hat der alte hexenmeister
sich doch einmal wegbegeben!
und nun sollen seine geister
auch nach meinem willen leben.
der zauberlehrling
chris chatham segnala questa interessante intervista con steve grand. qualche riflessione sparsa.
strumenti
come spiega bene steve grand, viviamo in un mondo simulato, e siamo coscienti di questa simulazione - anche se non sempre del fatto che è una simulazione. una delle conseguenze di questo dato di fatto abbastanza sconcertante è la disposizione tipicamente umana a costruire strumenti. questi strumenti, infatti, permettono di controllare la realtà, permettendo al possessore dello strumento di risolvere, almeno parzialmente, uno dei grandi problemi dell'essere coscienti della propria simulazione: cioè eventuali discrepanze che si verificano fra quanto noi avevamo simulato nel futuro ed il feedback fornito dalla realtà.
platonismo
questa passione per lo strumento si trasferisce anche in altri campi. quello in cui sono più esperto e quello matematico, e di questo scrivo. teoremi, lemmi e teorie altro non sono, in questo contesto, altro che strumenti astratti che permettono di tenere sotto controllo un mondo non fisico. piccola osservazione: così come nel mondo reale ci si da delle regole per costruire degli strumenti, in maniera tale che essi siano adoperabili da tutti (chi sa il tedesco dia un'occhiata qui), anche nella matematica si è scelto un certo sistema di notazioni e di assiomi standard che permettono a tutti di comprendersi, cosicchè è possibile intraprendere esplorazioni di gruppo - "mathematical stories" è il termine che usa terence tao. questo concetto dell'esplorazione mi è caro: mi permette di dare un significato platonistico all'idea del teorema come strumento.
algoritmi
un posto di particolare rilievo in questa visione del mondo lo hanno gli algoritmi, in cui la natura strumentale del teorema è immediatamente visibile. d'altra parte si corre anche il rischio di considerare strumenti matematici genuini solo gli algoritmi, o, più in generale, espressioni finite, dimenticando l'utilità "esplorativa" di strumenti più astratti. il punto di vista speculare è la tendenza tipica dei matematici astratti ad essere spaventati da calcoli e stime, paura che può spingere persino al rifiutare come matematica corretta il risultato di tali calcoli e stime - bourbaki è un dinosauro la cui testa è troppo lontana dalla coda, si dice abbia detto cartier.
sabato, agosto 18, 2007
sabato, agosto 11, 2007
rette
data una retta ed un punto esterno ad essa esiste un'unica retta parallela passante per detto punto.
euclide
a scuola ci è stato insegnato che presi due punti distinti dello spazio, esiste una ed una sola retta che li congiunge. perchè è vero questo? la risposta intuitiva è: provare per credere. la risposta del secchione della classe: si dimostra a partire dai cinque postulati di euclide.
in realtà, la questione è un po' più complicata. la geometria euclidea viene infatti sistematizzata da hilbert nel 1899 nei fondamenti di geometria. negli assiomi hilbertiani, però, è presente come postulato il fatto che due punti individuino univocamente una retta.
se vi sembra ridondante, e vi sentite più furbi di hilbert, provate a dimostrare questo risultato utilizzando solo il 1° e il 5° postulato di euclide. un bel rompicapo, no?
peraltro, lo spazio in cui viviamo non è euclideo, come abbiamo imparato da einstein, e quindi anche il provare per credere fallisce...
euclide
a scuola ci è stato insegnato che presi due punti distinti dello spazio, esiste una ed una sola retta che li congiunge. perchè è vero questo? la risposta intuitiva è: provare per credere. la risposta del secchione della classe: si dimostra a partire dai cinque postulati di euclide.
in realtà, la questione è un po' più complicata. la geometria euclidea viene infatti sistematizzata da hilbert nel 1899 nei fondamenti di geometria. negli assiomi hilbertiani, però, è presente come postulato il fatto che due punti individuino univocamente una retta.
se vi sembra ridondante, e vi sentite più furbi di hilbert, provate a dimostrare questo risultato utilizzando solo il 1° e il 5° postulato di euclide. un bel rompicapo, no?
peraltro, lo spazio in cui viviamo non è euclideo, come abbiamo imparato da einstein, e quindi anche il provare per credere fallisce...
giovedì, agosto 09, 2007
profezie
wenn das so weiter geht, wirst du noch operatorentheoretiker
w.a.
un augurio, manifestazione di apprezzamento o malocchio?
w.a.
un augurio, manifestazione di apprezzamento o malocchio?
domenica, agosto 05, 2007
fantastico!
there are more things in heaven and earth, horatio,
than are dreamt of in your philosophy.
hamlet
a proposito di basi e successioni, questa mi mancava. nello scritto di analisi 1 che abbiamo corretto sabato si è verificato più volte l'errore speculare a quello da me preferito.
bisognava stabilire i punti di accumulazione dell'insieme {1/n - 1/m : n\in N}. una marea di discenti hanno avuto la geniale idea di considerala come successione, senza accorgersi che aveva due indici, producendo gli errori più bizzarri.
in particolare, quasi nessuno si è accorto che, oltre a 0,+1, e -1, anche tutti i punti del tip 1/m sono di accumulazione. questo perchè, non avendo trattato la convergenza tramite filtri non potevano sapere cosa sono i punti di accumulazione per una succesione con due indici. come conseguenza, il loro considerare uguali insiemi e successioni li ha portati ad errare (che è umano, ma quando leggi lo stesso errore per la centesima volta ti sembra diabolico).
von wegen notation.
than are dreamt of in your philosophy.
hamlet
a proposito di basi e successioni, questa mi mancava. nello scritto di analisi 1 che abbiamo corretto sabato si è verificato più volte l'errore speculare a quello da me preferito.
bisognava stabilire i punti di accumulazione dell'insieme {1/n - 1/m : n\in N}. una marea di discenti hanno avuto la geniale idea di considerala come successione, senza accorgersi che aveva due indici, producendo gli errori più bizzarri.
in particolare, quasi nessuno si è accorto che, oltre a 0,+1, e -1, anche tutti i punti del tip 1/m sono di accumulazione. questo perchè, non avendo trattato la convergenza tramite filtri non potevano sapere cosa sono i punti di accumulazione per una succesione con due indici. come conseguenza, il loro considerare uguali insiemi e successioni li ha portati ad errare (che è umano, ma quando leggi lo stesso errore per la centesima volta ti sembra diabolico).
von wegen notation.
giovedì, agosto 02, 2007
noch ein mal
viamichelangelosignorile57viadellaresistenza48/a
viadietadibari40heubergertorweg15eberhardstrasse66
karlstrasse26
e adesso:
wilhelmstrasse 14
viadietadibari40heubergertorweg15eberhardstrasse66
karlstrasse26
e adesso:
wilhelmstrasse 14
lunedì, luglio 30, 2007
basi, parentesi e successioni
il meglio è nemico del bene
mio nonno
mi sento di dissentire da mio nonno, una volta tanto. talvolta, il meglio è amico del bene. in particolare quando si vuole capire meglio certi concetti matematici, senza accontentarsi di capirli bene.
questo a proposito di una mia opinione, già espressa in questa discussione, dove ho spiegato quale è il motivo per cui è male rappresentare successioni all'interno di parentesi graffe.
il casus belli è il seguente: è corretto rappresentare una successione come {x_n : n\in N}, o è necessario rappresentarla come (x_n)_n \in N? sembra una question allemande, ma, come ho già detto, il meglio è amico del bene.
partiamo dal presupposto che la rappresentazione tramite parentesi graffe, che in matematica denotano solitamente insiemi è sbagliata. tuttavia, molti si sentono autorizzati ad usare lo stesso tale notazione.
quello che è accaduto, a mio parere, è una sorta di back propagation dalla notazione per le basi a quella per le successioni. quasi tutti, e fra poco spiegherò perchè, scrivono le basi in parentesi graffe, pur intendendole come insiemi ordinati. dato, quindi, che è accettato lo scrivere le basi in parentesi graffe, avrà pensato qualcuno, allora deve essere possibile scrivere anche le successioni all'interno di parentesi graffe. d'altra parte, il concetto di base e quello di successione sono imparentati - nel senso che vivono nella stessa aerea della matematica.
perchè, allora, qualcuno si sente autorizzato a scrivere le basi in parentesi graffe? il motivo è semplice, e dipende da come viene insegnata l'algebra lineare. come si spiega il concetto di base? prima si introduce il concetto di un insieme di vettori linearmente indipendenti, poi quello di sottospazio generato da un insieme di vettori, per poi concludere, trionfalmente, che se un insieme di vettori genera l'intero spazio, allora è una base dello spazio in questione.
a questo punto bisogna purtroppo scegliere. se si desidera introdurre la rappresentazione matriciale degli operatori lineari su spazi vettoriali, allora è necessario che l'insieme di vettori linearmente indipendenti generanti lo spazio venga ordinato, a formare quella che viene solitamente definita una base - da cui, peraltro, il termine "matrice del cambiamento di base".
se invece, si desidera mantenere la consistenza della definizione di una base come insieme di vettori linearmente indipendenti generanti lo spazio ambiente, allora bisogna rinunciare alla rappresentazione matriciale - o considerarla modulo permutazioni dei vettori della base.
mio nonno
mi sento di dissentire da mio nonno, una volta tanto. talvolta, il meglio è amico del bene. in particolare quando si vuole capire meglio certi concetti matematici, senza accontentarsi di capirli bene.
questo a proposito di una mia opinione, già espressa in questa discussione, dove ho spiegato quale è il motivo per cui è male rappresentare successioni all'interno di parentesi graffe.
il casus belli è il seguente: è corretto rappresentare una successione come {x_n : n\in N}, o è necessario rappresentarla come (x_n)_n \in N? sembra una question allemande, ma, come ho già detto, il meglio è amico del bene.
partiamo dal presupposto che la rappresentazione tramite parentesi graffe, che in matematica denotano solitamente insiemi è sbagliata. tuttavia, molti si sentono autorizzati ad usare lo stesso tale notazione.
quello che è accaduto, a mio parere, è una sorta di back propagation dalla notazione per le basi a quella per le successioni. quasi tutti, e fra poco spiegherò perchè, scrivono le basi in parentesi graffe, pur intendendole come insiemi ordinati. dato, quindi, che è accettato lo scrivere le basi in parentesi graffe, avrà pensato qualcuno, allora deve essere possibile scrivere anche le successioni all'interno di parentesi graffe. d'altra parte, il concetto di base e quello di successione sono imparentati - nel senso che vivono nella stessa aerea della matematica.
perchè, allora, qualcuno si sente autorizzato a scrivere le basi in parentesi graffe? il motivo è semplice, e dipende da come viene insegnata l'algebra lineare. come si spiega il concetto di base? prima si introduce il concetto di un insieme di vettori linearmente indipendenti, poi quello di sottospazio generato da un insieme di vettori, per poi concludere, trionfalmente, che se un insieme di vettori genera l'intero spazio, allora è una base dello spazio in questione.
a questo punto bisogna purtroppo scegliere. se si desidera introdurre la rappresentazione matriciale degli operatori lineari su spazi vettoriali, allora è necessario che l'insieme di vettori linearmente indipendenti generanti lo spazio venga ordinato, a formare quella che viene solitamente definita una base - da cui, peraltro, il termine "matrice del cambiamento di base".
se invece, si desidera mantenere la consistenza della definizione di una base come insieme di vettori linearmente indipendenti generanti lo spazio ambiente, allora bisogna rinunciare alla rappresentazione matriciale - o considerarla modulo permutazioni dei vettori della base.
venerdì, luglio 27, 2007
entropia
in termodinamica l'entropia è una funzione di stato che si introduce insieme al secondo principio della termodinamica
wikipedia
in risposta al commento di ciocionheart al mio post aspirapolvere riporto l'argomento termodinamico che dimostra che il sole cede entropia alla terra.
fatto 1
la composizione atomica e la massa della terra sono costanti nel tempo.
più precisamente: la terra riceve una minima quantità di materia dallo spazio (meteoriti e simili), ed espelle, in pratica, solo manufatti umani. la composizione atomica è chiaramente costante, a meno di decadimenti radioattivi spontanei, attività di centrali nucleari, e un po' di bombe atomiche che vengono fatte esplodere.
fatto 2
il bilancio energetico della terra è in pari.
più precisamente: è mediamente in pari. se non lo fosse, allora sarebbe molto più calda o molto più fredda che 1 miliardo di anni fa, cosa che è evidentemente falsa. si noti che: il global warming è un effetto minimale.
fatto 3
la terra irradia energia nello spazio principalmente nello spettro infrarosso.
si può trattare la terra come un corpo nero. l'affermazione è quindi una conseguenza della legge di planck.
fatto 4
la terra riceve energia dal sole principalmente nello spettro visibile.
è una conseguenza del fatto che il sole irradia in maniera omogenea più o meno in tutte le direzioni ed ha la sua massima emissione intorno a 500 nm.
tirando le somme, quello che si è appena dimostrato è che la terra riceve e irradia energia da e nello spazio in misura uguale. tuttavia, riceve principalmente nello spetto visibile (fotoni ad alta energia e bassa entropia), ed emette principalmente nello spettro infrarosso (fotoni a bassa energia ed alta entropia).
ps: lo stesso argomento lo si trova espresso molto meglio nel libro di r. penrose "la mente nuova dell'imperatore".
wikipedia
in risposta al commento di ciocionheart al mio post aspirapolvere riporto l'argomento termodinamico che dimostra che il sole cede entropia alla terra.
fatto 1
la composizione atomica e la massa della terra sono costanti nel tempo.
più precisamente: la terra riceve una minima quantità di materia dallo spazio (meteoriti e simili), ed espelle, in pratica, solo manufatti umani. la composizione atomica è chiaramente costante, a meno di decadimenti radioattivi spontanei, attività di centrali nucleari, e un po' di bombe atomiche che vengono fatte esplodere.
fatto 2
il bilancio energetico della terra è in pari.
più precisamente: è mediamente in pari. se non lo fosse, allora sarebbe molto più calda o molto più fredda che 1 miliardo di anni fa, cosa che è evidentemente falsa. si noti che: il global warming è un effetto minimale.
fatto 3
la terra irradia energia nello spazio principalmente nello spettro infrarosso.
si può trattare la terra come un corpo nero. l'affermazione è quindi una conseguenza della legge di planck.
fatto 4
la terra riceve energia dal sole principalmente nello spettro visibile.
è una conseguenza del fatto che il sole irradia in maniera omogenea più o meno in tutte le direzioni ed ha la sua massima emissione intorno a 500 nm.
tirando le somme, quello che si è appena dimostrato è che la terra riceve e irradia energia da e nello spazio in misura uguale. tuttavia, riceve principalmente nello spetto visibile (fotoni ad alta energia e bassa entropia), ed emette principalmente nello spettro infrarosso (fotoni a bassa energia ed alta entropia).
ps: lo stesso argomento lo si trova espresso molto meglio nel libro di r. penrose "la mente nuova dell'imperatore".
lunedì, luglio 23, 2007
serie (quasi) geometriche
in the first part are explained the principles of the new incremental method, and by the means of that the method of fluxions is more fully explained than has yet been done; it being shown how this method is deduced from the former, by taking the first and last ratios of the nascent and evanescent increments.
brook taylor
oggi ho scoperto una banalità che, come al solito, mi ha lasciato di stucco; peraltro, mi fa credere che la mia curiosità crescente per l'analisi non standard sia ben giustificata.
tutti sanno che la serie geometrica \sum z^k ha raggio di convergenza 1. è quindi facile dedurre che ponendo uguale a 0 il coefficiente per un numero finito di termini, il raggio di convergenza rimanga uguale a 1. cosa succede se facciamo lo stesso per un numero infinito di termini? il risultato, che è facile da dimostrare, è sorprendente. il raggio di convergenza è sempre 1, a meno che non rimangano solo un numero finito di coefficienti non nulli, nel qual caso diventa il raggio di convergenza è infinito, dato che la serie si riduce ad un polinomio
Teorema
Sia f: N -->N una funzione strettamente crescente. Allora la serie di potenze
\sum_n z^f(n)
ha raggio di convergenza pari a 1.
Dimostrazione
Si riscriva la serie come
\sum_n z^f(n)=\sum_k a_k z^k,
dove a_k=1 se esiste un (unico) n, con k=f(n) e a_k=0 altrimenti. Dato che a_k=1 oppure a_k=0 è evidente che la successione b_k:=\root[k] a_k assume come valori solamente 0 o 1, cosicchè si ha 0 =< limsup b_k =< 1.
D'altra parte, per la monotonia di f, il valore 1 è assunto infinte volte, per cui 1 è il limite superiore della successione b_k.
Usando la formula che lega il limite superiore di b_k al raggio di convergenza della serie associata, si ottiene dunque che il raggio di convergenza è pari a 1.
brook taylor
oggi ho scoperto una banalità che, come al solito, mi ha lasciato di stucco; peraltro, mi fa credere che la mia curiosità crescente per l'analisi non standard sia ben giustificata.
tutti sanno che la serie geometrica \sum z^k ha raggio di convergenza 1. è quindi facile dedurre che ponendo uguale a 0 il coefficiente per un numero finito di termini, il raggio di convergenza rimanga uguale a 1. cosa succede se facciamo lo stesso per un numero infinito di termini? il risultato, che è facile da dimostrare, è sorprendente. il raggio di convergenza è sempre 1, a meno che non rimangano solo un numero finito di coefficienti non nulli, nel qual caso diventa il raggio di convergenza è infinito, dato che la serie si riduce ad un polinomio
Teorema
Sia f: N -->N una funzione strettamente crescente. Allora la serie di potenze
\sum_n z^f(n)
ha raggio di convergenza pari a 1.
Dimostrazione
Si riscriva la serie come
\sum_n z^f(n)=\sum_k a_k z^k,
dove a_k=1 se esiste un (unico) n, con k=f(n) e a_k=0 altrimenti. Dato che a_k=1 oppure a_k=0 è evidente che la successione b_k:=\root[k] a_k assume come valori solamente 0 o 1, cosicchè si ha 0 =< limsup b_k =< 1.
D'altra parte, per la monotonia di f, il valore 1 è assunto infinte volte, per cui 1 è il limite superiore della successione b_k.
Usando la formula che lega il limite superiore di b_k al raggio di convergenza della serie associata, si ottiene dunque che il raggio di convergenza è pari a 1.
venerdì, luglio 20, 2007
sabato, luglio 14, 2007
la genesi secondo peano (I)
se una notte d'inverno un viaggiatore fuori dall'abitato di Malbork sporgendosi dalla costa scoscesa senza temere il vento e la vertigine guarda in basso dove l'ombra si addensa in una rete di linee che s'allacciano in una rete di linee che s'intersecano sul tappeto di foglie illuminato dalla luna intorno a una fossa vuota quale storia laggiù attende la fine?
italo calvino
il primo giorno, il signore della logica disse
esista un numero naturale 0.
chiamati in vita da una forza misteriosa, ci troviamo a muoverci in una regione dell'esistenza ancora poco definita. il nostro mondo è molto limitato: esiste solo la contemplazione questo immenso, incomprensibile, enigmatico monolito nero, o monolito zero, di cui non capiamo il significato, e tutto ciò solo in un eterno istante presente.
italo calvino
il primo giorno, il signore della logica disse
esista un numero naturale 0.
chiamati in vita da una forza misteriosa, ci troviamo a muoverci in una regione dell'esistenza ancora poco definita. il nostro mondo è molto limitato: esiste solo la contemplazione questo immenso, incomprensibile, enigmatico monolito nero, o monolito zero, di cui non capiamo il significato, e tutto ciò solo in un eterno istante presente.
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