Coupled parabolic systems

The paper of Delio Mugnolo and mine "Qualitative properties of coupled parabolic systems of evolution equations" appeared some days ago in the journal Ann. Scuola Norm. Pisa.

The Laplace operator on a domain can be understood as the operator associated with the quadratic form defined by





In fact, it is possible to develop a theory for quadratic forms on Hilbert spaces, characterizing those forms having a "good" associated operator. We call this operator A.

It turns out that properties of the quadratic form are reflected from properties of the solution of the equation

du(t)/dt=Au(t).

Most notably, invariance of convex sets of the Hilbert space can be characterized in terms of properties of the quadratic form. To be more specific: if S is closed convex set, then there is an algebraic characterization in terms of the form of the fact that solutions that start in S also stay in S - this is known as Ouhabaz's criterion.

If the Hilbert space has a product structure and it is infinite dimensional (as C²=C x C, C³= C x C x C,... in the finite dimensional case), then it is possible to write the quadratic form as a kind of matrix of quadratic forms. More interesting: the properties of the solutions are obtained applying finite dimensional arguments to the properties of the infinite dimensional forms, and this is what we discuss in the paper.

Further readings: the preprint on arxiv, an introduction to the theory of forms, the home page of the book of Ouhabaz, my PhD thesis.

Pascal applicato

Come avrete notato c'è un sacco di polemica dovuta all'appello alla commissione europea per i diritti umani di Rössler e altri per la pericolosità dell'accensione del Large Hadron Collider. Si può leggere qualche informazione su questa isteria di massa qui e qui.

Sul merito dell'argomento dirò una sola cosa: ho sentito una volta una conferenza di Rössler, e posso dire che è uno scienziato molto acuto che ama moltissimo le provocazioni.

Più interessante, per me, è la seguente osservazione: l'accensione del LHC è molto simile alla scommessa di Pascal.

Nella scommessa di Pascal si ragiona come segue: se credo in Dio, allora ci sono due possibilità. Se Dio esiste, ho vinto il paradiso e quindi ho un guadagno infinito; se Dio non esiste non ho perso niente; se proprio volete fare la domenica altro che andare in chiesa, diciamo che avete una perdita finita, che chiamiamo C. Se non credo in Dio ci sono anche due possibilità: o Dio non esiste, e non guadagno niente. O Dio esiste, e allora non guadagno comunque niente perchè non vado in paradiso. Detto in termini matematici, denotando con E il valore atteso:

E[Felicità | Fede] = P(Dio)*(infinito) + P(non Dio)*(-C) ~ infinito

mentre

E[Felicità | non Fede] = P(Dio)*0 + P(non Dio)*0 = 0

Ergo, secondo Pascal, bisogna credere in Dio per motivi probabilistici. Nel caso del LHC ragioniamo così. La nostra variabile è il sapere dell'umanità, il cui valore attuale è S. Ovviamente, se l'umanità viene distrutta da un buco nero, il suo sapere si riduce a 0. Inoltre assumiamo che il LHC aumenti il sapere dell'umanità di una quantità C >>).
Utilizziamo l'approssimazione P(Buco Nero) ~ 0 e calcoliamo:

E[Sapere Umanità | LHC acceso] = P(Buco Nero)*0 + P(non Buco Nero)*(S+C) ~ S+C

Al contrario

E[Sapere Umanità | LHC spento] = S.

Quindi se vogliamo ottimizzare il sapere dell'umanità, dobbiamo accendere il LHC. Un'altra grandezza che vorremmo poter ottimizzare è il progresso. Il progresso P(E) dovuto ad un'azione A si misura con la formula

P(A)=S(A)/S(non A)

cioè il rapporto fra il sapere prima e il sapere dopo l'evento. Calcoliamo come prima

E(P(accensione LHC)) = P(Buco Nero)*0/(S+C) + P(non Buco Nero)*(S+C)/S ~ S+C/S

mentre

E(P(non accensione LHC)) = 1.

Anche in questo caso otteniamo come risultato che conviene accendere il LHC.

Buon lavoro al CERN.

Enigma

Cominciamo con la base dell'induzione:



Tramite il passo induttivo



si ottiene la relazione



Enigma

Cosa c'entra la relazione di cui sopra con le catene di Markov?

Se non doveste venirne a capo, vi basta aspettare qualche giorno: al massimo sabato.

Teoria alfa - assiomi numerici

Continuo la discussione iniziata qui e qui deglia assiomi della teoria alfa di Benci e Di Nasso.

Oggi parliamo degli:

ASSIOMI NUMERICI

1) Se f è una successione costante, cioè f(n)=c per ogni n, allora f(Q)=c.

2) Se f è l'identità, cioè f(n)=n per ogni n, allora f(Q)=Q; Q non è un numero naturale.

Vanno ovviamente comparati con i corrispondenti assiomi di estensioni 1) e 2).

La cosa più interessante è messa in evidenza nell'articolo stesso: l'assioma 2 è anche un esempio di una successione con la seguente proprietà: tutti gli f(n) sono in un certo insieme A, ma il valore ideale di f non è nello stesso insieme. Dato che l'insieme in questione è N, questo rende chiaro ancora una volta che f(Q) è simile al limite, ma è diverso.

Con l'assioma 1 e l'assioma di composizione si possono cominciare a fare conti scolastici:

Esempio

Si definisca f(n)=n²-1. Per l'assioma numerico 1), f(Q) = (n-->n²)(Q) - 1 = Per l'assiome di composizione, (n-->n²)(Q)=(n-->n)(Q)², e così otteniamo f(Q)=(n-->n)(Q)²-1. Per l'assioma numerico 2) (n-->n)(Q)=Q e quindi f(Q)=Q²-1. Lo stesso ragionamento vale per i polinomi.

Proposizione

Se P è un polinomio in x, allora P(Q) è il valore ottenuto sostituendo Q a x.

Notazioni

Una fantastica notazione presa da questo articolo.

Sia A un insieme di numeri reali: per indicare l'insieme B definito da {1} se 1 è in A, e vuoto altrimenti, la notazione comune sarebbe

B = {1} intersecato A.

Gli autori invece scrivono

B={1: 1 in A},

come a dire B è l'insieme di tutti quegli 1 che sono in A.

Mi sembra una maniera poetica per sottolineare il principio di identità.

Informazione

Nel 1948 Shnannon compiva un grande progresso per la matematica: gli riusciva di definire in maniera rigorosa il concetto di informazione.

Un'introduzione informale

Cosa intende Shannon con il termine informazione? Egli intende l'informazione che si ottiene osservando una grandezza casuale. Cerchiamo di spiegarci meglio: supponiamo di lanciare un dado a 8 facce e di nasconderne il risultato. Quanta informazione otteniamo scoprendolo? La risposta sembra ovvia: 3 bit, dato che 2³=8. L'ipotesi nascosta in questa risposta intuitiva è il fatto che noi sappiamo che tutti risultati del dado sono ugualmente probabili.

Supponiamo allora che il dado sia truccato. Molto truccato: ogni volta che lo si lancia, si ottiene un 8. Qual'è l'informazione che noi otteniamo scoprendolo? Ovviamente 0 bit, dato che sapevamo già dall'inizio che avremmo avuto un 8.

Ovviamente sono possibili vie di mezzo: se l'8 è un po' più probabile di 1/8, l'informazione sarà un po' meno di 3 bit, ma comunque maggiore di 0. Quindi la difficoltà sta nel "quantificare questa via di mezzo".

Gli assiomi

Si trovano nella sezione 6 dell'articolo di Shannon. La nostra ipotesi è quella di avere a che fare con una variabile casuale discreta. Per essere più specifici: la grandezza X assume i suoi N valori x(i) con probabilità p(i).

Nell'esempio precedente: X=dado, N=8, x(i)=i, p(i)=1/8.

Per prima cosa desideriamo che cambiando p(i) di poco, il contenuto di informazione, che chiameremo d'ora in poi I, cambi di poco. Se il dato è poco truccato, vogliamo che l'informazione sia solo un po' meno di 3 bit.

Assioma 1
I è una funzione continua rispetto a tutte le p(i)

Ovviamente, la maggiore quantità di informazione deve essere presente quando tutti gli esiti sono ugualmente possibili: quando il dado, insomma, non è truccato

Assioma 2
I ha il suo massimo per p=(1/N, ..., 1/N).

L'ultimo assioma è quello più difficile da spiegare: ma è anche esattamente quello che rende la scoperta di Shannon così fondamentale. Partiamo dall'esempio. Supponiamo di dividere la nostra osservazione in due parti. Prima osserviamo se il risultato è pari o dispari, e poi il risultato della divisione del risultato per 2, arrotondato per eccesso. Cioè: 7 o 8 danno 4, 5 o 6 danno 3 e così via. È chiaro che queste due osservazioni sono equivalenti all'osservazione del risulato: non si perde niente e non si guadagna niente. Noi chiediamo che l'informazione contenuta nell'osservazione del risultato del lancio del dado sia la somma delle informazioni che si ottiene dalle singole osservazioni. Vediamo se funziona nel nostro caso ragionando in maniera intuitivia. Osservare se il numero è pari o dispari ci da 1 bit. Osservare il risultato della divisione per 2 ci da 2 bit, perchè sono 4 possibili risultati equalmente probabili e 2²=4. Dato che 1+2=3 sembra che il contare in bit funzioni.

Assioma 3
I è uguale alla somma delle informazioni contenute in una suddivisione equivalente dell'osservazione originaria, pesate con la probabilità con cui le suddivisioni hanno luogo.

Mettendo insieme tutte queste informazioni è facendo un po' di conti (sempre nella sezione 6 dell'articolo), si ottiene che l'unica funzione soddisfacente queste proprietà è

I = - [p(1) log(p(1)) + p(2) log(p(2)) + ... + p(N) log(p(N))]


Informazione ed entropia

Si può anche notare come l'informazione sia anche una misura del disordine presente nel sistema prima della sua osservazione. Più disordinato un sistema, più informazione ci porterà la sua osservazione. Queste è più che un'analogia: è possibile basare tutta la fisica statistica sul concetto di entropia di Shannon.

PS: qua il motivo per cui sono interessato a questo problema...

Ammenda (I)

In numerosi dibattiti con amici e colleghi, in particolare con d.m., ho sempre sostenuto alcune tesi provocatorie: una delle mie predilette era diretta contro certi eccessi femministi che affermano che uomini e donne siano mentalmente uguali.

Uno dei miei argomenti prediletti è questo: prendiamo ad esempio la matematica; è evidente che nelle facoltà di matematica da un certo livello in poi spariscano le donne; dato che non vi sono altri argomenti scientifici e razionali che spieghino questo fenomeno, dobbiamo supporre, fino a prova contraria, che le donne siano meno portate dell'uomo per la matematica.

Se dall'università avete accesso a Science, ecco, per onestà intellettuale, una prova contraria.

Cavalieri casuali

Ieri sono andato a vedere il nuovo Batman. Splendido e visionario. Per inciso: si insedia nella mia personale classifica dei migliori film dell'anno al secondo posto, dopo "Into the Wild" e prima di "Die Welle".

Un tema che torna del film è quello di decisioni lasciate al caso tramite il lancio di una moneta. E nel film è anche affermato che tale decisioni sono casuali. Da un punto di vista tecnico, non sono casuali. Il volo di una moneta, che è un corpo piuttosto semplice, è deterministico - e nemmeno troppo difficile da prevedere. E dato che la mano che lancia la moneta è guidata da un cervello, che certo non è un generatore di numeri casuali, è difficile affermare che la sequenza dei lanci di una moneta sia i.i.d..

La verità è che tali decisioni, pur essendo ben determinate, non sono prevedibili dal lanciatore, in quanto egli non può accedere alla parte necessaria della sua memoria procedurale. È simile alla differenza che c'è in fisica matematica fra un sistema dinamico ergodico e uno discontinuo.

Teoria alfa - composizione

Come promesso, continuo la mia discussione sulla teoria alfa.

Oggi parliamo della composizione di funzioni.

ASSIOMA DI COMPOSIZIONE

Siano f e g due successioni di reali e sia F una funzione tale che esistono F(f)(n) e F(g)(n). Allora f(Q)=g(Q) implica F(f)(Q)=F(g)(Q).

Qualche commento. Il primo: l'assioma afferma che F(f)(Q) dipende solo dal valore in Q di f. Quindi si può candidamente scrivere F(f(Q)) senza sbagliare.

Secondo commento: il nostro obiettivo è quello di scrivere e usare espressioni del tipo sin(Q²). Se si interpretasse sin(Q²) come il limite di sin(n²), allora il tutto non avrebbe senso, in quanto il limite si sin(n²) non esiste.

Con l'assioma di composizione possiamo dare un'ulteriore spiegazione del fatto che f(Q) non è il limite di f. Consideriamo le due successioni f(n)=(4n+1)p/2 e g(n)=4np/2. Evidentemente, sia f che g vanno ad infinito. Quindi se interpretassimo sin(Q) semplicemente come il valore di sin all'infinito, si dovrebbe avere sin(f(Q))=sin(g(Q)).

Tuttavia sin(f(n))=1 differisce da sin(g(n))=0 per ogni n. Quindi, per il secondo assioma di estensione, sin(f)(Q) deve essere diverso da sin(g)(Q).

Tutto questo accade perchè f(Q) non è Q, come accadrebbe se Q venisse interpretato semplicemente come un'altra maniera di dire "infinito", ma bensì f(Q)=(4Q+1)p/2, mentre g(Q)=4Qp/2. Per cui sin(f(Q))=sin((4Q+1)p/2) mentre sin(g(Q))=sin(4Qp/2) e non è nessun motivo per cui essi debbano essere uguali.

Non è difficile immaginare il valore di sin(f(Q)) e quello di sin(g(Q)), ma questo è per la prossima volta, fra 10 giorni.

Punto sella

Se vi chiedete che fine abbia fatto: sono appena tornato dalla Scozia, pronto a partire per il Salento.

Prima di partire: un altro po' di teoria-alpha.

Ma questo domani, oggi si legge "Caos calmo", che a me, fino ad ora, è piaciuto moltissimo.