in termodinamica l'entropia è una funzione di stato che si introduce insieme al secondo principio della termodinamica
wikipedia
in risposta al commento di ciocionheart al mio post aspirapolvere riporto l'argomento termodinamico che dimostra che il sole cede entropia alla terra.
fatto 1
la composizione atomica e la massa della terra sono costanti nel tempo.
più precisamente: la terra riceve una minima quantità di materia dallo spazio (meteoriti e simili), ed espelle, in pratica, solo manufatti umani. la composizione atomica è chiaramente costante, a meno di decadimenti radioattivi spontanei, attività di centrali nucleari, e un po' di bombe atomiche che vengono fatte esplodere.
fatto 2
il bilancio energetico della terra è in pari.
più precisamente: è mediamente in pari. se non lo fosse, allora sarebbe molto più calda o molto più fredda che 1 miliardo di anni fa, cosa che è evidentemente falsa. si noti che: il global warming è un effetto minimale.
fatto 3
la terra irradia energia nello spazio principalmente nello spettro infrarosso.
si può trattare la terra come un corpo nero. l'affermazione è quindi una conseguenza della legge di planck.
fatto 4
la terra riceve energia dal sole principalmente nello spettro visibile.
è una conseguenza del fatto che il sole irradia in maniera omogenea più o meno in tutte le direzioni ed ha la sua massima emissione intorno a 500 nm.
tirando le somme, quello che si è appena dimostrato è che la terra riceve e irradia energia da e nello spazio in misura uguale. tuttavia, riceve principalmente nello spetto visibile (fotoni ad alta energia e bassa entropia), ed emette principalmente nello spettro infrarosso (fotoni a bassa energia ed alta entropia).
ps: lo stesso argomento lo si trova espresso molto meglio nel libro di r. penrose "la mente nuova dell'imperatore".
venerdì, luglio 27, 2007
lunedì, luglio 23, 2007
serie (quasi) geometriche
in the first part are explained the principles of the new incremental method, and by the means of that the method of fluxions is more fully explained than has yet been done; it being shown how this method is deduced from the former, by taking the first and last ratios of the nascent and evanescent increments.
brook taylor
oggi ho scoperto una banalità che, come al solito, mi ha lasciato di stucco; peraltro, mi fa credere che la mia curiosità crescente per l'analisi non standard sia ben giustificata.
tutti sanno che la serie geometrica \sum z^k ha raggio di convergenza 1. è quindi facile dedurre che ponendo uguale a 0 il coefficiente per un numero finito di termini, il raggio di convergenza rimanga uguale a 1. cosa succede se facciamo lo stesso per un numero infinito di termini? il risultato, che è facile da dimostrare, è sorprendente. il raggio di convergenza è sempre 1, a meno che non rimangano solo un numero finito di coefficienti non nulli, nel qual caso diventa il raggio di convergenza è infinito, dato che la serie si riduce ad un polinomio
Teorema
Sia f: N -->N una funzione strettamente crescente. Allora la serie di potenze
\sum_n z^f(n)
ha raggio di convergenza pari a 1.
Dimostrazione
Si riscriva la serie come
\sum_n z^f(n)=\sum_k a_k z^k,
dove a_k=1 se esiste un (unico) n, con k=f(n) e a_k=0 altrimenti. Dato che a_k=1 oppure a_k=0 è evidente che la successione b_k:=\root[k] a_k assume come valori solamente 0 o 1, cosicchè si ha 0 =< limsup b_k =< 1.
D'altra parte, per la monotonia di f, il valore 1 è assunto infinte volte, per cui 1 è il limite superiore della successione b_k.
Usando la formula che lega il limite superiore di b_k al raggio di convergenza della serie associata, si ottiene dunque che il raggio di convergenza è pari a 1.
brook taylor
oggi ho scoperto una banalità che, come al solito, mi ha lasciato di stucco; peraltro, mi fa credere che la mia curiosità crescente per l'analisi non standard sia ben giustificata.
tutti sanno che la serie geometrica \sum z^k ha raggio di convergenza 1. è quindi facile dedurre che ponendo uguale a 0 il coefficiente per un numero finito di termini, il raggio di convergenza rimanga uguale a 1. cosa succede se facciamo lo stesso per un numero infinito di termini? il risultato, che è facile da dimostrare, è sorprendente. il raggio di convergenza è sempre 1, a meno che non rimangano solo un numero finito di coefficienti non nulli, nel qual caso diventa il raggio di convergenza è infinito, dato che la serie si riduce ad un polinomio
Teorema
Sia f: N -->N una funzione strettamente crescente. Allora la serie di potenze
\sum_n z^f(n)
ha raggio di convergenza pari a 1.
Dimostrazione
Si riscriva la serie come
\sum_n z^f(n)=\sum_k a_k z^k,
dove a_k=1 se esiste un (unico) n, con k=f(n) e a_k=0 altrimenti. Dato che a_k=1 oppure a_k=0 è evidente che la successione b_k:=\root[k] a_k assume come valori solamente 0 o 1, cosicchè si ha 0 =< limsup b_k =< 1.
D'altra parte, per la monotonia di f, il valore 1 è assunto infinte volte, per cui 1 è il limite superiore della successione b_k.
Usando la formula che lega il limite superiore di b_k al raggio di convergenza della serie associata, si ottiene dunque che il raggio di convergenza è pari a 1.
venerdì, luglio 20, 2007
sabato, luglio 14, 2007
la genesi secondo peano (I)
se una notte d'inverno un viaggiatore fuori dall'abitato di Malbork sporgendosi dalla costa scoscesa senza temere il vento e la vertigine guarda in basso dove l'ombra si addensa in una rete di linee che s'allacciano in una rete di linee che s'intersecano sul tappeto di foglie illuminato dalla luna intorno a una fossa vuota quale storia laggiù attende la fine?
italo calvino
il primo giorno, il signore della logica disse
esista un numero naturale 0.
chiamati in vita da una forza misteriosa, ci troviamo a muoverci in una regione dell'esistenza ancora poco definita. il nostro mondo è molto limitato: esiste solo la contemplazione questo immenso, incomprensibile, enigmatico monolito nero, o monolito zero, di cui non capiamo il significato, e tutto ciò solo in un eterno istante presente.
italo calvino
il primo giorno, il signore della logica disse
esista un numero naturale 0.
chiamati in vita da una forza misteriosa, ci troviamo a muoverci in una regione dell'esistenza ancora poco definita. il nostro mondo è molto limitato: esiste solo la contemplazione questo immenso, incomprensibile, enigmatico monolito nero, o monolito zero, di cui non capiamo il significato, e tutto ciò solo in un eterno istante presente.
sabato, luglio 07, 2007
bias architecture
qual è 'l geomètra che tutto s'affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond' elli indige,
tal era io a quella vista nova:
dante alighieri
il seminario di barbara hammer mi ha lasciato notevoli impressioni : ecco una bella favoletta.
c'era una volta in una fredda giornata d'estate il laplaciano con condizioni al bordo di robin, che altro non sarebbero che un miscuglio lineare di neumann e dirchlet. la nostra storia parla di un giovane e brillante matematico, che chiamerò qfwfq, che si è posto come compito per la vita di dimostrare che la distribuzione asintotica dei suoi autovalori è la stessa del laplaciano con condizioni di dirichlet e neumann; e questo per tutti i domini possibili e immaginabili. tutti i matematici del mondo sanno che è così - come potrebbe essere altrimenti! - ma qfwfq vuole dimostrarlo, nero su bianco. e poi chi lo sa, magari si scopre qualcosa di interessante in questo viaggio...
il nostro venne da me ieri chiedendomi aiuto, perchè si era ingarbugliato nel calcolare lo spettro nel caso di una dimensione; direte: impossibile, è così facile! è qua entra in gioco barbara hammer; il problema è che io e qfwfq lavoriamo spesso e volentieri (io non faccio altro) su problemi di cauchy astratti su grafi, che vengono sempre parametrizzati come incollamenti di intervalli [0,l]; questa è, per dirla con le parole di barbara hammer, la nostra "bias architecture"; le nostre capacità di aprendimento sono pertanto da essa limitate.
fatto sta che calcolare lo spettro sull'intervallo [0,l] è un ginepraio spinoso, e questo a causa di un beta che si infila in tutti i pertugi infastidendo non poco; cosÍ, dopo circa un'ora di calcoli inutili, ci siamo arresi.
a quel punto è successo che ho dovuto cambiare il mio bias per lavorare con d.m.; la nostra ossessione di questa settimana sono le funzioni radiali, che infestano i nostri pensieri e i nostri sogni. senza più pensare alle condizioni di robin, ho discusso un po' con d.m. su queste questioni radiali.
arrivato a casa, il nuovo bias ha dato i suoi frutti. calcolare lo spettro della derivata seconda con condizioni di robin al bordo, dopo aver riparametrizzato [0,l] come [-l/2,l/2], che è certo un oggetto molto più radiale di [0,l], è di una banalità sconcertante, il che mi ha fatto vergognare della nostra precedente cecità.
morale della favola, in rime abbastanza sciocche:
se non cambi il tuo bias, sono guai con la zia,
se il tuo bias non cambi, intercedano i santi.
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond' elli indige,
tal era io a quella vista nova:
dante alighieri
il seminario di barbara hammer mi ha lasciato notevoli impressioni : ecco una bella favoletta.
c'era una volta in una fredda giornata d'estate il laplaciano con condizioni al bordo di robin, che altro non sarebbero che un miscuglio lineare di neumann e dirchlet. la nostra storia parla di un giovane e brillante matematico, che chiamerò qfwfq, che si è posto come compito per la vita di dimostrare che la distribuzione asintotica dei suoi autovalori è la stessa del laplaciano con condizioni di dirichlet e neumann; e questo per tutti i domini possibili e immaginabili. tutti i matematici del mondo sanno che è così - come potrebbe essere altrimenti! - ma qfwfq vuole dimostrarlo, nero su bianco. e poi chi lo sa, magari si scopre qualcosa di interessante in questo viaggio...
il nostro venne da me ieri chiedendomi aiuto, perchè si era ingarbugliato nel calcolare lo spettro nel caso di una dimensione; direte: impossibile, è così facile! è qua entra in gioco barbara hammer; il problema è che io e qfwfq lavoriamo spesso e volentieri (io non faccio altro) su problemi di cauchy astratti su grafi, che vengono sempre parametrizzati come incollamenti di intervalli [0,l]; questa è, per dirla con le parole di barbara hammer, la nostra "bias architecture"; le nostre capacità di aprendimento sono pertanto da essa limitate.
fatto sta che calcolare lo spettro sull'intervallo [0,l] è un ginepraio spinoso, e questo a causa di un beta che si infila in tutti i pertugi infastidendo non poco; cosÍ, dopo circa un'ora di calcoli inutili, ci siamo arresi.
a quel punto è successo che ho dovuto cambiare il mio bias per lavorare con d.m.; la nostra ossessione di questa settimana sono le funzioni radiali, che infestano i nostri pensieri e i nostri sogni. senza più pensare alle condizioni di robin, ho discusso un po' con d.m. su queste questioni radiali.
arrivato a casa, il nuovo bias ha dato i suoi frutti. calcolare lo spettro della derivata seconda con condizioni di robin al bordo, dopo aver riparametrizzato [0,l] come [-l/2,l/2], che è certo un oggetto molto più radiale di [0,l], è di una banalità sconcertante, il che mi ha fatto vergognare della nostra precedente cecità.
morale della favola, in rime abbastanza sciocche:
se non cambi il tuo bias, sono guai con la zia,
se il tuo bias non cambi, intercedano i santi.
venerdì, luglio 06, 2007
impressioni
legend has it that the discovery was made at sea and that hippasus' fellow pythagoreans threw him overboard.
wikipedia su ippaso da metaponto
ieri sono stato ad un talk di barbara hammer: era un overview su tutto quello che si può dire sulle reti neurali ricorrenti.
di questo bellissimo talk mi ha in particolare colpito una cosa che lei ha detto di sfuggita e che già sapevo; cioè che le macchine di turing non possono manipolare i numeri reali e che, se potessero, allora porebbero fare veramente qualcosa di più. mi si perdoni il linguaggio poco scientifico, ma sono le 8 di mattina...
quindi siamo andati alla grigliata della facoltà di informatica, e seduti ad un tavolo, gustandomi il mio buon tannenzäpfle, ho potuto assistere ad un'accesa discussione fra lei, g.p. e c.t. sul problema dei numeri reali; che, afferma sempre g.p., tanto reali non possono essere, dato che si può sopravvivere benissimo senza di essi, approssimando tutto in maniera razionale.
a quel punto mi sono ricordato di una conversazione con r.n. in cui lui mi spiegava che, se si decide di essere rigorosamente costruttivisti, allora ogni funzione su R è automaticamente continua. purtroppo non ricordo come funzionava la dimostrazione. che ci sia una connessione frai due fatti, si vede subito: accettare di approssimare tutto con razionali, è simile al punto di vista costruttivista dell'accettare solo numeri creati da un algoritmo.
e poi mi è venuto in mente che quando si esegue l'analisi di fourier, la continuità della funzione influisce sulla velocità di convergenza della sua serie di fourier. da questo punto di vista, dato che la serie di fourier è un ente fisico, o almeno oggi mi piace pensarla così, se si accetta questa serie di impressioni e analogie come fossero un ragionamento, sembra quasi che ci sia una possibilità di verificare fisicamente l'esistenza dei numeri reali.
wikipedia su ippaso da metaponto
ieri sono stato ad un talk di barbara hammer: era un overview su tutto quello che si può dire sulle reti neurali ricorrenti.
di questo bellissimo talk mi ha in particolare colpito una cosa che lei ha detto di sfuggita e che già sapevo; cioè che le macchine di turing non possono manipolare i numeri reali e che, se potessero, allora porebbero fare veramente qualcosa di più. mi si perdoni il linguaggio poco scientifico, ma sono le 8 di mattina...
quindi siamo andati alla grigliata della facoltà di informatica, e seduti ad un tavolo, gustandomi il mio buon tannenzäpfle, ho potuto assistere ad un'accesa discussione fra lei, g.p. e c.t. sul problema dei numeri reali; che, afferma sempre g.p., tanto reali non possono essere, dato che si può sopravvivere benissimo senza di essi, approssimando tutto in maniera razionale.
a quel punto mi sono ricordato di una conversazione con r.n. in cui lui mi spiegava che, se si decide di essere rigorosamente costruttivisti, allora ogni funzione su R è automaticamente continua. purtroppo non ricordo come funzionava la dimostrazione. che ci sia una connessione frai due fatti, si vede subito: accettare di approssimare tutto con razionali, è simile al punto di vista costruttivista dell'accettare solo numeri creati da un algoritmo.
e poi mi è venuto in mente che quando si esegue l'analisi di fourier, la continuità della funzione influisce sulla velocità di convergenza della sua serie di fourier. da questo punto di vista, dato che la serie di fourier è un ente fisico, o almeno oggi mi piace pensarla così, se si accetta questa serie di impressioni e analogie come fossero un ragionamento, sembra quasi che ci sia una possibilità di verificare fisicamente l'esistenza dei numeri reali.
sabato, giugno 30, 2007
ornstein-uhlenbeck
vincer potero dentro a me l'ardore
ch'i' ebbi a divenir del mondo esperto
e de li vizi umani e del valore
dante alighieri
mondi diversi hanno spesso strutture molto simili; qua potete provare a leggere un po' di filosofia delle reti. mi viene in mente oggi perchè qualche giorno fa mi sono imbattuto in questa frase di h.c. tuckwell presa da "introduction to theoretical neurobiology, vol. 2":
«This leads to the Ornstein-Uhlenbeck (1930) process (OUP), which is discussed in many texts on probability and stochastic processes [see, for example Cox and Miller (1965) and Breiman (1968)]. This process has arisen in several fields. In fact, in such areas as astrophysics (Chandrasekhar 1943) and electrical engineering (Stumpers, 1950), the same kinds of problems have arisen as as confront us in the determination of firing times of neurons. The OUP seems to have been first mentioned in the present context by Calvin and Stevens (1965).».
la cosa che mi ha stupefatto è che anche io, nel mio piccolo orticello matematico, ho dovuto assistere a numerosi talks su operatori di ornstein-uhlenbeck. mai avevo pensato, fino ad ora per lo meno, che fosse un argomento di qualche rilevanza oltre la comunità matematica. d'altra parte, nessuno dei matematici che ho sentito discutere animatamente di tali argomenti astrusi ha mai accennato, seppur vagamente, a un qualche tipo di applicazione.
di più: gli OUP appaiono sia nell'astrofisica che nelle dimaniche neurali, esattamente come alcuni fenomeni simili a dinamiche su e di reti (o grafi), come spiegato nel post citato precedentemente da neuroevolution. quindi mi sembrerebbe naturale studiare operatori di OU su grafi. e il bello è che qualche mese fa abbiamo messo in cantiere un progetto simile con un matematico ungro-germanico, per motivi completamente diversi.
oddio, non completamente diversi, ma comunque non provenienti dalla stocastica, ma dall'analisi.
PS: purtroppo non ho trovato riferimenti in internet per gli altri due articoli...
ch'i' ebbi a divenir del mondo esperto
e de li vizi umani e del valore
dante alighieri
mondi diversi hanno spesso strutture molto simili; qua potete provare a leggere un po' di filosofia delle reti. mi viene in mente oggi perchè qualche giorno fa mi sono imbattuto in questa frase di h.c. tuckwell presa da "introduction to theoretical neurobiology, vol. 2":
«This leads to the Ornstein-Uhlenbeck (1930) process (OUP), which is discussed in many texts on probability and stochastic processes [see, for example Cox and Miller (1965) and Breiman (1968)]. This process has arisen in several fields. In fact, in such areas as astrophysics (Chandrasekhar 1943) and electrical engineering (Stumpers, 1950), the same kinds of problems have arisen as as confront us in the determination of firing times of neurons. The OUP seems to have been first mentioned in the present context by Calvin and Stevens (1965).».
la cosa che mi ha stupefatto è che anche io, nel mio piccolo orticello matematico, ho dovuto assistere a numerosi talks su operatori di ornstein-uhlenbeck. mai avevo pensato, fino ad ora per lo meno, che fosse un argomento di qualche rilevanza oltre la comunità matematica. d'altra parte, nessuno dei matematici che ho sentito discutere animatamente di tali argomenti astrusi ha mai accennato, seppur vagamente, a un qualche tipo di applicazione.
di più: gli OUP appaiono sia nell'astrofisica che nelle dimaniche neurali, esattamente come alcuni fenomeni simili a dinamiche su e di reti (o grafi), come spiegato nel post citato precedentemente da neuroevolution. quindi mi sembrerebbe naturale studiare operatori di OU su grafi. e il bello è che qualche mese fa abbiamo messo in cantiere un progetto simile con un matematico ungro-germanico, per motivi completamente diversi.
oddio, non completamente diversi, ma comunque non provenienti dalla stocastica, ma dall'analisi.
PS: purtroppo non ho trovato riferimenti in internet per gli altri due articoli...
martedì, giugno 26, 2007
formel
alles, was ergebnis einer rechnung war, war für uns kein beweis
nicolas bourbaki
oggi sono rimasto per l'ennesima volta basito nel contemplare una immensa verità: esistono numeri non computabili; cioé numeri per cui non esiste un algoritmo che abbia codesti numeri come risultato.
il motivo di questa contemplazione è il grave problema fattomi ieri presente da r.n. che non esiste una formula chiusa per qualsiasi cosa - dove il concetto di qualsiasi cosa va compreso nella maniera vaga che mi contraddistingue oggi - per il semplice fatto che ci sono una quantità numerabile di formule e sovrannumerabile di cose.
assurdo.
nicolas bourbaki
oggi sono rimasto per l'ennesima volta basito nel contemplare una immensa verità: esistono numeri non computabili; cioé numeri per cui non esiste un algoritmo che abbia codesti numeri come risultato.
il motivo di questa contemplazione è il grave problema fattomi ieri presente da r.n. che non esiste una formula chiusa per qualsiasi cosa - dove il concetto di qualsiasi cosa va compreso nella maniera vaga che mi contraddistingue oggi - per il semplice fatto che ci sono una quantità numerabile di formule e sovrannumerabile di cose.
assurdo.
venerdì, giugno 22, 2007
un calcolo
strano gioco. l'unica mossa vincente é non giocare.
joshua in war games
motivato da una serie di post di Sylvie Coyaud, precisamente questo
e questo, ho deciso di fare un piccolo conto per tentare di rispondere alla domanda: é vero che l'uomo non puó incidere sul clima?
ora facciamo questo conto (tutti i dati sono da wikipedia). la mia assunzione principale che, premetto, é un'approsimazione brutale, é che gli unici scambiatori di calore sulla terra siano l'atmosfera e i mari. in pratica é come se modellassi la terra come una corona sferica con condizioni di neumann al bordo. é poco piú di una curiositá, insomma, a cause di questa approsimazione imprecisa. la massa totale dell'atmosfera é di circa 5.1480×10^18 kg. la capacitá termica la fisso a 0.85 kJ/kg K, una via di mezzo fra la capacitá per trasformazioni isocore e isobare. da un rapido calcolo si ottiene che sono necessari 5x10^18 kJ per aumentare al temperatura dell'aria di 1 grado kelvin. rifaccio lo stesso conto per l'acqua sulla terra: ci sono 1.4 x10^9 km^3 di acqua, cioé 1.4x10^18 m^3, equivalenti a 1.4x10^21 kg di acqua. con 4.18 kJ/kg K si ottengon 5x10^21 kJ per ogni grado kelvin di cui si vogliono riscaldare i mari, che sono, come si vede, il grosso contenitore di calore della terra.
cosa é in grado di fare l'uomo? su nagasaki é stata sganciata una bomba a fissione da 20 kT. 1 kT sono circa 4x10^9 kJ. il 9 agosto 1945 abbiamo quindi rilasciato quindi 10^11 kJ nell'atmosfera, provocandone immediatamente un aumento di temperatura di 0.2x10^-7 gradi kelvin. poco. una moderna bomba ad idrogeno arriva fino a 10 MT, corrispondenti ad un aumento di temperatura dell'aria di 10^-5 gradi kelvin. dopo pochi giorni gli oceani assorbirebbero il calore, che dopo un po' verrebbe riemesso nello spazio interstellare sotto forma di radiazione infrarossa. in caso di una guerra termonucleare globale si potrebbero guadagnare ancora 3 o 4 ordini di grandezza. troppo poco.
quanta energia usa il genere umano? le stime del 2004 parlavano di 432 esajoule, cioé 4 x 10^17 kJ, che si puó supporre finiscano tutti in calore, dopo varie trasformazioni. la quantitá prodotta dall'energia solare, che é l'unica che non incide sul bilancio energetico é trascurabile. questo corrisponde ad un riscaldamento di 0.1 K per anno per l'aria e di 0.0001 K all'anno considerando anche i mari.
per fortuna la terra é in grado di dissipare energia nello spazio tramite radiazione infrarossa, cosiccome di scambiare energia con la crosta terrestre (che peró penso abbia un ruolo marginale) cosicché tutta questa quantitá di calore non si puó accumulare. si instaura, in pratica, una temperatura di equilibrio con lo spazio interstellare, che é tanto piú alta, quanto piú energia viene prodotta sulla terra. tuttavia, a occhio e croce, tale aumento dovuto all'instaurarsi di un equilibrio "piú caldo" lo ritengo molto marginale.
era solo per far vedere che gli ordini di grandezza dell'uomo sono comparabili con quelli della terra...
ps: il fabbisogno energetico cresce di circa il 4% all'anno: questo corrisponde ad un tempo di decuplicamento di 58 anni - potenza della funzione esponenziale. questo conferma la mia idea che la decrescita é l'unica strada...
pps: fra l'altro, allora avró 84 anni e magari potró vedere come va a finire!
joshua in war games
motivato da una serie di post di Sylvie Coyaud, precisamente questo
e questo, ho deciso di fare un piccolo conto per tentare di rispondere alla domanda: é vero che l'uomo non puó incidere sul clima?
ora facciamo questo conto (tutti i dati sono da wikipedia). la mia assunzione principale che, premetto, é un'approsimazione brutale, é che gli unici scambiatori di calore sulla terra siano l'atmosfera e i mari. in pratica é come se modellassi la terra come una corona sferica con condizioni di neumann al bordo. é poco piú di una curiositá, insomma, a cause di questa approsimazione imprecisa. la massa totale dell'atmosfera é di circa 5.1480×10^18 kg. la capacitá termica la fisso a 0.85 kJ/kg K, una via di mezzo fra la capacitá per trasformazioni isocore e isobare. da un rapido calcolo si ottiene che sono necessari 5x10^18 kJ per aumentare al temperatura dell'aria di 1 grado kelvin. rifaccio lo stesso conto per l'acqua sulla terra: ci sono 1.4 x10^9 km^3 di acqua, cioé 1.4x10^18 m^3, equivalenti a 1.4x10^21 kg di acqua. con 4.18 kJ/kg K si ottengon 5x10^21 kJ per ogni grado kelvin di cui si vogliono riscaldare i mari, che sono, come si vede, il grosso contenitore di calore della terra.
cosa é in grado di fare l'uomo? su nagasaki é stata sganciata una bomba a fissione da 20 kT. 1 kT sono circa 4x10^9 kJ. il 9 agosto 1945 abbiamo quindi rilasciato quindi 10^11 kJ nell'atmosfera, provocandone immediatamente un aumento di temperatura di 0.2x10^-7 gradi kelvin. poco. una moderna bomba ad idrogeno arriva fino a 10 MT, corrispondenti ad un aumento di temperatura dell'aria di 10^-5 gradi kelvin. dopo pochi giorni gli oceani assorbirebbero il calore, che dopo un po' verrebbe riemesso nello spazio interstellare sotto forma di radiazione infrarossa. in caso di una guerra termonucleare globale si potrebbero guadagnare ancora 3 o 4 ordini di grandezza. troppo poco.
quanta energia usa il genere umano? le stime del 2004 parlavano di 432 esajoule, cioé 4 x 10^17 kJ, che si puó supporre finiscano tutti in calore, dopo varie trasformazioni. la quantitá prodotta dall'energia solare, che é l'unica che non incide sul bilancio energetico é trascurabile. questo corrisponde ad un riscaldamento di 0.1 K per anno per l'aria e di 0.0001 K all'anno considerando anche i mari.
per fortuna la terra é in grado di dissipare energia nello spazio tramite radiazione infrarossa, cosiccome di scambiare energia con la crosta terrestre (che peró penso abbia un ruolo marginale) cosicché tutta questa quantitá di calore non si puó accumulare. si instaura, in pratica, una temperatura di equilibrio con lo spazio interstellare, che é tanto piú alta, quanto piú energia viene prodotta sulla terra. tuttavia, a occhio e croce, tale aumento dovuto all'instaurarsi di un equilibrio "piú caldo" lo ritengo molto marginale.
era solo per far vedere che gli ordini di grandezza dell'uomo sono comparabili con quelli della terra...
ps: il fabbisogno energetico cresce di circa il 4% all'anno: questo corrisponde ad un tempo di decuplicamento di 58 anni - potenza della funzione esponenziale. questo conferma la mia idea che la decrescita é l'unica strada...
pps: fra l'altro, allora avró 84 anni e magari potró vedere come va a finire!
domenica, giugno 17, 2007
successioni convergenti
das ist absurd!
un uomo alla stazione di ulma
sabato mi trovavo in quel di blaubeuren per seguire un seminario; quando, all'improvviso, durante la relazione di una ragazza peraltro brava, si materializza quanto io piú temo e abborro: un'unutile dimostrazione per assurdo. abbiamo discusso un po', e alla fine ci siamo pacificamente accordati sull'eliminazione dell'inutile assunzione.
il passo falso in questione riguardava un argomento contenente una divertente caratterizzazione delle successioni convergenti:
Teorema
Una successione ha L come limite se, e solo se, ogni sua sottosuccessione possiede una sottosuccessione che converge a L.
osservato che una direzione dell'equivalenza é banale, andando a casa mi sono chiesto come si dimostra l'altra direzione, e, mentre aspettavo il treno, ho prodotto il primo tentativo.
Dimostrazione 1 (per assurdo)
Si supponga che (x_n) non converga verso L, cioé che ci sia un ulteriore punto di accumulazione della successione, che chiamo L', diverso da L, eventualmente piú o meno infinito. Allora esiste una sottosuccessione (x_p(n))che converge verso L'. Considero adesso una sottosuccessione (x_q(p(n))) di (x_p(n)) che abbia come limite L. Dato che (x_p(n)) converge verso L', allora anche (x_q(p(n))), ma questo é assurdo, qed.
mi sono immediatamente vergognato di aver prodotto una tale dimostrazione per assurdo, dopo aver polemizzato durante il seminario, e quindi mi sono rimesso a leggere racconti notturni di hoffmann, ma con l'idea di espiare le mie colpe appena arrivato a casa, con l'utilizzo dell'ultimo ritrovato tecnologico per matematici: un pezzo di carta.
Dimostrazione 1 (astratta)
Si chiami A l'insieme dei punti di accumulazione di (x_n). Bisogna dimostrare che A={L}. si scriva A come l'unione U degli insiemi dei punti di accumulazione di (x_p(n)), al variare di p successioni strettamente crescenti di numeri naturali. É evidente che L é in U. Sia L' un elemento di U. Allora esiste p tali che (x_p(n)) converge verso L'. Si consideri una sottosuccessione (x_q(p(n))) di (x_p(n)) convergente verso L, che esiste per ipotesi. Per l'unicitá del limite, L=L', qed.
non appena ho finito di scrivere questa dimostrazione bourbakistika e barocca ero poco soddisfatto, per la sua intutile complessitá. dopo pochi secondi, fortunatamente, mi sono accorto della dimostrazione "vera".
Dimostrazione 1 (vera)
Si chiami A l'insieme dei punti di accumulazione di (x_n). Sia L' in A. Si consideri (x_p(n)))convergente verso L'. Dato (x_p(n)) ha per ipotesi una sottosuccessione convergente verso L, per l'unicitá del limite si ha che L=L', qed.
oggi arrivo all'universitá per scrivere questo giuoco sul blog, e trovo il mio compagno di stanza, r.n.. gli racconto questo divertissement, e lui, subito: "allora certo puoi rispondere ad una mia domanda! vale la caratterizzazione in spazi di hausdorff?"
supponiamo che non valga...
PS: comunque si, si dimostra (senza assurdi) che vale in ogni spazio di hausdorff.
un uomo alla stazione di ulma
sabato mi trovavo in quel di blaubeuren per seguire un seminario; quando, all'improvviso, durante la relazione di una ragazza peraltro brava, si materializza quanto io piú temo e abborro: un'unutile dimostrazione per assurdo. abbiamo discusso un po', e alla fine ci siamo pacificamente accordati sull'eliminazione dell'inutile assunzione.
il passo falso in questione riguardava un argomento contenente una divertente caratterizzazione delle successioni convergenti:
Teorema
Una successione ha L come limite se, e solo se, ogni sua sottosuccessione possiede una sottosuccessione che converge a L.
osservato che una direzione dell'equivalenza é banale, andando a casa mi sono chiesto come si dimostra l'altra direzione, e, mentre aspettavo il treno, ho prodotto il primo tentativo.
Dimostrazione 1 (per assurdo)
Si supponga che (x_n) non converga verso L, cioé che ci sia un ulteriore punto di accumulazione della successione, che chiamo L', diverso da L, eventualmente piú o meno infinito. Allora esiste una sottosuccessione (x_p(n))che converge verso L'. Considero adesso una sottosuccessione (x_q(p(n))) di (x_p(n)) che abbia come limite L. Dato che (x_p(n)) converge verso L', allora anche (x_q(p(n))), ma questo é assurdo, qed.
mi sono immediatamente vergognato di aver prodotto una tale dimostrazione per assurdo, dopo aver polemizzato durante il seminario, e quindi mi sono rimesso a leggere racconti notturni di hoffmann, ma con l'idea di espiare le mie colpe appena arrivato a casa, con l'utilizzo dell'ultimo ritrovato tecnologico per matematici: un pezzo di carta.
Dimostrazione 1 (astratta)
Si chiami A l'insieme dei punti di accumulazione di (x_n). Bisogna dimostrare che A={L}. si scriva A come l'unione U degli insiemi dei punti di accumulazione di (x_p(n)), al variare di p successioni strettamente crescenti di numeri naturali. É evidente che L é in U. Sia L' un elemento di U. Allora esiste p tali che (x_p(n)) converge verso L'. Si consideri una sottosuccessione (x_q(p(n))) di (x_p(n)) convergente verso L, che esiste per ipotesi. Per l'unicitá del limite, L=L', qed.
non appena ho finito di scrivere questa dimostrazione bourbakistika e barocca ero poco soddisfatto, per la sua intutile complessitá. dopo pochi secondi, fortunatamente, mi sono accorto della dimostrazione "vera".
Dimostrazione 1 (vera)
Si chiami A l'insieme dei punti di accumulazione di (x_n). Sia L' in A. Si consideri (x_p(n)))convergente verso L'. Dato (x_p(n)) ha per ipotesi una sottosuccessione convergente verso L, per l'unicitá del limite si ha che L=L', qed.
oggi arrivo all'universitá per scrivere questo giuoco sul blog, e trovo il mio compagno di stanza, r.n.. gli racconto questo divertissement, e lui, subito: "allora certo puoi rispondere ad una mia domanda! vale la caratterizzazione in spazi di hausdorff?"
supponiamo che non valga...
PS: comunque si, si dimostra (senza assurdi) che vale in ogni spazio di hausdorff.
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