È python!
Per me che non ho mai programmato è una meraviglia: un linguaggio di programmazione semplice e meravigliosamente efficace.
In Ubuntu (una distribuzione Linux che vi consiglio di installare: ci riuscirete anche se fino ad ora avete usato solo Windows) è di solito preinstallato, altrimenti aprite l'applicazione synaptic e installate python e ipython.
Ne vedrete delle belle!
mercoledì, giugno 25, 2008
sabato, giugno 21, 2008
Processi (!?) Puntuali
Nomina sunt consequentia rerum
Giustiniano
Ieri, discutendo con una mia collega, ho realizzato che il termine processo puntuale è uno dei termini scelti peggio della storia della matematica.
(Per gli appassionati di neuroscienze, dove i processi di rinnovamento, caso speciale di quelli puntuali, sono molto usati: e qui una breve spiegazione di come il concetto viene usato in questa disciplina. Per gli appassionati di matematica: qui una breve storia del concetto nella comunità matematica.)
Cos'è un processo puntuale? In breve: è un insieme di punti casuali in uno spazio euclideo. Se lo spazio euclideo è R, allora è possibile pensare questo insieme di punti casuali come una sequenza di potenziali d'azione.
Cosa voglio dire con "un insieme di punti casuali"? Voglio dire che una realizzazione di un processo puntuale è un insieme di punti. Se rappresentiamo questo insieme di punti come la somma delle delta di dirac in detti punti, si ottiene che le realizzazione di un processo casuale sono misure su un certo spazio euclideo. Più precisamente sono misure di conteggio.
Ripeto: le realizzazioni di un processo puntuale sono misure di conteggio. Cioè: un processo puntuale è una funzione misurabile da uno spazio di probabilità allo spazio delle misure di conteggio. Cioè è una variabile casuale a valori nello spazio delle misure di conteggio.
Ma allora, se un processo puntuale è una variabile casuale, allora non è un processo stocastico.
E quindi: perchè chiamarlo processo puntuale?
Giustiniano
Ieri, discutendo con una mia collega, ho realizzato che il termine processo puntuale è uno dei termini scelti peggio della storia della matematica.
(Per gli appassionati di neuroscienze, dove i processi di rinnovamento, caso speciale di quelli puntuali, sono molto usati: e qui una breve spiegazione di come il concetto viene usato in questa disciplina. Per gli appassionati di matematica: qui una breve storia del concetto nella comunità matematica.)
Cos'è un processo puntuale? In breve: è un insieme di punti casuali in uno spazio euclideo. Se lo spazio euclideo è R, allora è possibile pensare questo insieme di punti casuali come una sequenza di potenziali d'azione.
Cosa voglio dire con "un insieme di punti casuali"? Voglio dire che una realizzazione di un processo puntuale è un insieme di punti. Se rappresentiamo questo insieme di punti come la somma delle delta di dirac in detti punti, si ottiene che le realizzazione di un processo casuale sono misure su un certo spazio euclideo. Più precisamente sono misure di conteggio.
Ripeto: le realizzazioni di un processo puntuale sono misure di conteggio. Cioè: un processo puntuale è una funzione misurabile da uno spazio di probabilità allo spazio delle misure di conteggio. Cioè è una variabile casuale a valori nello spazio delle misure di conteggio.
Ma allora, se un processo puntuale è una variabile casuale, allora non è un processo stocastico.
E quindi: perchè chiamarlo processo puntuale?
martedì, giugno 17, 2008
Manipolazioni
Il mio relatore di Ulm fa sempre notare che gli ingegneri, pur non sapendo cos'è una distribuzione, maneggiano con abilità le delta di Dirac, utilizzandone abilmente le regole di manipolazione matematica.
La regola che trovo più affascinante è la formula che regola la composizione della delta di dirac con una funzione f che ha zeri semplici in x_i:
Deriviamola. Per prima cosa, ricordiamo che è lecito usare la delta di dirac solo sotto il segno di integrale. Quindi, ciò che dobbiamo calcolare è
per tutte le funzioni test h. Si noti che gli estremi di integrazione non contano.
Il nostro obiettivo è integrare per sostituzione tramite la sostituzione
Ci ricordiamo che la derivata della funzione inversa è il reciproco della derivata di una funzione. Utilizzando tale formula si ottiene il risultato
Cioè, osservando che l'inversa di f calcolata in 0 altro non è che l'insieme delle radici di f
La cosa più affascinante è che non conoscevo questa regola: mi ci sono imbattuto leggendo Classical Electrodynamics di Jackson...
La regola che trovo più affascinante è la formula che regola la composizione della delta di dirac con una funzione f che ha zeri semplici in x_i:
Deriviamola. Per prima cosa, ricordiamo che è lecito usare la delta di dirac solo sotto il segno di integrale. Quindi, ciò che dobbiamo calcolare è
per tutte le funzioni test h. Si noti che gli estremi di integrazione non contano.
Il nostro obiettivo è integrare per sostituzione tramite la sostituzione
Ci ricordiamo che la derivata della funzione inversa è il reciproco della derivata di una funzione. Utilizzando tale formula si ottiene il risultato
Cioè, osservando che l'inversa di f calcolata in 0 altro non è che l'insieme delle radici di f
La cosa più affascinante è che non conoscevo questa regola: mi ci sono imbattuto leggendo Classical Electrodynamics di Jackson...
lunedì, giugno 16, 2008
Vorläufige Bescheinigung
Hiermit wird bestätigt, dass Herr Dipl.-Math. Stefano Cardanobile das Promotionsverfahren zum Dr. rer. nat. erfolgreich abgeschlossen hat.
Prof. Dr. F. Schulz
Avim n'ald dottò, uagnun!
Prof. Dr. F. Schulz
Avim n'ald dottò, uagnun!
sabato, giugno 07, 2008
Teoremi di Baire (IV)
Il teorema di Baire ha delle applicazioni sorprendenti: sapevate che esistono funzioni continue che non possiedono una derivata in nessun punto?
Ecco come si fa a dimostrarlo. Si denoti con Df(x,h) il rapporto incrementale destro della funzione f, al punto x di lunghezza h e si consideri lo spazio C delle funzioni continue sull'intervallo [0,1].
Ora definiamo una famiglia numerabile di insiemi tramite:
![A_n:=\{ f \in C: \exists x \in [0,1-1/n], \forall h \in (0,1/n]: |Df(x,h)| \leq n \}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tavkyck65gCIVS7TCSZ2iyldwI8JCHJMAnm8J7FghRKx9nFvDGR5BP4fHiGUO78l5LTYPj-5vJpVKme6IKBuwUfUMIJ0ciU8XLcU7f0MNyzm0wa-f8tp6Pi9D4N5Xp-VW5vqoGUEofLFBiviJ70FYqb7wW3UQ2IM8j8V6a2XzZhPG6tTtu6aFYp9vHB6vSJbXF_VouMXGdy-o3Eh-gDh7qdPgs9bROC2l6ZOIFW-mzsLAKK4rB3pbkL_F6SQN66CBK4sl9bafvzdAIPgeaq-Zk8j3CbNMyNUxJ9RTeLhlepzdeHt-tfmiRI-5vNz9YjgwtzVCUQdkR0B0t=s0-d)
Non spaventatevi! Lo riformulo a parole:
A_n è l'insieme delle funzioni continue i cui rapporti incrementali di lunghezza massima 1/n sono limitati da n in almeno in un punto distante non più di 1/n da 1.
Dubito che sia più facile scritto in questa maniera: voglio solo far vedere che non c'è nessuna matematica esoterica nella definizione.
Si noti che unendo tutti gli A_n si ottengono le funzioni che hanno in almeno in un punto un rapporto incrementale destro limitato. In particolare, le funzioni differenziabili in almeno un punto sono contenute in questa unione.
Voglio dimostrare aesso che tutti gli A_n sono insiemi chiusi e mai densi nell'insieme delle funzioni continue.
È un po' tecnico dimostrare che gli A_n sono tutti insiemi chiusi, ma ce lo si può aspettare, osservando che appaiono solo insiemi chiusi in tutte le definizioni. Crediamo che valga e andiamo alla parte divertente.
Dimostriamo per assurdo che nessuno degli A_n contiene un intorno.
Supponiamo che per un certo A_n esista f in A_n, tale che un intera sfera di centro f e raggio r sia contenuta in A_n. Approssimiamo f con un polinomio P a distanza minore di r/2.
Ora consideriamo una funzione L, lineare a tratti (una "funzione a denti di sega"). Si osservi che possiamo far crescere arbitrariamente i rapporti incrementali di tale funzione mantenendone invariata la norma dell'estremo superiore, diciamo inferiore a r/2.
Adesso, da una parte F + L dista da f meno di r e quindi è in A_n. Dall'altro, i suoi rapporti incrementali possono essere fatti crescere indefinitamente tramite un'opportuna scelta di L, e quindi non può essere in A_n.
La nostra ipotesi era che esistesse un A_n che non fosse mai denso, e quindi abbiamo dimostrato che tutti gli A_n sono mai densi.
Concludendo, abbiamo fatto vedere che l'insieme delle funzioni differenziabili in almeno un punto sono un sottoinsieme dell'unione numerabile di insiemi mai densi. In particolare, per Baire questo insieme è esso stesso mai denso nelle funzioni continue.
Non solo ci sono funzioni continue mai differenziabili: esse sono quasi tutte le funzioni continue!
Ecco come si fa a dimostrarlo. Si denoti con Df(x,h) il rapporto incrementale destro della funzione f, al punto x di lunghezza h e si consideri lo spazio C delle funzioni continue sull'intervallo [0,1].
Ora definiamo una famiglia numerabile di insiemi tramite:
Non spaventatevi! Lo riformulo a parole:
A_n è l'insieme delle funzioni continue i cui rapporti incrementali di lunghezza massima 1/n sono limitati da n in almeno in un punto distante non più di 1/n da 1.
Dubito che sia più facile scritto in questa maniera: voglio solo far vedere che non c'è nessuna matematica esoterica nella definizione.
Si noti che unendo tutti gli A_n si ottengono le funzioni che hanno in almeno in un punto un rapporto incrementale destro limitato. In particolare, le funzioni differenziabili in almeno un punto sono contenute in questa unione.
Voglio dimostrare aesso che tutti gli A_n sono insiemi chiusi e mai densi nell'insieme delle funzioni continue.
È un po' tecnico dimostrare che gli A_n sono tutti insiemi chiusi, ma ce lo si può aspettare, osservando che appaiono solo insiemi chiusi in tutte le definizioni. Crediamo che valga e andiamo alla parte divertente.
Dimostriamo per assurdo che nessuno degli A_n contiene un intorno.
Supponiamo che per un certo A_n esista f in A_n, tale che un intera sfera di centro f e raggio r sia contenuta in A_n. Approssimiamo f con un polinomio P a distanza minore di r/2.
Ora consideriamo una funzione L, lineare a tratti (una "funzione a denti di sega"). Si osservi che possiamo far crescere arbitrariamente i rapporti incrementali di tale funzione mantenendone invariata la norma dell'estremo superiore, diciamo inferiore a r/2.
Adesso, da una parte F + L dista da f meno di r e quindi è in A_n. Dall'altro, i suoi rapporti incrementali possono essere fatti crescere indefinitamente tramite un'opportuna scelta di L, e quindi non può essere in A_n.
La nostra ipotesi era che esistesse un A_n che non fosse mai denso, e quindi abbiamo dimostrato che tutti gli A_n sono mai densi.
Concludendo, abbiamo fatto vedere che l'insieme delle funzioni differenziabili in almeno un punto sono un sottoinsieme dell'unione numerabile di insiemi mai densi. In particolare, per Baire questo insieme è esso stesso mai denso nelle funzioni continue.
Non solo ci sono funzioni continue mai differenziabili: esse sono quasi tutte le funzioni continue!
giovedì, giugno 05, 2008
Teorema spettrale
In mathematics, particularly linear algebra and functional analysis, the spectral theorem is any of a number of results about linear operators or about matrices.
Wikipedia
Ma, direte voi, fra una settimana hai l'esame di dottorato e passi tempo a scrivere sul blog?
Studiando, ho incontrato finalmente un'esposizone coincisa e comprensibile e self-contained del teorema spettrale. Grazie a chi? Grazie a Paul Halmos.
Cerco di riportare il suo argomento del paragrafo 35 di Introduction to Hilbert space: euristica spettrale.
Il ragionamento è molto semplice: consideriamo una funzione semplice sui reali e chiamiamola f.
Per definizione, allora, seguento la notazione di Wiki
Ora si noti che, se al posto della funzione indicatrice
avessimo usato la misura di , allora il risultato del calcolo precedente sarebbe l'integrale di f.
Invertendo il ragionamento, consideriamo una misura (che non è proprio una misura, ma piuttosto ciò che si chiama una misura spettrale) con valori nello spazio delle funzioni indicatrici definita da
e notiamo che rispetto a questa misura, l'integrale di funzioni semplici si riduce ad una combinazione lineare di funzioni indicatrici. In particolare, il calcolo precedente mostra che, per funzioni semplici vale l'identità
Ora dobbiamo solo trovare il modo di estendere questo ragionamento a funzioni semplici e di generalizzare alcuni concetti al caso in cui E ha valori nell'insieme delle proiezioni ortogonali di uno spazio di Hilbert, ed ecco il teorema spettrale...
Wikipedia
Ma, direte voi, fra una settimana hai l'esame di dottorato e passi tempo a scrivere sul blog?
Studiando, ho incontrato finalmente un'esposizone coincisa e comprensibile e self-contained del teorema spettrale. Grazie a chi? Grazie a Paul Halmos.
Cerco di riportare il suo argomento del paragrafo 35 di Introduction to Hilbert space: euristica spettrale.
Il ragionamento è molto semplice: consideriamo una funzione semplice sui reali e chiamiamola f.
Per definizione, allora, seguento la notazione di Wiki
Ora si noti che, se al posto della funzione indicatrice
avessimo usato la misura di , allora il risultato del calcolo precedente sarebbe l'integrale di f.Invertendo il ragionamento, consideriamo una misura (che non è proprio una misura, ma piuttosto ciò che si chiama una misura spettrale) con valori nello spazio delle funzioni indicatrici definita da
e notiamo che rispetto a questa misura, l'integrale di funzioni semplici si riduce ad una combinazione lineare di funzioni indicatrici. In particolare, il calcolo precedente mostra che, per funzioni semplici vale l'identità
Ora dobbiamo solo trovare il modo di estendere questo ragionamento a funzioni semplici e di generalizzare alcuni concetti al caso in cui E ha valori nell'insieme delle proiezioni ortogonali di uno spazio di Hilbert, ed ecco il teorema spettrale...
Iscriviti a:
Post (Atom)
