la mia religione, la mia scienza (I)

Non passa giorno che non leggo su qualche blog o giornale online opinioni poco qualificate sul rapporto fra religione e scienza. Poco qualificate vuol dire, nel mio linguaggio, espresse da persone che sono o solo credenti, o solo scienziati, o nessuno dei due, e si buttano nel dibattito per puro amore di polemica.

Dato che io credo e sono uno scienziato mi sento autorizzato a parlarne.

Quelle che seguono sono alcune delle mie personali riflessioni;per così dire: il mio kit di sopravvivenza in questo mondo dualistico.

1. Notazione

Dato che è l'unica realà che conosco bene, denoterò col termine crdente tutti e soli gli appartenenti alla religione cattolica. Tale denotazione non esprime alcun giudizio di valore, ma solo la mia maggiore conoscenza di essa rispetto ad altre religioni.

Per prima cosa, una premessa. Non sono certo il primo a riflettere su queste domande. In particolare, non sono (evidentemente) il primo scienziato-credente della storia. Due esempi che amo molto, si parva licet componere magnis, sono: Gregor Mendel, monaco agostiniano e George Lemaitre, sacerdote gesuita.

2. Premessa

Molti affermano che è impossibile conciliare l'essere scienziato razionale e credente. Tale affermazione è falsa. Non falsa in senso filosofico, cioè nel senso che la sua falsità viene dimostrata con un ragionamento basato su assunzioni generali. Ma falsa in senso scientifico: esistono infatti in natura dei credenti-scienziati con tutte le caratteristiche di ambedue le tipologie espresse al massimo livello; due esempi sono Mendel e Lemaitre.

La chiave logica per capire come si fa a conciliare due approcci alla realtà che sembrano contraddittori è sufficientemente semplice e si basa su una questione di principio. Per un credente Egli è tutto il bene, cioè tutto il vero. Fin qui abbiamo solo due parole senza una definizione di esse, e su questo non si può fare scienza. Sicuramente, però, tutta la realtà osservabile è, per se stessa, parte del vero. Precisamente la parte più toccabile con mano. Non parlo solo delle leggi e degli esperimenti fisici, ma anche della storia delle nazioni, dei rapporti fra persone, etc... Insomma: di tutto il percepibile. Quindi, la teologia in quanto "scienza della divinità" è una teoria del tutto. Ora, dato che creare una teoria del tutto è un compito arduo, è necessario lasciare tutti i parametri liberi, in questa teoria. Spiego subito cosa intendo con "tutti i parametri".

Semplificando: nella teoria Newtoniana si può dire che l'unico parametro libero sia la costante di gravitazione universale. Determinato quello con precisione, la teoria Newtoniana è chiusa. Nella teologia ogni parametro è possibile, ed inizialmente non possiede un valore. Esso va determinato in una lunga e faticosa ricerca. Dato però che i possibili parametri sono infiniti, se ne deduce che questa ricerca non può in principio avere fine. Si noti che qui i parametri sono metaparametri: ad esempio, la teoria Newtoniana stessa è un parametro della teologia.

Concludendo: data la quantità di parametri liberi, non esiste un esperimento (fisico, biologico, cognitivo, sociologico) in grado di eliminare la teologia, per il semplice motivo che il risultato di questo esperimento può semplicemente essere utilizzato come valore di un parametro del quale, fino ad allora, non si conosceva l'esistenza (non del valore, ma del parametro stesso!).

3. Lemma

La teologia, in quanto teoria filosofica del tutto, è ineliminabile. Ogni esperimento volto a eliminare la teologia dal mondo, può essere integrato nella stessa, utilizzandolo come valore di un parametro sconosciuto.

P.S.: si può vedere il tutto anche dal punto di vista dell'indecidibilità Gödeliana. La teologia è l'insieme infinito di assiomi che rendono una teoria matematica allo stesso tempo completa e consistente, ed è per questo vera ed indecidibile in tempo finito.

Servizio Pubblico - Catene di Markov (I)

Per qualche motivo a me ancora ignoto (o meglio: probabilmente per questo motivo), la maggior parte dei visitatori del blog provenienti da motori di ricerca erano alla ricerca di informazioni su "catene di markov". Per non deludere ulteriormente questi visitatori, ecco un post sulle catene di Markov.

Premetto che Andrey Markov è stato un matematico russo della fine del 1800, membro dell'accademia di San Pietroburgo, allievo di Chebyshev, e con alcuni discendenti abbastanza famosi, come Lebiscovitsch, Sacks e Zygmund. Non entro nei dettagli storici e biografici, che possono essere trovati qui.

Cos'è una catena di Markov? Il caso che considero è quello di una catena a stati finiti.
Supponiamo di avere un oggetto (una particella, una persona, un ente divino) che può trovarsi in diversi stati, che chiameremo k, con k che varia fra 1 e n. Ad esempio, Se l'oggetto in considerazione è una persona, e l'unica informazione che ci interessè la sua età, allora i diversi stati sono numeri naturali, e per andare sul sicuro poniamo n=130.

Quello che vogliamo descrivere è l'evoluzione di questo oggetto: cioè come passa da uno stato all'altro; nelle catene di Markov questi cambiamenti di stato avvengono in step temporali discreti (che chiamiamo t e che è un numero naturale) e in maniera probabilistica. Per tornare al nostro esempio precedente: se fissiamo lo step temporale ad un anno, allora la persona in osservazione passa in ogni step temporale dallo stato k allo stato k+1 con probabilità 1. Se chiamiamo x(t) lo stato del nostro oggetto al tempo t, allora



per ogni t e per ogni k.

Ciò non è veramente probabilitstico (e per altro non si capisce che succede quando x(t)=130 per qualche t, si veda sotto), ma permette di evidenziare un aspetto importante: la probabilità che l'oggetto si trovi in un qualche stato nello step temporale t+1 deve essere 1: gli oggetti non possono essere distrutti in questa descrizione (e anche se lo potessero, si potrebbe correggere il tutto aggiungendo lo stato: oggetto distrutto - questo serve per correggere l'esempio precedente con le età sopra i 130 anni).

Riassumendo: quello che dobbiamo specificare per determinare l'evoluzione temporale di x, è la probabilità P(x(t)=k) che l'oggetto si trovi nello stato k al tempo t.

Introduciamo adesso il concetto fondamentale per una catena di Markov; supponiamo che per k=1, ... , n e t=1,2,... sia definita una famiglia di numeri 0 < P(x(t)=k) < 1 con la proprietà



per ogni t.

Allora la famiglia P(x(t)=k) definisce una catena di Markov omogenea se e solo se esiste una famiglia di vettori f_k=(f_k(1), ... , f_k(n)) tale che



Parlando in italiano, questo vuol dire che la probabilità che x si trovi in k al tempo t+1 dipende solamente da dove x si trovava al tempo t, e non dipende ne dal tempo t, ne' dalla storia di x fino al tempo t-1.

[La prossima volta che ho un po' di tempo, cerco di spiegare il rapporto fra catene di Markov e sistemi dinamici discreti, e poi fra questi e i random walks su grafi].

Weit weg

Se si pensa che cinque secoli fa l'uomo credeva Marte una scheggia di luce eterna, infissa in un cielo di cristallo ruotante in silenzio attorno alla terra, e che fra pochi decenni lo stesso uomo stamperà le proprie orme nella polvere dei deserti del pianeta, non si può non restare ammirati di fronte all'immenso cammino percorso.

Guido Ruggieri, 1971

Sto leggendo "La scoperta del pianeta Marte" di G. Ruggieri. È molto interessante come documento di storia della scienza; sono ancora alla parte iniziale dove spiega la storia delle osservazioni di Marte; è ben scritto, anche se un po' leibniziano nella sua fede nelle magnifiche sorti e progressive.

Inoltre, trovo interessante il fatto che, se il programma Aurora funziona come deve, allora prima del 2030 avremo uomini su Marte.

Che dire, una delle poche volte in cui una previsione scientifica viene azzeccata...

Stendhal

Bisogna affrettarsi a vedere le cerimonie di una religione che o si modificherà o si spegnerà

Stendhal nel 1827

L'altro ieri ho finito di leggere (grazie alla mia dolce metà che si è portata per sbaglio a Stoccarda il mio Dorian Gray, privandomi della mia lettura da autobus) un piccolo opuscolo di Stendhal, scritto nel 1827 dal titolo "La basilica di San Pietro in Vaticano".

È una brevissima guida, di circa 22 pagine, su San Pietro: lo consiglio perchè Stendhal scrive di arte in maniera vivace e acuta. A parte le sue considerazioni sull'arte, mi hanno colpito molte delle sue osservazioni sulla religione (cattolica e non). Ed ho avuto la forte impressione che parlasse di cose che non esistono più nella forma e con lo spirito che lui descrive.

Quando poi ha pagina 10 scrive la frase che ho riportato sopra, ho avuto la forte coscienza della distanza che separa un credente di oggi da uno di 180 anni fa.

Simmetrie di gauge (II)

Qualche giorno fa esponevo a d.m. la mia dicotomica divisione fra dicotomie per il concetto di simmetria nella fisica.
La prima dicotomia è quella fra simmetrie di gauge e simmetrie spaziali. La seconda dicotomia è quella fra simmetrie locali e globali.

Qual'è il problema, mi chiedevo ieri, nel considerare simmetrie spaziali locali?

Come ho già fatto notare, per considerare simmetrie spaziali, è necessario che il dominio D su cui è definita la nostra funzione possieda un gruppo di simmetrie parametrizzazo tramite un certo gruppo Z.

Se adesso vogliamo che la simmetria sia locale, abbiamo bisogno di una famiglia a due parametri di trasformazioni di D in D, diciamo



Il problema, adesso, è che questa famiglia di simmetrie deve essere un gruppo secondo l'operazione di composizione; questo vuol dire (mi sembra in questo momento) che fissato z, la famiglia debba essere un gruppo, rispetto alla legge di gruppo in D.

Ma allora stiamo chiedendo a D di avere un gruppo di simmetrie parametrizzato in D stesso!

Due cose non mi sono chiare:

La prima, se il mio ragionamento di cui sopra è corretto.

La seconda, se esistono domini (a parte le palle unitarie) che hanno questa bizzarra proprietà.

strategie

guardando un bel film ieri al cinema ho fatto questa riflessione.

Premessa

Per l'uomo (e immagino per la maggior parte dei mammiferi) il grasso è la parte più preziosa dei costituenti corporei. Può sembrare strano sentirlo dire così, ma è una meravigliosa riserva di energia, utilizzabile in ogni momento. Per questo è così difficile dimagrire: il corpo è programmato per non utilizzare che non in caso di estremo bisogno le sue riserve di combustibile d'emergenza. Per tutte le normali attività usa infatti gli zuccheri, che tanto se ne trovano dappertutto in natura.

Analogia

Qual'è l'equivalente del grasso per la società? Qual'è la forma di energia più concentrata che possediamo? Su, su, non fatvi pregrare: il petrolio!
Quindi, sarebbe giusto utilizzare il petrolio, elemento meraviglioso, esattamente come il nostro corpo fa con il grasso: solo quando ce n'è veramente bisogno.
E quando non c'è ne bisogno, tirare avanti con le energie a facile disponibilità: che so, solare, eolica, idroelettrica...

Morale

Così come l'obesità è una malattia odierna causata da un (apparente) eccesso di disponibilità di cibo, anche l'inquinamento della terra è una malattia della società dovuta ad un (apparente) eccesso di disponibilità di petrolio.

Simmetrie di gauge (I)

Nel portare a termine la scrittura della mia tesi, mi par finalmente di aver capito come formulare il concetto di simmetria di gauge senza usare nulla di geometria differenziale, ma solo analisi funzionale.

Supponiamo, dunque, che la funzione u(t,x) dove x varia nel dominio D e designa lo spazio e t designa il tempo e varia fra 0 e T, sia la soluzione di un certa equazione differenziale



dove A è un operatore che non dipende dal tempo.

Una simmetria spaziale, allora, è una famiglia



di applicazioni su D che costituisca un gruppo per la composizione di funzioni e che mandi soluzioni dell'equazione in altre equazioni dell'equazione, cioè tale che



sia una soluzione dell'equazione per ogni z, supposto che u(t,x) sia una soluzione dell'equazione.

(A dire la verità, una simmetria è un'applicazione che lascia invariante la Lagrangiana, ma in prima approssimazione può bastare quanto detto prima).

Come si vede, le simmetrie spaziali hanno un grande svantaggio: è possibile considerarle solo nel caso il dominio D abbia qualche tipo di simmetria.

Le simmetrie di Gauge non hanno questo svantaggio. Supponiamo che la funzione u(t,x) abbia valori in uno spazio di Hilbert complesso H (nel caso banale: nel campo dei numeri complessi). Supponiamo adesso che la famiglia



sia un gruppo unitario di operatori lineari sullo spazio di Hilbert H. Allora essa è una simmetria di gauge se



è una soluzione dell'equazione per ogni z, supposto che u(t,x) sia una soluzione.

Come si vede, simmetrie di questo tipo non hanno bisogno di alcuna assunzione sul dominio!

Peraltro, ci ho messo circa due anni prima di capire che la mia tesi è esattamente su simmetrie di gauge per grafi quantistici. Quello che dovrei fare ora che ho finito, è buttare la mia tesi dal balcone e riscrivere tutto dall'inizio...

componente connessa (II)

al contrario di ciò che io e d.m. facciamo di solito, ieri mi è capitato di dover utilizzare un risultato di teoria dei grafi per dimostrare una proposizione di analisi funzionale.


Proposizione

Sia G un grafo. Allora esistono



sottografi disgiunti e disconnessi di G, tale che ciascuno di essi è connesso.
Tale famiglia è univocamente determinata.

Dimostrazione

Si consideri la relazione R sull'insieme dei nodi di G definita da aRb se e solo se esiste un cammino (finito) da a a b.
R è una relazione di equivalenza, infatti
1) aRa, grazie al cammino triviale (a,a).
2) aRb implica bRa. Si prenda il cammino di lunghezza n



Il cammino inverso



ha lunghezza n e congiunge b ad a.
3) Se aRb e bRc allora, aRc. Infatti, siano



due cammini di lunghezza rispettivamente n e m, congiungenti il nodo a al nodo b e il nodo b al nodo c. Allora il cammino



ha lunghezza n+m e congiunge il nodo a al nodo c.

Si denoti N l'insieme dei nodi e si consideri l'insieme quoziente N/R. Allora gli elementi di N/R sono le componenti connesse del grafo. L'unicità è conseguenza dell'unicità dell'insieme quoziente, q.e.d.

Suriettività

Per D.M. da me e R.N.

È vero che il duale di c={successioni convergenti} è isomorfo a . Però l'isomorfismo non è quello che uno si aspetta. Infatti sarebbe portato a definire per un funzonale r in c* una successione sommabile come , dove sono i vettori della base canonica di c00={successioni finite}. Tuttavia questa applicazione f:r --> x(r) non è quella giusta.

Si prenda per mostrarlo il funzionale lineare r, continuo su c che ad una successione y associa il suo limite, i.e. r(y)=lim(y). Ovviamente . Quindi l'applicazione f ha come immagine una succesione sommabile, cioè (0,0,...). Ma questa successione sommabile non è quella giusta, perchè applicata ad una successione di c non restituisce il suo limite.

Detto in altre parole, f non è surgettiva.

Funzioni armoniche (I)

Mi sto avvicinando alla discussione della tesi, e ho deciso di riguardarmi un po' di cose che stanno pian piano scomparendo dalla memoria. Ne approfitto per risvegliare dalla sua morte apparente il mio blog, rendendo onore al suo nome.

Perchè l'operatore di Laplace è fondamentale?

Tutti sanno che per un campo vettoriale v vale il teorema della divergenza



Ora, immaginiamo che il campo vettoriale sia il gradiente di una funzione f sufficientemente regolare. Dato che vale la relazione (basta farsi i conti!)



allora usando il teorema della divergenza sul gradiente di f si ottiene che



dove la seconda uguaglianza altro non è che la definizione della derivata normale.

Questa relazione ha un sacco di consequenze divertenti. Ad esempio, supponiamo che f sia armonica, cioè che e supponiamo che il nostro dominio sia unapalla di raggio R. Allora la derivata normale su ogni sfera di raggio r < R può essere espressa come



per ogni r e con F funzione crescente. Se f è armonica, allora l'espressione, che è continua in r, si annulla, e quindi assume sempre il valore assunto in 0, che è f(0). (se non vi ricordate cos'è F, basta moltiplicarla per l'inverso di f(0)).

In pratica, quello che abbiamo appena derivato è il teorema del valor medio, che dice che se f è armonica allora f(0) è uguale al valore dell'integrale di f su ogni sfera.