È meglio essere cristiano senza dirlo, che proclamarlo senza esserlo
Lettera agli Efesini
Da una parte il Papa è felice del nuovo governo.
Dall'altra, Famiglia Cristiana si sta accorgendo che non è stato un grande affare mandare al potere Berlusconi: vedi qui e qui.
A chi credere?
giovedì, maggio 29, 2008
mercoledì, maggio 28, 2008
Stazionarietà e processi stocastici
Uno dei concetti più interessanti in matematica è quello di sistema dinamico. Per spiegarla in maniera molto coincisa, si fissi uno spazio degli stati, diciamo R, e uno spazio dei tempi, diciamo [0,oo). Allora un sistema dinamico è una applicazione dallo spazio dei tempi allo spazio degli stati. In altre parole, un sistema dinamico su R è una funzione che ad ogni tempo t>=0 mi dice in che punto di R mi trovo.
Questo concetto ha un interessante corrispettivo probabilistico: il processo stocastico. In questo caso, il nostro spazio degli stati consiste di variabili casuali, cioè, la posizione al tempo t è un numero casuale invece di essere precisamente determinato.
Faccio un esempio banale per far vedere quante possibilità in più danno i processi stocastici. Un processo stocastico è detto debolmente stazionario se E(X(t)X(s)) è una funzione di t-s. Qui e altrove E denota il valore atteso.
Faccio notare che molti importanti processi stocastici; ad esempio il moto browniano sono stazionari. Questo per dire che la classe dei processi debolmente stazionari è ampia e importante.
Supponiamo adesso che il processo stocastico stazionario sia in realtà deterministico, cioè che per ogni ogni variabile casuale X(t) esista un numero f(t) tale che X(t)=f(t) quasi sicuramente. Allora un tale processo stocastico è quasi sicuramente un sistema dinamico.
Ora voglio far vedere che già in una dimensione i processi stocastici hanno una ricchezza molto maggiore dei sistemi dinamici.
Domanda
Quali sono i sistemi dinamici stazionari?
Cominciamo col notare che, dato che X(t) è quasi sicuramente uguale ad f(t), allora il valore atteso soddisfa E(X(t))=f(t). Quindi la condizione di stazionarietà si riduce all'equazione funzionale
f(t)f(s) = F(t-s)
per una funzione arbitraria F. Si scelga t=s. Risolvendo l'equazione funzionale si ottiene
f(t)²= F(0).
Dato che questa relazione vale per ogni t>0, si ottiene che f(t)=f(s) per ogni t ed s.
Risposta
Com'era da aspettarsi, gli unici processi stazionari deterministici sono quelli costanti...
Questo concetto ha un interessante corrispettivo probabilistico: il processo stocastico. In questo caso, il nostro spazio degli stati consiste di variabili casuali, cioè, la posizione al tempo t è un numero casuale invece di essere precisamente determinato.
Faccio un esempio banale per far vedere quante possibilità in più danno i processi stocastici. Un processo stocastico è detto debolmente stazionario se E(X(t)X(s)) è una funzione di t-s. Qui e altrove E denota il valore atteso.
Faccio notare che molti importanti processi stocastici; ad esempio il moto browniano sono stazionari. Questo per dire che la classe dei processi debolmente stazionari è ampia e importante.
Supponiamo adesso che il processo stocastico stazionario sia in realtà deterministico, cioè che per ogni ogni variabile casuale X(t) esista un numero f(t) tale che X(t)=f(t) quasi sicuramente. Allora un tale processo stocastico è quasi sicuramente un sistema dinamico.
Ora voglio far vedere che già in una dimensione i processi stocastici hanno una ricchezza molto maggiore dei sistemi dinamici.
Domanda
Quali sono i sistemi dinamici stazionari?
Cominciamo col notare che, dato che X(t) è quasi sicuramente uguale ad f(t), allora il valore atteso soddisfa E(X(t))=f(t). Quindi la condizione di stazionarietà si riduce all'equazione funzionale
f(t)f(s) = F(t-s)
per una funzione arbitraria F. Si scelga t=s. Risolvendo l'equazione funzionale si ottiene
f(t)²= F(0).
Dato che questa relazione vale per ogni t>0, si ottiene che f(t)=f(s) per ogni t ed s.
Risposta
Com'era da aspettarsi, gli unici processi stazionari deterministici sono quelli costanti...
lunedì, maggio 26, 2008
Spot
Se uno elegge Berlusconi e Alemanno deve anche mettere in conto che poi lo prendono per il culo, no?
sabato, maggio 24, 2008
Più infinito
Qualche giorno fa ho spiegato i concetti di equipotenza e di infinito. In particolare, ho mostrato che i due concetti sono strettamente legati perchè un insieme è infinito se e solo se è equipotente ad una sua parte propria.
Ad esempio, i naturali sono equipotenti ai quadrati perfetti, essi sono una parte propria dei naturali, quindi l'insieme dei naturali è infinito.
La questione fondamentale è, ripeto, se i due insiemi infiniti dei quadrati perfetti e dei naturali siano equipotenti.
Sorge spontanea la domanda:
Domanda
Ogni due insiemi infiniti sono tra loro equipotenti?
La risposta è molto semplice:
Risposta
No. Controesempio: i numeri reali sono di più dei numeri naturali.
Dimostrazione
Dato che ogni naturale è reale, è chiaro che i reali sono almeno quanto i naturali. Dobbiamo quindi dimostrare l'impossibilità di trovare una funzione suriettiva dai naturali ai reali. È sufficiente dimostrare che non esiste una funzione biettiva da N all'intervallo (0,1) che è strettamente contenuto nei reali.
Consideriamo funzione iniettiva dai naturali ai reali. Per ogni naturale n, abbiamo un reale r, che provvederemo a scrivere nella sua notazione decimale, possibilmente infinita. Adesso abbiamo una lista numerata di tutti i reali scritti in notazione decimale.
Ad esempio:
1 --> 0.333333.........
2 --> 0.25000000000....
3 --> 0.23417171717....
4 --> 0.10000000000....
5 --> 0.1245389457[...]
e così via. I punti normali ... significano che il periodo viene ripetuto per sempre, i puntini nelle parentesi [...] significano che il numero non è periodico.
Adesso costruiamo un numero c in questa maniera:
- come cifra intera prendiamo lo 0;
- come prima cifra decimale prendiamo 0, se la prima cifra decimale del primo numero della lista non è 0 e prendiamo 1 se la prima cifra decimale del primo numero della lista è 0;
- come seconda cifra decimale prendiamo 0, se la prima cifra decimale del secondo numero della lista non è 0 e prendiamo 1 se la seconda cifra decimale del secondo numero della lista è 0;
- e così via per tutti i naturali...
nel caso precedente c avrà la seguente forma
c = 0.00010[...]
Adesso notiamo che c è un numero reale fra 0 e 1, dato che ha una notazione decimale ben definita. Per verificare che la nostra lista sia suriettiva, dobbiamo verificare che c sia nella lista. Immaginiamo che c sia il 125° numero della lista. Adesso vediamo che la 125° cifra di c è 0 se la 125° cifra del 125° numero non era 0 e 1 se era 0. Quindi essi differiscono nel loro sviluppo decimale e quindi, risparmiandoci i dettagli tecnici sul fatto che due numeri diversi possano avere lo stesso sviluppo decimale, abbiamo dimostrato che c non può essere nella lista.
Riassumendo: abbiamo appena trovato un reale c che non è contenuto nella lista, cioè non è immagine di nessun numero naturale per la nostra funzione iniettiva. Quindi la funzione non è suriettiva. Q.e.d.
Quello che avete appena visto in azione è il temibile argomento diagonale di Cantor del 1891, una delle armi matematiche più terribili mai sviluppate al mondo.
La cosa più inquietante, è che fino al 1891, ripeto: milleottocentonovantuno!, non si erano accorti di questo fenomeno che adesso è possibile spiegare a chiunque...
Ad esempio, i naturali sono equipotenti ai quadrati perfetti, essi sono una parte propria dei naturali, quindi l'insieme dei naturali è infinito.
La questione fondamentale è, ripeto, se i due insiemi infiniti dei quadrati perfetti e dei naturali siano equipotenti.
Sorge spontanea la domanda:
Domanda
Ogni due insiemi infiniti sono tra loro equipotenti?
La risposta è molto semplice:
Risposta
No. Controesempio: i numeri reali sono di più dei numeri naturali.
Dimostrazione
Dato che ogni naturale è reale, è chiaro che i reali sono almeno quanto i naturali. Dobbiamo quindi dimostrare l'impossibilità di trovare una funzione suriettiva dai naturali ai reali. È sufficiente dimostrare che non esiste una funzione biettiva da N all'intervallo (0,1) che è strettamente contenuto nei reali.
Consideriamo funzione iniettiva dai naturali ai reali. Per ogni naturale n, abbiamo un reale r, che provvederemo a scrivere nella sua notazione decimale, possibilmente infinita. Adesso abbiamo una lista numerata di tutti i reali scritti in notazione decimale.
Ad esempio:
1 --> 0.333333.........
2 --> 0.25000000000....
3 --> 0.23417171717....
4 --> 0.10000000000....
5 --> 0.1245389457[...]
e così via. I punti normali ... significano che il periodo viene ripetuto per sempre, i puntini nelle parentesi [...] significano che il numero non è periodico.
Adesso costruiamo un numero c in questa maniera:
- come cifra intera prendiamo lo 0;
- come prima cifra decimale prendiamo 0, se la prima cifra decimale del primo numero della lista non è 0 e prendiamo 1 se la prima cifra decimale del primo numero della lista è 0;
- come seconda cifra decimale prendiamo 0, se la prima cifra decimale del secondo numero della lista non è 0 e prendiamo 1 se la seconda cifra decimale del secondo numero della lista è 0;
- e così via per tutti i naturali...
nel caso precedente c avrà la seguente forma
c = 0.00010[...]
Adesso notiamo che c è un numero reale fra 0 e 1, dato che ha una notazione decimale ben definita. Per verificare che la nostra lista sia suriettiva, dobbiamo verificare che c sia nella lista. Immaginiamo che c sia il 125° numero della lista. Adesso vediamo che la 125° cifra di c è 0 se la 125° cifra del 125° numero non era 0 e 1 se era 0. Quindi essi differiscono nel loro sviluppo decimale e quindi, risparmiandoci i dettagli tecnici sul fatto che due numeri diversi possano avere lo stesso sviluppo decimale, abbiamo dimostrato che c non può essere nella lista.
Riassumendo: abbiamo appena trovato un reale c che non è contenuto nella lista, cioè non è immagine di nessun numero naturale per la nostra funzione iniettiva. Quindi la funzione non è suriettiva. Q.e.d.
Quello che avete appena visto in azione è il temibile argomento diagonale di Cantor del 1891, una delle armi matematiche più terribili mai sviluppate al mondo.
La cosa più inquietante, è che fino al 1891, ripeto: milleottocentonovantuno!, non si erano accorti di questo fenomeno che adesso è possibile spiegare a chiunque...
venerdì, maggio 23, 2008
Delusione
Ieri sono andato a vedere Indiana Jones IV.
Ve lo sconsiglio, in particolare se avete amato i primi tre della serie. È, infatti, una schifezza ignobile: per darvi un'idea, Spielberg ha avuto il coraggio di usare degli extraterrestri come motore della storia...
Risparmiatevelo, sembra un incrocio malriuscito tra 007 e X-Files.
Ve lo sconsiglio, in particolare se avete amato i primi tre della serie. È, infatti, una schifezza ignobile: per darvi un'idea, Spielberg ha avuto il coraggio di usare degli extraterrestri come motore della storia...
Risparmiatevelo, sembra un incrocio malriuscito tra 007 e X-Files.
martedì, maggio 20, 2008
Temp(eratura)
Oggi leggevo un vecchio numero del New Scientist, precisamente questo articolo. Mentre lo leggevo, mi sono ricordato dell'interesse di hronir per Rovelli. Poi ho scoperto che Rovelli ha collaborato con Connes e la cosa mi ha entusiasmato ancora di più.
Riassumendo l'articolo in poche parole, Connes e Rovelli affermano che il tempo non sia una grandezza fisica fondamentale, ma che sia l'emergere macroscopico di proprietà più fondamentali. Cioè, noi uomini non siamo in grado di vedere cosa succede ai livelli microscopici e ne traiamo un effetto di insieme che ci da l'impressione di un tempo che scorre.
Secondo loro, il tempo è una grandezza simile alla temperatura, che pure non ha senso a livello microscopico. Quello che noi percepiamo come temperatura è l'energia di agitazione media delle particelle con cui veniamo a contatto. Una conseguenza di questo ragionamento è che non esiste una temperatura come grandezza assoluta, ma essa esiste solo come, diciamo così, convenzione macroscopica.
Si pone quindi il problema di riformulare le teorie fisiche correnti in maniera di tenere conto di questa caratteristica peculiare del tempo. E qui cominciano le difficoltà.
Il problema è che da una parte la relatività generale è formulata facendo a meno di un tempo assoluto: il tempo è esso stesso soggetto a certe leggi geometriche; dall'altra, le equazioni della meccanica quantistica (e tutte le loro fantastiche predizioni!) sono formulate come sistemi dinamici in cui la variabile è la funzione d'onda ed esiste un tempo assoluto rispetto al quale si evolve tale sistema dinamico.
Quindi, per risolvere questo dilemma sorge la necessità di unificare relatività generale e meccanica quantistica. Di formulare, cioè, la gravità quantistica.
Per fortuna, mi occupo di neuroscienze.
Riassumendo l'articolo in poche parole, Connes e Rovelli affermano che il tempo non sia una grandezza fisica fondamentale, ma che sia l'emergere macroscopico di proprietà più fondamentali. Cioè, noi uomini non siamo in grado di vedere cosa succede ai livelli microscopici e ne traiamo un effetto di insieme che ci da l'impressione di un tempo che scorre.
Secondo loro, il tempo è una grandezza simile alla temperatura, che pure non ha senso a livello microscopico. Quello che noi percepiamo come temperatura è l'energia di agitazione media delle particelle con cui veniamo a contatto. Una conseguenza di questo ragionamento è che non esiste una temperatura come grandezza assoluta, ma essa esiste solo come, diciamo così, convenzione macroscopica.
Si pone quindi il problema di riformulare le teorie fisiche correnti in maniera di tenere conto di questa caratteristica peculiare del tempo. E qui cominciano le difficoltà.
Il problema è che da una parte la relatività generale è formulata facendo a meno di un tempo assoluto: il tempo è esso stesso soggetto a certe leggi geometriche; dall'altra, le equazioni della meccanica quantistica (e tutte le loro fantastiche predizioni!) sono formulate come sistemi dinamici in cui la variabile è la funzione d'onda ed esiste un tempo assoluto rispetto al quale si evolve tale sistema dinamico.
Quindi, per risolvere questo dilemma sorge la necessità di unificare relatività generale e meccanica quantistica. Di formulare, cioè, la gravità quantistica.
Per fortuna, mi occupo di neuroscienze.
lunedì, maggio 19, 2008
Bluebeard thinks
sabato, maggio 17, 2008
Un enigma
Questo post è un po' tecnico, quindi occhio!
Date due variabili casuali, la covarianza è una misura di come queste due variabili siano correlate. Se chiamiamo le vue variabili X e Y e se E denota il valore atteso, essa è definita come
Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
Consideriamo ora lo spazio delle variabili casuali a quadrato sommabile, che altro non sarebbe che L²(X,P) dove (X,P) è il nostro spazio di probabilità. Allora le due variabili sono due vettori f e g nello spazio di Hilbert e l'espressione di cui sopra si riduce a
Facendosi un po' di conti si vede che Cov è una forma bilineare (e, se le nostre variabili casuali sono complesse, anche sesquilineare) continua, simmetrica e accretiva. Se ne deduce che esiste un operatore associato con essa che genera un semigruppo di contrazioni.
Domanda 1
Qual è l'operatore associato alla covarianza?
Se si vuole riformulare il problema in un'altra maniera, si osservi che Var(X)=Cov(X,X), cioè la varianza è la forma quadratica associata alla covarianza. La domanda seguente è equivalente alla precedente
Domanda 2
Qual è il gradiente della varianza?
Date due variabili casuali, la covarianza è una misura di come queste due variabili siano correlate. Se chiamiamo le vue variabili X e Y e se E denota il valore atteso, essa è definita come
Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
Consideriamo ora lo spazio delle variabili casuali a quadrato sommabile, che altro non sarebbe che L²(X,P) dove (X,P) è il nostro spazio di probabilità. Allora le due variabili sono due vettori f e g nello spazio di Hilbert e l'espressione di cui sopra si riduce a
Facendosi un po' di conti si vede che Cov è una forma bilineare (e, se le nostre variabili casuali sono complesse, anche sesquilineare) continua, simmetrica e accretiva. Se ne deduce che esiste un operatore associato con essa che genera un semigruppo di contrazioni.
Domanda 1
Qual è l'operatore associato alla covarianza?
Se si vuole riformulare il problema in un'altra maniera, si osservi che Var(X)=Cov(X,X), cioè la varianza è la forma quadratica associata alla covarianza. La domanda seguente è equivalente alla precedente
Domanda 2
Qual è il gradiente della varianza?
venerdì, maggio 16, 2008
Logici
Studiate matematica. Ma se un giorno vi accade di diventare dei logici, iniziate a preoccuparvi che di solito finisce male.
Georg Cantor: incompreso dalla comunità scientifica, forse anche a causa del disturbo bipolare da cui era affetto, muore in povertà in un ospedale nel 1918.
Kurt Gödel: perseguitato come ebreo (senza esserlo, per giunta) fugge dall'Austria per gli USA. Sviluppa una forma di ossessione, teme costantemente di essere avvelenato e lascia assaggiare il cibo dalla moglie. Quando lei finisce in ospedale per 6 mesi, rifiuta di mangiare e muore di fame nel 1978.
Alan Turing: condannato per omosessualità in Inghilterra, è sottoposto a castrazione chimica nel 1952. Nel 1954 si suicida ingerendo una mela avvelenata.
Ps: ho modificato il post grazie ai suggerimenti di Hronir nei commenti
Georg Cantor: incompreso dalla comunità scientifica, forse anche a causa del disturbo bipolare da cui era affetto, muore in povertà in un ospedale nel 1918.
Kurt Gödel: perseguitato come ebreo (senza esserlo, per giunta) fugge dall'Austria per gli USA. Sviluppa una forma di ossessione, teme costantemente di essere avvelenato e lascia assaggiare il cibo dalla moglie. Quando lei finisce in ospedale per 6 mesi, rifiuta di mangiare e muore di fame nel 1978.
Alan Turing: condannato per omosessualità in Inghilterra, è sottoposto a castrazione chimica nel 1952. Nel 1954 si suicida ingerendo una mela avvelenata.
Ps: ho modificato il post grazie ai suggerimenti di Hronir nei commenti
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