palla e' determinata dall'equazione
x^2+y^2+z^2+t^2 \leq 1
x^2+y^2+z^2+t^2 = 1
Quali sono le caratteristiche di questa sfera?
1) Localmente sembra esattamente come R3; cioe' non e' possibile determinare da una misura locale se ci troviamo in R3 o in S3
2) La sfera non ha un bordo: non si puo' cadere dal bordo della terra, perche' la sua superficie e' S2! E non si puo' arrivare alla fine dell'empireo perche' e' S3!
3) Ovviamente, esattamente come la superficie della terra, il volume di S3 e' limitato. Sembra contraintuitivo, ma e' cosi'.
Insomma, se avete tempo, leggetevi l'articolo che e' estremamente interessante!
mercoledì, luglio 08, 2009
Giro di Germania
lunedì, luglio 06, 2009
Bilancio
Ho fatto un esperimento per due semestri: vedere che succede a far diventare di questo blog un diario professionale, inserendo i riferimenti alle lezioni.
L'esperimento è fallito, dato che mi ha tolto molto del piacere di scrivere su blog, e che la qualità di quello che ho scritto è stata decisamente bassa. Detto questo, è interessante vedere perchè l'esperimento è fallito.
Secondo me la causa principale di questo fallimento è il fatto che questo blog è principalmente una valvola di sfogo per le mie idee sotterranee. Per ciò che non ha un gran valore scientifico, ma piuttosto didattico, o estetico, o psicologico.
Quindi trasformarlo in uno strumento professionale ne ha distrutto un po' l'essenza.
Pazienza, gli esperimenti si fanno, e ogni tanto falliscono. Da oggi si riprende col vecchio stile.
L'esperimento è fallito, dato che mi ha tolto molto del piacere di scrivere su blog, e che la qualità di quello che ho scritto è stata decisamente bassa. Detto questo, è interessante vedere perchè l'esperimento è fallito.
Secondo me la causa principale di questo fallimento è il fatto che questo blog è principalmente una valvola di sfogo per le mie idee sotterranee. Per ciò che non ha un gran valore scientifico, ma piuttosto didattico, o estetico, o psicologico.
Quindi trasformarlo in uno strumento professionale ne ha distrutto un po' l'essenza.
Pazienza, gli esperimenti si fanno, e ogni tanto falliscono. Da oggi si riprende col vecchio stile.
venerdì, giugno 26, 2009
PP09 (VIII)
This week we have started the analysis of interactions between point processes. The oldest model in this context is probably due to Hawkes and it is based on the following idea.
We want to model a family point processes, each with its own events
where j is the index for the event and n is the index for the process. The simplest idea is to assume that each of the processes is Cox one, i.e. an inhomogeneous Poisson process whose rate function changes randomly in time. We then let depend the rate function on the realization itself of the point process, by convolving the realization with a causal kernel.
This procedure is known as a Hawkes process, and it is very useful. It only has a drawback for neuronal modeling: you cannot model inhibition, since your kernels have to be positive, but if you are interested in this problem, you probably should take a look at the lecture.
We want to model a family point processes, each with its own events
t_j^n, \qquad j,n \in \mathbb N
where j is the index for the event and n is the index for the process. The simplest idea is to assume that each of the processes is Cox one, i.e. an inhomogeneous Poisson process whose rate function changes randomly in time. We then let depend the rate function on the realization itself of the point process, by convolving the realization with a causal kernel.
This procedure is known as a Hawkes process, and it is very useful. It only has a drawback for neuronal modeling: you cannot model inhibition, since your kernels have to be positive, but if you are interested in this problem, you probably should take a look at the lecture.
lunedì, giugno 15, 2009
domenica, giugno 14, 2009
Auguri... (II)
Oggi mi sono ascoltato questa intervista a Maurizio Monti, del MSI. Al minuto 2:30 lui afferma, rispondendo all'intervistatrice che gli chiedeva se le divise delle ronde nere gli facessero venire in mente qualcosa
Ma sicuramente anche a me mi torna in mente qualcosa. [...] Il fascismo fa parte della storia italiana, fa parte del patrimonio del popolo italiano, è una cosa che è avvenuta tanti anni fa, è una cosa che può aver portato cose buone, e cose cattive, ma sa, i ricordi non fanno male a nessunoDetto in altre parole: questi sono neofasciti (vedi qui), lo dicono pure, e non se ne vergognano.
PP09 (VII)
Last time we have defined the spectrum of a point process.
In general, spectral properties of stochastic processes are an interesting and difficult topic. Interesting because of the amount of information that can be extracted by analysis in frequency domain, and difficult mainly because it is quite difficult to measure the spectrum of a stochastic process.
Why it is difficult? To measure the spectrum, one idea could be to sample the stochastic process for a very long time, to plug the observed values into the definition of the Fourier transform, and take this as an estimation of the spectrum.
Does it work? If you do this, you're actually computing the periodogram of the stochastic process: as you can read in wikipedia, the periodogram has the problem to be a non-consistent estimator of the spectrum, and this fact can't be avoided but by collecting more observations of the process.
So, surprisingly, the key is not to observe the process for a long time, but to collect many independent observations of them.
Of course, observing for long times also is useful, e.g. to reduce spectral leakage, but this is another story...
In general, spectral properties of stochastic processes are an interesting and difficult topic. Interesting because of the amount of information that can be extracted by analysis in frequency domain, and difficult mainly because it is quite difficult to measure the spectrum of a stochastic process.
Why it is difficult? To measure the spectrum, one idea could be to sample the stochastic process for a very long time, to plug the observed values into the definition of the Fourier transform, and take this as an estimation of the spectrum.
Does it work? If you do this, you're actually computing the periodogram of the stochastic process: as you can read in wikipedia, the periodogram has the problem to be a non-consistent estimator of the spectrum, and this fact can't be avoided but by collecting more observations of the process.
So, surprisingly, the key is not to observe the process for a long time, but to collect many independent observations of them.
Of course, observing for long times also is useful, e.g. to reduce spectral leakage, but this is another story...
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