martedì, marzo 18, 2008

Servizio Pubblico - Catene di Markov (II)

In risposta ad un commento, esplicito come si ottiene l'ultima formula in questo post.

Allora, quello che abbiamo a disposizione è una serie di numeri P(t,k) parametrizzati da t (il "tempo") e k (lo "stato"). P(t,k) rappresenta la probabilità che la nostra particella si trovi nello stato k al momento t. In altre parole P(t,k)=P(x(t)=k).

Vogliamo adesso che questa proabilità dipenda solamente dallo stato precedente del sistema, cioè da x(t-1). Ritradotto in formule

P(t,k)=P((x(t)=k)=f(x(t-1)).

Ancora non è preciso, perchè la funzione f non è quantificata*! Quello che vogliamo è che esista una certa funzione f: R --> R tale che P(t,k)=f(x(t-1)).

Nemmeno adesso è preciso, infatti nemmeno lo stato k è quantificato. In realtà vogliamo che per ogni stato k esista una funzione f (che in generale dipende da k!) tale che P(t,k)=f(x(t-1)).

Adesso abbiamo un problema; per ogni k esiste in generale una diversa funzione f. È comodo allora dare a ogni diversa f il nome f_k per specificare di quale delle funzioni stiamo parlando.

Quindi, scrivendo in maniera migliore l'ultima formula del post precedente, abbiamo

P(x(t+1)=k \mid x(t)=h )= f_{k}(h)

Nella formula, P(x(t+1=k | x(t)=h) è la probablità che x sia in k al momento t+1 supposto che si trovava in h al momento t.

*: «non è quantificata» vuol dire che non è specificato se deve esistere una funzione f con tali proprietà, o se tale proprietà deve valere per tutte le funzioni f in una certa classe.

1 commento:

Ciocionheart ha detto...

Grazie, adesso é molto piu chiaro. Ma ci sono ancora delle cose che non ho capito: perché nell'altro post parlavi di una famiglia di vettori? Forse c'é un vettore che ha come componenti le varie probabilitá agli stati t, t+1 etc? E poi che significa che la sommatoria di tutte le probabilitá fa 1? Che x deve trovarsi per forza in uno degli stati prescritti? E che c'entra questo con la famiglia di vettori?
Comunque grazie davvero per la spiegazione, é bello ogni tanto capirci qualcosa :)
ciao