discentes primae analysis

ieri, mentre producevamo con r.n. un po' di quella che io amo definire matematica d'intrattenimento, ho finalmente capito perché gli studenti di analisi uno non sanno distinguere fra implicazione ed equivalenza.
il motivo è il seguente: supponiamo di avere un famiglia di insiemi, che chiamerò F. supponiamo che sia definita una certa proprietà P, per cui scrivo P(M)=1, se l`insieme M in F ha la proprietá P e scrivo P(M)=0 se non ce l'ha. é evidente che una proprietá é allora null'altro che un sottoinsieme della famiglia, per la precisione, il sottoinsieme F' della famiglia F, definito da M in F' se e solo se P(M)=1. si consideri adesso una proprietá P' tale che P'>P, sarebbe a dire una proprietà P' tale che se M ha P', allora ha anche P. in questo caso dico P' implica P.

Teorema

Si consideri la proprietá P+ definita tramite la seguente istruzione: P+ è l'intersezione di tutte le proprietà che implicano P. Allora vale P+=P.

Dimostrazione

È evidente che P+ contiene P, dato che ogni elemento dell'interesezione che forma P+ contiene P. D'altra parte P implica P, quindi P è presente nell'intersezione che forma P+, e quindi P contiene P+, qed.

questo, a mio parere, è il motivo formale per cui i poveri ragazzi di analisi uno non sanno distinguere fra implicazione ed equivalenza.

grafi casuali

bizzarrie della matematica: se si cerca di spiegare ad un profano cos'è un grafo casuale, allora si ricorre ad un punto di vista algoritmico. si spiega, in pratica, come si trova una realizzazione di un grafo casuale. peró, e allora il matematico si gira verso i suoi colleghi e sorride ironicamente per sottolineare la sua superioritá rispetto al profano, ignaro della Vera Scienza, peró in veritá un grafo casuale altro non è che uno spazio di probabilitá.

giusto per farsi capire, no?

è la fine

se non impazzisco questo fine settimana, allora ho vinto. la cosa buona è che prima di andarmene, sono riuscito a scrivere qualche post con gli accenti. un grazie a robin.

una nota culturale

und sie bewegt sich doch - ich habe fertig

galileo galilei e giovani trapattoni

notavo che la cultura ha una topologia simile a quella di un toro: gli estremi si toccano. una spiegazione implicita di questo fenomeno potete trovarla, spiegata da qualcuno che scrive molto meglio di me, in questo post di leonardo. la bild zeitung ne è l'interprete più verace, di questa topologia. l'idea geniale è di riunire in una sola campagna pubblicitaria, sotto l'ormai famoso slogan "jede wahrheit braucht einen mutigen, der sie ausspricht" giovanni trapattoni e galileo galilei. semplicemente geniale.

misurazioni frattali

un mio caro amico sta scrivendo la sua tesi di laurea. quello che fa, se ho capito bene, sapete, lui e´ biologo e io matematico, e´ confrontare diversi sistemi di misurazione per i crani di ominidi.successivamente dovrebbe testarne uno nuovo ad alta risoluzione.

mi ponevo un problema squisitamente teorico: supponiamo di avere a disposizione uno strumento capace di misurare con una risoluzione precisa a piacere. si noti che, dato che questo mio amico vuole effettuare delle misurazioni tramite metodi laser, questa assunzione non e´ cosi´ peregrina. fatta questa osservazione, mi sorge spontanea una domanda: si vuole misurare la superficie o il volume? nel primo caso e´ necessario scegliere un´unita´ di risoluzione appropriata, per evitare che la misura dia un valore tendente a infinito a cause della probabile natura frattale dell´oggetto da misurare. d´altra parte non vedo una maniera coerente di misurare direttamente il volume che rinunci ad una scelta a prioristica di un livello di risoluzione.

stamattina in autobus, quindi, mi domandavo come si risolve questo dilemma. effettivamente, mi sembra che l´unica soluzione pratica e utile sia quella di scegliere come livello di risoluzione la scala intrinseca del cervello, cioe´ la grandezza dei neuroni, o il diametro di un assone, o qualsiasi cosa in qualche maniera relazionabile ad esse.

ps: a proposito, qui c´e´ una recensione del libro di mandelbrot "the fractal geometry of nature" scritta da wheeler, quello dei buchi neri.

roma

circa un mese fa sono stato al festival della matematica a roma. in una delle lunghissime code che hanno caratterizzato quei giorni ho conosciuto due studenti di scuola, il più giovane dei quali era al terzo liceo, ed era dotato di un eccellente istinto matematico. mi ha anche spiegato la dimostrazione elementare di un esercizio che non ero riuscito a risolvere molti anni fa, quando un mio coinquilino al primo anno venne disperato da me chiedendo aiuto. in suo onore (che peccato, non so nemmeno come si chiama), riporto la dimostrazione. una piccola premessa: con [x] si indica il più grande numero intero più piccolo di x. esempio: [1.2]=1, [-2.5]=-3. c´e´ un punto dove c´e´ un salto interessante: chi lo trova avra´ i miei complimenti.

Lemma
Sia 0< q <1 irrazionale. Allora la successione a(n):=nq-[nq] è densa nell'intervallo [0,1].

Dimostrazione
Si fissino epsilon>0 e x in (0,1) arbitrari. Cerchiamo un a(n), tale che |a(n)-x|< epsilon. Si osservi preventivamente che la successione ha valori in [0,1].
Per prima cosa si consideri un n0 sufficientemente grande, tale che n0>1/epsilon. Si consideri la partizione equidistante dell'intervallo [0,1] di larghezza 1/n0. Si consideri adesso un n1 > n0 e si noti che l'insieme (a(1),...,a(n1)) ha due elementi in almeno uno dei sottointervalli della partizione. Denoteremo questi due elementi n3 e n4.
Adesso è evidente che a(n3-n4) si trova nel primo intervallo e, per l'irrazionalità di q, è diverso da 0. Si scelga k tale che ka(n3-n4)=a(k(n3-n4)) sia nello stesso intervallo di x, cioè |a(k(n3-n4))-x|< epsilon, qed.

grafi orientati

Un grafo orientato D (o digrafo, grafo diretto) è un insieme D = (V, A), dove V è l'insieme dei vertici di D e A è l'insieme degli archi orientati di D.

Wikipedia

sto cominciando a capire perche´ sono pochi a occuparsi di grafi orientati. stiamo studiando proprieta´ di simmetria per equazioni di diffusione su reti, per le quali e´ necessario capire alcune cose sui grafi orientati. per giove, e´ un rompicapo formidabile!

il problema e´ che non riesco a trovare una rappresentazione discreta conveniente del problema.