MCCN0809 - II

Today, the first exercises about real neuroscience models are coming.

Sprechi

Ci sono i baroni universitari, i corsi universitari per appena 10 studenti e cosi' via

Renato Brunetta sugli sprechi all'università

Vorrei far presente al ministro che in tutti i corsi avanzati che ho seguito all'università, in Germania, i professori facevano i salti di gioia se arrivavano a 10 studenti.

D'altra parte voglio vedere come si fa ad avere più di 10 studenti per "Teoria spettrale" o "Teoria dell'informazione", se l'intera facoltà ha 100 immatricolati all'anno...

Sulle origini del monopolio maschile della violenza

Ieri sera, dopo il secondo bicchiere di vino rosso, io e la mia ragazza abbiamo elaborato una teoria sul perchè in quasi tutte le società del mondo gli uomini hanno il monopolio della violenza e delle armi.

1. Lemma
La detenzione di un'arma rende più probabile la morte violenta del detentore.

Questo pensiamo sia vero per vari motivi: il motivo principale è che in una società molto primitiva gli scontri per l'accesso alle risorse erano probabilmente molto comuni. In questo caso, i detentori d'arma erano coloro che tendevano a combattere con altri detentori d'arma, dato che i non detentori si astenevano per paura, accontentandosi degli avanzi; probabilmente l'effetto netto di tale abitudine era l'aumento del tasso di mortalità degli armati. Probabilmente anche la partecipazione alla caccia era fonte di rischio per i detentori d'armi.

2. Generazione casuale di tradizioni
Per motivi puramente statistici, ci saranno state delle società e culture in cui ambo i sessi avevano accesso alle armi, altre in cui erano riservate agli uomini e altre in cui erano riservate alle donne.

3. Selezione
Quale società o cultura avrà avuto il maggior successo? Ovviamente quelle in cui l'accesso alle armi era riservato agli uomini! Le altre, infatti, erano demograficamente svantaggiate; infatti il tasso di nascita massimo annuale di una popolazione è, per motivi evidenti, approssimativamente uguale alla percentuale di donne. In tale maniera, si sono imposte e perpetuate società in cui le donne non avevano accesso alle armi.

MCCN0809 - I

Da oggi comincerò ad aggiornare il compendio di matematica per il corso di Neuroscienze Computazionali di cui curo le esercitazioni.

L'esercizio più divertente di oggi riguarda il fatto che sistemi dinamici discreti lineari possono essere "sensibili" ad alcuni sottospazi.

Soluzioni lineari a problemi non lineari

Fissiamo una retta R e un vettore v di C^n. C'è una maniera algoritmica, iterativa che permetta di calcolare il vettore u su R che sia più vicino a v?

Ecco la soluzione "dinamica": si costruisca una matrice M che abbia come autospazio per l'autovalore 1 esattamente la retta R e tale che tutti gli altri autovalori siano in valore assoluto minori di 1. Allora non è difficile far vedere che le potenze M^n applicate a v convergono esattamente ad u.

Ovviamente il problema sta nel trovare una M con le proprietà richieste. Altrettanto ovviamente, risolvere questo problema è, purtroppo, esattamente equivalente al problema di trovare u direttamente...

Appunti

Da un po' di tempo ho preso l'abitudine di prendere appunti su internet, quando leggo un articolo o un libro, invece che sui solito fogli volanti.

Qua i risultati.

Statistiche

Leggendo le opere di alcuni scienziati, si rimane impressionati dalla disarmante semplicità delle loro spiegazioni. Uno di questi è sicuramente Feller, di cui Introduction to the probability theory and its applications è sicuramente un'opera magistrale.

Se doveste aver tempo e doveste essere in possesso della terza edizione, apritelo al secondo capitolo, alla sezione 5, paragrafo (a) e leggetevi la spiegazione delle distinzioni fra le statistiche di Maxwell-Boltzmann, di Bose-Einstein e di Fermi-Dirac.

L'idea è la seguente: si devono suddividere K oggetti in N stati, ed è necessario specificare qual è la probabilità che le particelle vengano suddivise in una certa maniera.

Distribuzione di Maxwell-Boltzmann
Ogni suddivisione è ugualmente probabile.

Distribuzione di Fermi-Dirac
Ogni suddivisione con al massimo 1 oggetto in ognuno degli N stati è ugualmente probabile.
Non sono ammesse suddivisioni con più di una particella per stato.

Distribuzione di Bose-Einstein
Le suddivisioni si possono distinguere solo per il numero di oggetti in ognuno degli stati.
Ognuna di queste classi di suddivisione è ugualmente probabile.

La differenza fra la Maxwell-Boltzmann è la Bose-Einstein è sottile ed è dovuta al fatto che le diverse classi contengono differenti quantità di suddivisioni, per cui suddivisioni corrispondenti a classi con molte possibili suddivisioni sono meno probabili che nella distribuzione di Maxwell-Boltzmann.

Se avete il libro, confrontate la spiegazione cristallina di Feller con le spiegazioni confuse e barocche di Wikipedia (qui, qui e qui), che non mettono in evidenza come il problema chiave sia essenzialmente di natura combinatoria e non abbia nulla a che vedere con il significato fisico delle distribuzioni.

Time rescaling

Leggendo un articolo su Neural Computation mi sono accorto che gli autori utilizzano un trucco molto interessante.

Supponiamo di avere un sistema S che ad ogni input i associa un output S(i).
Supponiamo ulteriormente che i che si evolva a causa della legge di/dt= F(i(t)).

Sarebbe interessante scrivere S direttamente in funzione del tempo, cioè passare dalla variabile i(t) ad una variabile u che abbia la stessa dimensione del tempo reale, in maniera da poter scrivere S(u) come se u fosse la variabile indipendente temporale.

Detto in altre parole, quello che voglio fare è trovare una trasformazione T dell'input, tale che u=T(i(t)) e du/dt=1. A quel punto, se scrivo formalmente S(u) posso trattare u direttamente come un parametro temporale, dato che la derivata temporale di u è costantemente uguale a 1.

È difficile da fare? Beh no... basta osservare che da una parte

du/dt = T'(i(t)) di/dt = T'(i(t)) F(i(t))

ma dall'altra

du/dt=1

per cui

T'(i(t))= 1/F(i(t))

Cioè la trasformazione T è semplicemente un integrale indefinito di 1/F!

Sedici pietre

Tornato da una conferenza a Monaco ho riletto oggi un pezzo decisamente surreale di Beckett preso da Molloy, in cui lui cerca di succhiare ordinatamente 16 pietruzze... qui l'unico riferimento su internet che sono riuscito a trovare.

Il problema che assilla Molloy è basato sulla seguente considerazione matematica.

Definizione

Per ogni k in N, il gruppo Nk è il gruppo quoziente di N rispetto alla relazione di equivalenza definita dalla divisibilità per k

Esempio

Teniamoci sul semplice: N3={0,1,2} e l'addizione in N3 è definita ponendo 0 come elemento neutro, e poi definendo 1+1=2, 2+1=3 e 2+2=1. Cioè N3 è l'insieme dei naturali N, dove però gli elementi degli insiemi {0,3,6,...}, {1,4,7,...}, {2,5,8,...} sono identificati fra loro.

Proprietà

Si noti che nell'insieme N3 vale 0+1=1, 1+1=2, e 2+1=0. Quindi il sistema dinamico discreto su N3 definito da f(n)=n+1 è periodico in N3. Una delle tre possibili orbite è {0,1,2,0,1,...} e le altre sono facili da immaginare.

Prima o poi, spero, spiego cosa c'entra con Beckett...

Canone inverso con scambio non standard

Algebricamente chiuso è il campo razionale
differisce solo un poco dal corpo dei reali.
Si completi il primo, infatti, topologicamente,
secondo la teoria del sommo Bourbaki.
Allargando, allargando, ora logicamente,
e aumentando solo un poco il corpo dei reali,
otteniamo, meraviglia!, il campo iperreale.

Letture suggerite

N. Bourbaki, Topologie générale
D. Hofstadter, Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid
A. Robinson, Nonstandard Analysis

Simmetrie di gauge (III)

Scrivo per consigliare la lettura di questo bell'articolo di Terence Tao sulle simmetrie di gauge. Lui sceglie di introdurre le invarianze di Gauge a partire da un punto di vista geometrico.

È un po' complicato, ma vale la pena di leggerlo con calma.