Leggendo le opere di alcuni scienziati, si rimane impressionati dalla disarmante semplicità delle loro spiegazioni. Uno di questi è sicuramente Feller, di cui Introduction to the probability theory and its applications è sicuramente un'opera magistrale.
Se doveste aver tempo e doveste essere in possesso della terza edizione, apritelo al secondo capitolo, alla sezione 5, paragrafo (a) e leggetevi la spiegazione delle distinzioni fra le statistiche di Maxwell-Boltzmann, di Bose-Einstein e di Fermi-Dirac.
L'idea è la seguente: si devono suddividere K oggetti in N stati, ed è necessario specificare qual è la probabilità che le particelle vengano suddivise in una certa maniera.
Distribuzione di Maxwell-Boltzmann
Ogni suddivisione è ugualmente probabile.
Distribuzione di Fermi-Dirac
Ogni suddivisione con al massimo 1 oggetto in ognuno degli N stati è ugualmente probabile.
Non sono ammesse suddivisioni con più di una particella per stato.
Distribuzione di Bose-Einstein
Le suddivisioni si possono distinguere solo per il numero di oggetti in ognuno degli stati.
Ognuna di queste classi di suddivisione è ugualmente probabile.
La differenza fra la Maxwell-Boltzmann è la Bose-Einstein è sottile ed è dovuta al fatto che le diverse classi contengono differenti quantità di suddivisioni, per cui suddivisioni corrispondenti a classi con molte possibili suddivisioni sono meno probabili che nella distribuzione di Maxwell-Boltzmann.
Se avete il libro, confrontate la spiegazione cristallina di Feller con le spiegazioni confuse e barocche di Wikipedia (qui, qui e qui), che non mettono in evidenza come il problema chiave sia essenzialmente di natura combinatoria e non abbia nulla a che vedere con il significato fisico delle distribuzioni.
martedì, ottobre 21, 2008
mercoledì, ottobre 15, 2008
Time rescaling
Leggendo un articolo su Neural Computation mi sono accorto che gli autori utilizzano un trucco molto interessante.
Supponiamo di avere un sistema S che ad ogni input i associa un output S(i).
Supponiamo ulteriormente che i che si evolva a causa della legge di/dt= F(i(t)).
Sarebbe interessante scrivere S direttamente in funzione del tempo, cioè passare dalla variabile i(t) ad una variabile u che abbia la stessa dimensione del tempo reale, in maniera da poter scrivere S(u) come se u fosse la variabile indipendente temporale.
Detto in altre parole, quello che voglio fare è trovare una trasformazione T dell'input, tale che u=T(i(t)) e du/dt=1. A quel punto, se scrivo formalmente S(u) posso trattare u direttamente come un parametro temporale, dato che la derivata temporale di u è costantemente uguale a 1.
È difficile da fare? Beh no... basta osservare che da una parte
du/dt = T'(i(t)) di/dt = T'(i(t)) F(i(t))
ma dall'altra
du/dt=1
per cui
T'(i(t))= 1/F(i(t))
Cioè la trasformazione T è semplicemente un integrale indefinito di 1/F!
Supponiamo di avere un sistema S che ad ogni input i associa un output S(i).
Supponiamo ulteriormente che i che si evolva a causa della legge di/dt= F(i(t)).
Sarebbe interessante scrivere S direttamente in funzione del tempo, cioè passare dalla variabile i(t) ad una variabile u che abbia la stessa dimensione del tempo reale, in maniera da poter scrivere S(u) come se u fosse la variabile indipendente temporale.
Detto in altre parole, quello che voglio fare è trovare una trasformazione T dell'input, tale che u=T(i(t)) e du/dt=1. A quel punto, se scrivo formalmente S(u) posso trattare u direttamente come un parametro temporale, dato che la derivata temporale di u è costantemente uguale a 1.
È difficile da fare? Beh no... basta osservare che da una parte
du/dt = T'(i(t)) di/dt = T'(i(t)) F(i(t))
ma dall'altra
du/dt=1
per cui
T'(i(t))= 1/F(i(t))
Cioè la trasformazione T è semplicemente un integrale indefinito di 1/F!
lunedì, ottobre 13, 2008
Sedici pietre
Tornato da una conferenza a Monaco ho riletto oggi un pezzo decisamente surreale di Beckett preso da Molloy, in cui lui cerca di succhiare ordinatamente 16 pietruzze... qui l'unico riferimento su internet che sono riuscito a trovare.
Il problema che assilla Molloy è basato sulla seguente considerazione matematica.
Definizione
Per ogni k in N, il gruppo Nk è il gruppo quoziente di N rispetto alla relazione di equivalenza definita dalla divisibilità per k
Esempio
Teniamoci sul semplice: N3={0,1,2} e l'addizione in N3 è definita ponendo 0 come elemento neutro, e poi definendo 1+1=2, 2+1=3 e 2+2=1. Cioè N3 è l'insieme dei naturali N, dove però gli elementi degli insiemi {0,3,6,...}, {1,4,7,...}, {2,5,8,...} sono identificati fra loro.
Proprietà
Si noti che nell'insieme N3 vale 0+1=1, 1+1=2, e 2+1=0. Quindi il sistema dinamico discreto su N3 definito da f(n)=n+1 è periodico in N3. Una delle tre possibili orbite è {0,1,2,0,1,...} e le altre sono facili da immaginare.
Prima o poi, spero, spiego cosa c'entra con Beckett...
Il problema che assilla Molloy è basato sulla seguente considerazione matematica.
Definizione
Per ogni k in N, il gruppo Nk è il gruppo quoziente di N rispetto alla relazione di equivalenza definita dalla divisibilità per k
Esempio
Teniamoci sul semplice: N3={0,1,2} e l'addizione in N3 è definita ponendo 0 come elemento neutro, e poi definendo 1+1=2, 2+1=3 e 2+2=1. Cioè N3 è l'insieme dei naturali N, dove però gli elementi degli insiemi {0,3,6,...}, {1,4,7,...}, {2,5,8,...} sono identificati fra loro.
Proprietà
Si noti che nell'insieme N3 vale 0+1=1, 1+1=2, e 2+1=0. Quindi il sistema dinamico discreto su N3 definito da f(n)=n+1 è periodico in N3. Una delle tre possibili orbite è {0,1,2,0,1,...} e le altre sono facili da immaginare.
Prima o poi, spero, spiego cosa c'entra con Beckett...
giovedì, ottobre 02, 2008
Canone inverso con scambio non standard
Algebricamente chiuso è il campo razionale
differisce solo un poco dal corpo dei reali.
Si completi il primo, infatti, topologicamente,
secondo la teoria del sommo Bourbaki.
Allargando, allargando, ora logicamente,
e aumentando solo un poco il corpo dei reali,
otteniamo, meraviglia!, il campo iperreale.
differisce solo un poco dal corpo dei reali.
Si completi il primo, infatti, topologicamente,
secondo la teoria del sommo Bourbaki.
Allargando, allargando, ora logicamente,
e aumentando solo un poco il corpo dei reali,
otteniamo, meraviglia!, il campo iperreale.
Letture suggerite
N. Bourbaki, Topologie générale
D. Hofstadter, Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid
A. Robinson, Nonstandard Analysis
mercoledì, ottobre 01, 2008
Simmetrie di gauge (III)
Scrivo per consigliare la lettura di questo bell'articolo di Terence Tao sulle simmetrie di gauge. Lui sceglie di introdurre le invarianze di Gauge a partire da un punto di vista geometrico.
È un po' complicato, ma vale la pena di leggerlo con calma.
È un po' complicato, ma vale la pena di leggerlo con calma.
giovedì, settembre 25, 2008
Servizio Pubblico - Trasformata di Fourier (III)
Oggi parliamo di trasformata di Fourier.
Incomincio col rimandare ad una introduzione di Terence Tao al problema: qui il post del suo blog dove annuncia l'articolo. La prima volta che la lessi non ho trovato l'introduzione particolarmente entusiasmante, ma leggendola ieri mi è piaciuta molto di più. È da leggere, soprattutto se si è interessati ad un punto di vista più astratto sull'argomento.
Definizione
Data una funzione f, la sua trasformata di Fourier, che denotiamo Ff, è definita tramite
Ci sono varie possibilità di aggiungere la radice di 2 pi greca in varie parti dell'espressione, ma non ha molta importanza.
Interpretazione
Cosa fa la trasformata di Fourier? La maniera più semplice di capirlo è pensare ad una funzione come ad un segnale elettrico: f(t) è il valore di un certo potenziale al momento t. Si può immaginare che questo potenziale sia dovuto alla sovrapposizione del campo elettrico di vari oggetti: elettroni che girano attorno al nucleo, atomi che vibrano, molecole polari che ruotano, una lacuna elettronica che si muove in un conduttore. Molti di questi fenomeni sono periodici, facendo che si che questo segnale elettrico sia la sovrapposizione di fantastiliardi di oscillazioni periodiche, ognuna con la sua determinata frequenza.
Può essere allora molto più interessante conoscere la quantità di energia del segnale ad ogni frequenza, piuttosto che il valore assoluto del potenziale ad un certo momento. Questo è esattamente ciò che fa la trasformata di Fourier: decomporre un segnale nelle diverse frequenze che partecipano a costruirlo, comprese le loro fasi.
Un breve esercizio
Dato che la trasformata di Fourier opera una decomposizione nelle frequenze, ci si aspetta che traslare una funzione non cambi il valore assoluto della trasformata di Fourier, ma solo la sua fase. Per impratichirci calcoliamo che è così. Quello che vogliamo calcolare è la trasformata di Fourier Fg della funzione definita tramite
dove a è un qualsiasi numero reale. In altre parole, dobbiamo calcolare l'integrale
Passando alla variabile s=t-a e utilizzando la formula per il cambio di variabili si ottiene
Adesso abbiamo finito! È sufficiente utilizzare la proprietà della funzione esponenziale ed estrarre la parte che non dipende da s dall'integrale, ottenendo
In pratica: la traslazione della funzione originaria determina un cambio di fase dipendente dalla frequenza della trasformata di Fourier. Questo vuol dire, in particolare, che il valore assoluto quadrato della trasformata di Fourier, cioè l'energia contenuta in una particolare frequenza, non dipende da eventuali traslazioni.
Incomincio col rimandare ad una introduzione di Terence Tao al problema: qui il post del suo blog dove annuncia l'articolo. La prima volta che la lessi non ho trovato l'introduzione particolarmente entusiasmante, ma leggendola ieri mi è piaciuta molto di più. È da leggere, soprattutto se si è interessati ad un punto di vista più astratto sull'argomento.
Definizione
Data una funzione f, la sua trasformata di Fourier, che denotiamo Ff, è definita tramite
Ci sono varie possibilità di aggiungere la radice di 2 pi greca in varie parti dell'espressione, ma non ha molta importanza.
Interpretazione
Cosa fa la trasformata di Fourier? La maniera più semplice di capirlo è pensare ad una funzione come ad un segnale elettrico: f(t) è il valore di un certo potenziale al momento t. Si può immaginare che questo potenziale sia dovuto alla sovrapposizione del campo elettrico di vari oggetti: elettroni che girano attorno al nucleo, atomi che vibrano, molecole polari che ruotano, una lacuna elettronica che si muove in un conduttore. Molti di questi fenomeni sono periodici, facendo che si che questo segnale elettrico sia la sovrapposizione di fantastiliardi di oscillazioni periodiche, ognuna con la sua determinata frequenza.
Può essere allora molto più interessante conoscere la quantità di energia del segnale ad ogni frequenza, piuttosto che il valore assoluto del potenziale ad un certo momento. Questo è esattamente ciò che fa la trasformata di Fourier: decomporre un segnale nelle diverse frequenze che partecipano a costruirlo, comprese le loro fasi.
Un breve esercizio
Dato che la trasformata di Fourier opera una decomposizione nelle frequenze, ci si aspetta che traslare una funzione non cambi il valore assoluto della trasformata di Fourier, ma solo la sua fase. Per impratichirci calcoliamo che è così. Quello che vogliamo calcolare è la trasformata di Fourier Fg della funzione definita tramite
dove a è un qualsiasi numero reale. In altre parole, dobbiamo calcolare l'integrale
Passando alla variabile s=t-a e utilizzando la formula per il cambio di variabili si ottiene
Adesso abbiamo finito! È sufficiente utilizzare la proprietà della funzione esponenziale ed estrarre la parte che non dipende da s dall'integrale, ottenendo
In pratica: la traslazione della funzione originaria determina un cambio di fase dipendente dalla frequenza della trasformata di Fourier. Questo vuol dire, in particolare, che il valore assoluto quadrato della trasformata di Fourier, cioè l'energia contenuta in una particolare frequenza, non dipende da eventuali traslazioni.
lunedì, settembre 22, 2008
Ammenda (II)
Cosa non si legge su New Scientist!
Una breve premessa; qualche anno fa discutevamo col mio professore di Tübingen sul perchè nel mondo accademico ci sono meno donne che uomini. In quella particolare discussione, la mia tesi era che nel mondo accademico, in particolare in quello scientifico, è necessario un forte spirito di competizione per riuscire. E, dato che, come è ben noto, le donne hanno (statisticamente) meno spirito di competizione degli uomini, questo fa una differenza sul grande numero, causando una prevalenza degli uomini in ambito accademico.
Ben noto? Il New Scientist riporta di una esperimento condotto su gruppi omosessuali di bambini. Messi in condizione di dover competere per ottenere degli orsacchiotti, la vera differenza fra i due gruppi non era nella quantità di competitività o meno, quanto nelle tattiche utilizzate per assicurarsi l'orsacchiotto.
Divertente da leggere, e di nuovo un'ammenda da fare...
Una breve premessa; qualche anno fa discutevamo col mio professore di Tübingen sul perchè nel mondo accademico ci sono meno donne che uomini. In quella particolare discussione, la mia tesi era che nel mondo accademico, in particolare in quello scientifico, è necessario un forte spirito di competizione per riuscire. E, dato che, come è ben noto, le donne hanno (statisticamente) meno spirito di competizione degli uomini, questo fa una differenza sul grande numero, causando una prevalenza degli uomini in ambito accademico.
Ben noto? Il New Scientist riporta di una esperimento condotto su gruppi omosessuali di bambini. Messi in condizione di dover competere per ottenere degli orsacchiotti, la vera differenza fra i due gruppi non era nella quantità di competitività o meno, quanto nelle tattiche utilizzate per assicurarsi l'orsacchiotto.
Divertente da leggere, e di nuovo un'ammenda da fare...
venerdì, settembre 19, 2008
Steve Jay Tyrell
In questo periodo sono in vena di associazioni improbabili. Quella di oggi è fra questo articolo di Gould e Lewontin (a proposito: grazie a hronir e Blade Runner, che ho rivisto qualche giorno fa.
Più precisamente, quando Roy si reca dal dr. Tyrell per pretendere di vivere più a lungo, Tyrell (chiamato da Roy "the god of the biomechanics", uno degli epiteti più fulminanti che mi sia capitato di ascoltare) chiude la conversazione con la celebre frase "una candela che arde col doppio dello splendore, brucia per metà tempo".
Da questo, si potrebbe dedurre che Tyrell è un adattazionista, seguendo la terminologia di Gould. Sarebbe bello creare dei replicanti ancora più efficienti, ma l'equilibrio fra i diversi caratteri richiede che essi vivano di meno, se vogliono essere così efficienti.
Se, però, si ascoltano le motivazioni che Tyrell adduce precedentemente, esse sono prettamente biomeccaniche; egli stesso sembra credere nella possibilità teorica di concedere a Roy più vita, ma le condizioni al contorno di tipo strutturale non glielo permettono. Da questo punto di vista, si potrebbe dire che Tyrell è pluralista, sempre nel senso di Gould.
Ora, queste sono ovviamente speculazioni prive di fondamento; l'unica cosa interessante che solletica un po' la fantasia è che l'articolo di Gould e Lewontin è del 1979. Purtroppo, controllando le biografie degli sceneggiatori su Wikipedia, pare che ambedue non avessero alcuna conoscenza in fisica.
Però è divertente notare come, casualmente o meno, Tyrell venga fuori come un profondo pluralista, che per farsi capire da non tecnici (e se mi ricordo bene, prima del riassunto finale con la metafora della candela, Tyrell sospira e dice "but this is only academy") deve adottare un linguaggio semplificatore e adattazionista.
Più precisamente, quando Roy si reca dal dr. Tyrell per pretendere di vivere più a lungo, Tyrell (chiamato da Roy "the god of the biomechanics", uno degli epiteti più fulminanti che mi sia capitato di ascoltare) chiude la conversazione con la celebre frase "una candela che arde col doppio dello splendore, brucia per metà tempo".
Da questo, si potrebbe dedurre che Tyrell è un adattazionista, seguendo la terminologia di Gould. Sarebbe bello creare dei replicanti ancora più efficienti, ma l'equilibrio fra i diversi caratteri richiede che essi vivano di meno, se vogliono essere così efficienti.
Se, però, si ascoltano le motivazioni che Tyrell adduce precedentemente, esse sono prettamente biomeccaniche; egli stesso sembra credere nella possibilità teorica di concedere a Roy più vita, ma le condizioni al contorno di tipo strutturale non glielo permettono. Da questo punto di vista, si potrebbe dire che Tyrell è pluralista, sempre nel senso di Gould.
Ora, queste sono ovviamente speculazioni prive di fondamento; l'unica cosa interessante che solletica un po' la fantasia è che l'articolo di Gould e Lewontin è del 1979. Purtroppo, controllando le biografie degli sceneggiatori su Wikipedia, pare che ambedue non avessero alcuna conoscenza in fisica.
Però è divertente notare come, casualmente o meno, Tyrell venga fuori come un profondo pluralista, che per farsi capire da non tecnici (e se mi ricordo bene, prima del riassunto finale con la metafora della candela, Tyrell sospira e dice "but this is only academy") deve adottare un linguaggio semplificatore e adattazionista.
martedì, settembre 16, 2008
De memoris
In questo post sul blog che tengo con due miei cari amici si è sviluppata una interessante discussione sulla differenza fra la memoria procedurale e la memoria dichiarativa.
Stavo riflettendo che in matematica c'è un'interessante analogia che riguarda la definizione delle funzioni.
Cos'è una funzione? (Versione dichiarativa)
La risposta rigorosa, diciamo Bourbakistica è questa.
Definizione
Una funzione è una terna (A,B,R) dove A e B sono insiemi e R è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A x B tale che se (a,b) e (a',b') sono in R, allora b=b'
L'idea sottesa a questa definizione è che una funzione altro non è che una lista, che accanto ad ogni valore della variabile indipendente (gli a in A) riporta uno ed un solo valore della variabile dipendente (il b in B tale che (a,b) in R).
Definire una funzione in questa maniera è rigoroso e utile. Tuttavia non corrisponde alla maniera in cui pensiamo. Quando definiamo una funzione, infatti, pensiamo a delle operazioni da eseguire, e non ad una lista di valori!
Cos'è una funzione? (Versione procedurale)
La risposta intuitiva, empirica, è quella che si dava nel 1800. Una funzione è una legge di associazione. Una funzione è definita se per ogni valore x so calcolare f(x).
Vantaggi e svantaggi
Cominciamo coi vantaggi della maniera procedurale. I vantaggi della maniera dichiarativa li sappiamo: è la maniera rigorosa con la quale si fa matematica.
Però pensiamo adesso di voler definire la funzione quadrato, cioè f(x):=x**2. Se vogliamo definirla in maniera dichiarativa, dobbiamo decidere in quali insieme tale funzione deve vivere. Dobbiamo scrivere, ad esempio, f:R-->R, f(x)=x**2 se vogliamo parlare del quadrato nei numeri reali, f:C-->C, f(x)=x**2 se vogliamo parlare del quadrato nei numeri complessi. Un po' complicato, no?
Ovviamente possiamo salvarci definendo f:A-->A, f(x)=x*x, dove A è uncampo, ma non è questo il punto. Il punto è che non possiamo dire: sia f(x)=x*x ogni qualvolta abbia senso, perchè staremmo quantificando su l'insieme totale che contiene tutte le strutture algebriche.
Fin qua è solo un problema formalistico, quasi di estesi. Un problema più grave si presenta nel caso in cui alla mia funzione definita in maniera procedurale non corrisponda nessuna funzione dichiarativa. Fissiamo una funzione continua f a valori reali. Decidiamo di definire la funzione g tramite l'operazione
g(x) = lim n(f(x+1/n)-f(x))
Ovviamente questo limite può esistere o non esistere. (O scelto di prendere il limite rispetto a n invece della definizione normale di derivata per evitare polemiche del tipo: ma guarda che non puoi definire il limite di una funzione se la funzione non è definita in maniera dichiarativa, etc...)
Il problema adesso è che non è possibile definire g in maniera dichiarativa, se non applicando una sorta di ragionamento circolare: trovo l'insieme D dove il limite esiste, e poi scrivo
g: D-->R, g(x) := lim n(f(x+1/n)-f(x))
In pratica, la definizione dichiarativa di g deve contenere la definizione procedurale di g. Poco soddisfacente.
Stavo riflettendo che in matematica c'è un'interessante analogia che riguarda la definizione delle funzioni.
Cos'è una funzione? (Versione dichiarativa)
La risposta rigorosa, diciamo Bourbakistica è questa.
Definizione
Una funzione è una terna (A,B,R) dove A e B sono insiemi e R è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A x B tale che se (a,b) e (a',b') sono in R, allora b=b'
L'idea sottesa a questa definizione è che una funzione altro non è che una lista, che accanto ad ogni valore della variabile indipendente (gli a in A) riporta uno ed un solo valore della variabile dipendente (il b in B tale che (a,b) in R).
Definire una funzione in questa maniera è rigoroso e utile. Tuttavia non corrisponde alla maniera in cui pensiamo. Quando definiamo una funzione, infatti, pensiamo a delle operazioni da eseguire, e non ad una lista di valori!
Cos'è una funzione? (Versione procedurale)
La risposta intuitiva, empirica, è quella che si dava nel 1800. Una funzione è una legge di associazione. Una funzione è definita se per ogni valore x so calcolare f(x).
Vantaggi e svantaggi
Cominciamo coi vantaggi della maniera procedurale. I vantaggi della maniera dichiarativa li sappiamo: è la maniera rigorosa con la quale si fa matematica.
Però pensiamo adesso di voler definire la funzione quadrato, cioè f(x):=x**2. Se vogliamo definirla in maniera dichiarativa, dobbiamo decidere in quali insieme tale funzione deve vivere. Dobbiamo scrivere, ad esempio, f:R-->R, f(x)=x**2 se vogliamo parlare del quadrato nei numeri reali, f:C-->C, f(x)=x**2 se vogliamo parlare del quadrato nei numeri complessi. Un po' complicato, no?
Ovviamente possiamo salvarci definendo f:A-->A, f(x)=x*x, dove A è uncampo, ma non è questo il punto. Il punto è che non possiamo dire: sia f(x)=x*x ogni qualvolta abbia senso, perchè staremmo quantificando su l'insieme totale che contiene tutte le strutture algebriche.
Fin qua è solo un problema formalistico, quasi di estesi. Un problema più grave si presenta nel caso in cui alla mia funzione definita in maniera procedurale non corrisponda nessuna funzione dichiarativa. Fissiamo una funzione continua f a valori reali. Decidiamo di definire la funzione g tramite l'operazione
g(x) = lim n(f(x+1/n)-f(x))
Ovviamente questo limite può esistere o non esistere. (O scelto di prendere il limite rispetto a n invece della definizione normale di derivata per evitare polemiche del tipo: ma guarda che non puoi definire il limite di una funzione se la funzione non è definita in maniera dichiarativa, etc...)
Il problema adesso è che non è possibile definire g in maniera dichiarativa, se non applicando una sorta di ragionamento circolare: trovo l'insieme D dove il limite esiste, e poi scrivo
g: D-->R, g(x) := lim n(f(x+1/n)-f(x))
In pratica, la definizione dichiarativa di g deve contenere la definizione procedurale di g. Poco soddisfacente.
giovedì, settembre 11, 2008
Telefonini
Sarà perchè adesso sto studiando teoria dell'informazione intensamente, ma questo articolo di Staglianò su Repubblica sull'importanza del cellulare per lo sviluppo economico nel terzo mondo mi ha colpito.
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