discentes primae analysis

ieri, mentre producevamo con r.n. un po' di quella che io amo definire matematica d'intrattenimento, ho finalmente capito perché gli studenti di analisi uno non sanno distinguere fra implicazione ed equivalenza.
il motivo è il seguente: supponiamo di avere un famiglia di insiemi, che chiamerò F. supponiamo che sia definita una certa proprietà P, per cui scrivo P(M)=1, se l`insieme M in F ha la proprietá P e scrivo P(M)=0 se non ce l'ha. é evidente che una proprietá é allora null'altro che un sottoinsieme della famiglia, per la precisione, il sottoinsieme F' della famiglia F, definito da M in F' se e solo se P(M)=1. si consideri adesso una proprietá P' tale che P'>P, sarebbe a dire una proprietà P' tale che se M ha P', allora ha anche P. in questo caso dico P' implica P.

Teorema

Si consideri la proprietá P+ definita tramite la seguente istruzione: P+ è l'intersezione di tutte le proprietà che implicano P. Allora vale P+=P.

Dimostrazione

È evidente che P+ contiene P, dato che ogni elemento dell'interesezione che forma P+ contiene P. D'altra parte P implica P, quindi P è presente nell'intersezione che forma P+, e quindi P contiene P+, qed.

questo, a mio parere, è il motivo formale per cui i poveri ragazzi di analisi uno non sanno distinguere fra implicazione ed equivalenza.

grafi casuali

bizzarrie della matematica: se si cerca di spiegare ad un profano cos'è un grafo casuale, allora si ricorre ad un punto di vista algoritmico. si spiega, in pratica, come si trova una realizzazione di un grafo casuale. peró, e allora il matematico si gira verso i suoi colleghi e sorride ironicamente per sottolineare la sua superioritá rispetto al profano, ignaro della Vera Scienza, peró in veritá un grafo casuale altro non è che uno spazio di probabilitá.

giusto per farsi capire, no?

è la fine

se non impazzisco questo fine settimana, allora ho vinto. la cosa buona è che prima di andarmene, sono riuscito a scrivere qualche post con gli accenti. un grazie a robin.

una nota culturale

und sie bewegt sich doch - ich habe fertig

galileo galilei e giovani trapattoni

notavo che la cultura ha una topologia simile a quella di un toro: gli estremi si toccano. una spiegazione implicita di questo fenomeno potete trovarla, spiegata da qualcuno che scrive molto meglio di me, in questo post di leonardo. la bild zeitung ne è l'interprete più verace, di questa topologia. l'idea geniale è di riunire in una sola campagna pubblicitaria, sotto l'ormai famoso slogan "jede wahrheit braucht einen mutigen, der sie ausspricht" giovanni trapattoni e galileo galilei. semplicemente geniale.

misurazioni frattali

un mio caro amico sta scrivendo la sua tesi di laurea. quello che fa, se ho capito bene, sapete, lui e´ biologo e io matematico, e´ confrontare diversi sistemi di misurazione per i crani di ominidi.successivamente dovrebbe testarne uno nuovo ad alta risoluzione.

mi ponevo un problema squisitamente teorico: supponiamo di avere a disposizione uno strumento capace di misurare con una risoluzione precisa a piacere. si noti che, dato che questo mio amico vuole effettuare delle misurazioni tramite metodi laser, questa assunzione non e´ cosi´ peregrina. fatta questa osservazione, mi sorge spontanea una domanda: si vuole misurare la superficie o il volume? nel primo caso e´ necessario scegliere un´unita´ di risoluzione appropriata, per evitare che la misura dia un valore tendente a infinito a cause della probabile natura frattale dell´oggetto da misurare. d´altra parte non vedo una maniera coerente di misurare direttamente il volume che rinunci ad una scelta a prioristica di un livello di risoluzione.

stamattina in autobus, quindi, mi domandavo come si risolve questo dilemma. effettivamente, mi sembra che l´unica soluzione pratica e utile sia quella di scegliere come livello di risoluzione la scala intrinseca del cervello, cioe´ la grandezza dei neuroni, o il diametro di un assone, o qualsiasi cosa in qualche maniera relazionabile ad esse.

ps: a proposito, qui c´e´ una recensione del libro di mandelbrot "the fractal geometry of nature" scritta da wheeler, quello dei buchi neri.

roma

circa un mese fa sono stato al festival della matematica a roma. in una delle lunghissime code che hanno caratterizzato quei giorni ho conosciuto due studenti di scuola, il più giovane dei quali era al terzo liceo, ed era dotato di un eccellente istinto matematico. mi ha anche spiegato la dimostrazione elementare di un esercizio che non ero riuscito a risolvere molti anni fa, quando un mio coinquilino al primo anno venne disperato da me chiedendo aiuto. in suo onore (che peccato, non so nemmeno come si chiama), riporto la dimostrazione. una piccola premessa: con [x] si indica il più grande numero intero più piccolo di x. esempio: [1.2]=1, [-2.5]=-3. c´e´ un punto dove c´e´ un salto interessante: chi lo trova avra´ i miei complimenti.

Lemma
Sia 0< q <1 irrazionale. Allora la successione a(n):=nq-[nq] è densa nell'intervallo [0,1].

Dimostrazione
Si fissino epsilon>0 e x in (0,1) arbitrari. Cerchiamo un a(n), tale che |a(n)-x|< epsilon. Si osservi preventivamente che la successione ha valori in [0,1].
Per prima cosa si consideri un n0 sufficientemente grande, tale che n0>1/epsilon. Si consideri la partizione equidistante dell'intervallo [0,1] di larghezza 1/n0. Si consideri adesso un n1 > n0 e si noti che l'insieme (a(1),...,a(n1)) ha due elementi in almeno uno dei sottointervalli della partizione. Denoteremo questi due elementi n3 e n4.
Adesso è evidente che a(n3-n4) si trova nel primo intervallo e, per l'irrazionalità di q, è diverso da 0. Si scelga k tale che ka(n3-n4)=a(k(n3-n4)) sia nello stesso intervallo di x, cioè |a(k(n3-n4))-x|< epsilon, qed.

grafi orientati

Un grafo orientato D (o digrafo, grafo diretto) è un insieme D = (V, A), dove V è l'insieme dei vertici di D e A è l'insieme degli archi orientati di D.

Wikipedia

sto cominciando a capire perche´ sono pochi a occuparsi di grafi orientati. stiamo studiando proprieta´ di simmetria per equazioni di diffusione su reti, per le quali e´ necessario capire alcune cose sui grafi orientati. per giove, e´ un rompicapo formidabile!

il problema e´ che non riesco a trovare una rappresentazione discreta conveniente del problema.

il Libro e i sottobicchieri

per farvi capire che tipo e´ il mio prof vi vorrei raccontare un aneddoto. conoscete erdos? per lo meno di nome? beh, era un geniale matematico ungherese (1913-1996). ha scritto centinaia di articoli. fondato la teoria dei grafi casuali. dimostrato senza analisi complessa il teorema sulla distribuzione dei numeri primi. insomma, un geniaccio. chiamava le dimostrazioni meravigliose che ogni tanto si incontrano in matematica "dimostrazioni dal Libro". intendendo col Libro la lista delle dimostrazioni perfette in possesso di dio. non che ci credesse, in dio, parliamoci chiaro. ma per i matematici, diceva, e´ necessario credere nel Libro.

il mio prof (che non e´ erdos, pero´ e´ bravo comunque) le chiama "dimostrazioni da sottobicchieri" (bierdeckel in tedesco) perche´ possono essere eseguite in un pub, in tre righe, su un sottobicchiere.

non vi immaginate un tedesco birraiolo: e´ solo che non ama le cose troppo pompose.

per assurdo

Everything should be made as simple as possible, but not one bit simpler.

A. Einstein

durante le esercitazioni di analisi I ho notato uno strano fenomeno. appena si spiega ai ragazzi che esiste una tecnica chiamata "dimostrazione per assurdo", essi ne diventano immediatamente dipendenti, e dimostrano per assurdo anche proposizioni che possono essere dimostrate direttamente. peggio: ogni tanto affermano di aver dimostrato per assurdo cose che hanno dimostrato direttamente.

chiarisco il concetto: devono dimostrare la proposizione A. cominiciano la dimostrazione col dire: supponiamo che A sia falsa. poi dimostrano direttamente che A e´ vera. concludono quindi: cio´ contraddice la mia ipotesi che A fosse falsa, e quindi ho dimostrato per assurdo che A e´ vera. divertente, no?

anche matematici piu´ anziani non sono esenti da questo difetto. come viene dimostrato il teorema dei numeri primi, classicamente? per assurdo! supponiamo ce ne siamo n, ne costruisco un n+1esimo, e quindi mi ero sbagliato. si vede pero´ che questa e´ una dimostrazione per induzione, e non per assurdo.

Proposizione

Per ogni n numero naturale esistono p(1),...,p(n) distinti numeri primi.

Dimostrazione

Lo si dimostra per induzione completa su N. Per n=1 e´ evidentemente vero, dato che 2 e´ primo. Siano p(1),...,p(n) primi. Si definisca q=[p(1) x p(2) x...x p(n)]+1. Si consideri la (univoca) fattorizzazione di q=q(1)^a(1) x...x q(m)^a^(m). Per costruzione nessuno dei q(i) e´ in {p(1),...,p(n)}. Si definisca p(n+1):=q(1). Adesso p(1),...,p(n+1) sono primi distinti, e cosi´ il passo induttivo e´ provato, qed.

reti di attrattori

stavo leggendo alcuni articoli su anelli continui di neuroni. si usano tali cose bizzare per simulare, dicono questi scienziati, la memoria a breve termine di pattern visivi. c´e´ qualcosa pero´ che mi disturba. loro dicono che il riconoscimento di un pattern corrisponde alla convergenza di una certa equazione di evoluzione verso un equilibrio inomogeneo. ovvero che la soluzione di tale equazione di evoluzione, che chiamero´ u(t,x) converge per t --> oo verso una funzione v(x) che non e´ costante rispetto a x.

ora, per giove, decidetevi! volete una memoria a breve termine, o volete una memoria a lungo termine? se la memoria e´ a breve termine, si suppone che per t-->oo i vari pattern vengano, per cosi´ dire, azzerati. ovvero che u(t,x) converga verso una funzione v(x)=c, cioe´ costante nello spazio.

quello che io tenderei ad affermare, insomma, e´ che la memoria a breve termine corrisponde ad un transiente nell´equazione di evoluzione. la memoria a lungo termine, ovvero il fatto che ci siano dei pattern registrati nell´anello, corrisponde invece all´esistenza di soluzioni asintotiche. d´altra parte, leggendo codesti articoli, ho anche capito il motivo storico per cui si e´ originato questo equivoco. ma questa e´ un´altra storia.