il meglio è nemico del bene
mio nonno
mi sento di dissentire da mio nonno, una volta tanto. talvolta, il meglio è amico del bene. in particolare quando si vuole capire meglio certi concetti matematici, senza accontentarsi di capirli bene.
questo a proposito di una mia opinione, già espressa in questa discussione, dove ho spiegato quale è il motivo per cui è male rappresentare successioni all'interno di parentesi graffe.
il casus belli è il seguente: è corretto rappresentare una successione come {x_n : n\in N}, o è necessario rappresentarla come (x_n)_n \in N? sembra una question allemande, ma, come ho già detto, il meglio è amico del bene.
partiamo dal presupposto che la rappresentazione tramite parentesi graffe, che in matematica denotano solitamente insiemi è sbagliata. tuttavia, molti si sentono autorizzati ad usare lo stesso tale notazione.
quello che è accaduto, a mio parere, è una sorta di back propagation dalla notazione per le basi a quella per le successioni. quasi tutti, e fra poco spiegherò perchè, scrivono le basi in parentesi graffe, pur intendendole come insiemi ordinati. dato, quindi, che è accettato lo scrivere le basi in parentesi graffe, avrà pensato qualcuno, allora deve essere possibile scrivere anche le successioni all'interno di parentesi graffe. d'altra parte, il concetto di base e quello di successione sono imparentati - nel senso che vivono nella stessa aerea della matematica.
perchè, allora, qualcuno si sente autorizzato a scrivere le basi in parentesi graffe? il motivo è semplice, e dipende da come viene insegnata l'algebra lineare. come si spiega il concetto di base? prima si introduce il concetto di un insieme di vettori linearmente indipendenti, poi quello di sottospazio generato da un insieme di vettori, per poi concludere, trionfalmente, che se un insieme di vettori genera l'intero spazio, allora è una base dello spazio in questione.
a questo punto bisogna purtroppo scegliere. se si desidera introdurre la rappresentazione matriciale degli operatori lineari su spazi vettoriali, allora è necessario che l'insieme di vettori linearmente indipendenti generanti lo spazio venga ordinato, a formare quella che viene solitamente definita una base - da cui, peraltro, il termine "matrice del cambiamento di base".
se invece, si desidera mantenere la consistenza della definizione di una base come insieme di vettori linearmente indipendenti generanti lo spazio ambiente, allora bisogna rinunciare alla rappresentazione matriciale - o considerarla modulo permutazioni dei vettori della base.
lunedì, luglio 30, 2007
venerdì, luglio 27, 2007
entropia
in termodinamica l'entropia è una funzione di stato che si introduce insieme al secondo principio della termodinamica
wikipedia
in risposta al commento di ciocionheart al mio post aspirapolvere riporto l'argomento termodinamico che dimostra che il sole cede entropia alla terra.
fatto 1
la composizione atomica e la massa della terra sono costanti nel tempo.
più precisamente: la terra riceve una minima quantità di materia dallo spazio (meteoriti e simili), ed espelle, in pratica, solo manufatti umani. la composizione atomica è chiaramente costante, a meno di decadimenti radioattivi spontanei, attività di centrali nucleari, e un po' di bombe atomiche che vengono fatte esplodere.
fatto 2
il bilancio energetico della terra è in pari.
più precisamente: è mediamente in pari. se non lo fosse, allora sarebbe molto più calda o molto più fredda che 1 miliardo di anni fa, cosa che è evidentemente falsa. si noti che: il global warming è un effetto minimale.
fatto 3
la terra irradia energia nello spazio principalmente nello spettro infrarosso.
si può trattare la terra come un corpo nero. l'affermazione è quindi una conseguenza della legge di planck.
fatto 4
la terra riceve energia dal sole principalmente nello spettro visibile.
è una conseguenza del fatto che il sole irradia in maniera omogenea più o meno in tutte le direzioni ed ha la sua massima emissione intorno a 500 nm.
tirando le somme, quello che si è appena dimostrato è che la terra riceve e irradia energia da e nello spazio in misura uguale. tuttavia, riceve principalmente nello spetto visibile (fotoni ad alta energia e bassa entropia), ed emette principalmente nello spettro infrarosso (fotoni a bassa energia ed alta entropia).
ps: lo stesso argomento lo si trova espresso molto meglio nel libro di r. penrose "la mente nuova dell'imperatore".
wikipedia
in risposta al commento di ciocionheart al mio post aspirapolvere riporto l'argomento termodinamico che dimostra che il sole cede entropia alla terra.
fatto 1
la composizione atomica e la massa della terra sono costanti nel tempo.
più precisamente: la terra riceve una minima quantità di materia dallo spazio (meteoriti e simili), ed espelle, in pratica, solo manufatti umani. la composizione atomica è chiaramente costante, a meno di decadimenti radioattivi spontanei, attività di centrali nucleari, e un po' di bombe atomiche che vengono fatte esplodere.
fatto 2
il bilancio energetico della terra è in pari.
più precisamente: è mediamente in pari. se non lo fosse, allora sarebbe molto più calda o molto più fredda che 1 miliardo di anni fa, cosa che è evidentemente falsa. si noti che: il global warming è un effetto minimale.
fatto 3
la terra irradia energia nello spazio principalmente nello spettro infrarosso.
si può trattare la terra come un corpo nero. l'affermazione è quindi una conseguenza della legge di planck.
fatto 4
la terra riceve energia dal sole principalmente nello spettro visibile.
è una conseguenza del fatto che il sole irradia in maniera omogenea più o meno in tutte le direzioni ed ha la sua massima emissione intorno a 500 nm.
tirando le somme, quello che si è appena dimostrato è che la terra riceve e irradia energia da e nello spazio in misura uguale. tuttavia, riceve principalmente nello spetto visibile (fotoni ad alta energia e bassa entropia), ed emette principalmente nello spettro infrarosso (fotoni a bassa energia ed alta entropia).
ps: lo stesso argomento lo si trova espresso molto meglio nel libro di r. penrose "la mente nuova dell'imperatore".
lunedì, luglio 23, 2007
serie (quasi) geometriche
in the first part are explained the principles of the new incremental method, and by the means of that the method of fluxions is more fully explained than has yet been done; it being shown how this method is deduced from the former, by taking the first and last ratios of the nascent and evanescent increments.
brook taylor
oggi ho scoperto una banalità che, come al solito, mi ha lasciato di stucco; peraltro, mi fa credere che la mia curiosità crescente per l'analisi non standard sia ben giustificata.
tutti sanno che la serie geometrica \sum z^k ha raggio di convergenza 1. è quindi facile dedurre che ponendo uguale a 0 il coefficiente per un numero finito di termini, il raggio di convergenza rimanga uguale a 1. cosa succede se facciamo lo stesso per un numero infinito di termini? il risultato, che è facile da dimostrare, è sorprendente. il raggio di convergenza è sempre 1, a meno che non rimangano solo un numero finito di coefficienti non nulli, nel qual caso diventa il raggio di convergenza è infinito, dato che la serie si riduce ad un polinomio
Teorema
Sia f: N -->N una funzione strettamente crescente. Allora la serie di potenze
\sum_n z^f(n)
ha raggio di convergenza pari a 1.
Dimostrazione
Si riscriva la serie come
\sum_n z^f(n)=\sum_k a_k z^k,
dove a_k=1 se esiste un (unico) n, con k=f(n) e a_k=0 altrimenti. Dato che a_k=1 oppure a_k=0 è evidente che la successione b_k:=\root[k] a_k assume come valori solamente 0 o 1, cosicchè si ha 0 =< limsup b_k =< 1.
D'altra parte, per la monotonia di f, il valore 1 è assunto infinte volte, per cui 1 è il limite superiore della successione b_k.
Usando la formula che lega il limite superiore di b_k al raggio di convergenza della serie associata, si ottiene dunque che il raggio di convergenza è pari a 1.
brook taylor
oggi ho scoperto una banalità che, come al solito, mi ha lasciato di stucco; peraltro, mi fa credere che la mia curiosità crescente per l'analisi non standard sia ben giustificata.
tutti sanno che la serie geometrica \sum z^k ha raggio di convergenza 1. è quindi facile dedurre che ponendo uguale a 0 il coefficiente per un numero finito di termini, il raggio di convergenza rimanga uguale a 1. cosa succede se facciamo lo stesso per un numero infinito di termini? il risultato, che è facile da dimostrare, è sorprendente. il raggio di convergenza è sempre 1, a meno che non rimangano solo un numero finito di coefficienti non nulli, nel qual caso diventa il raggio di convergenza è infinito, dato che la serie si riduce ad un polinomio
Teorema
Sia f: N -->N una funzione strettamente crescente. Allora la serie di potenze
\sum_n z^f(n)
ha raggio di convergenza pari a 1.
Dimostrazione
Si riscriva la serie come
\sum_n z^f(n)=\sum_k a_k z^k,
dove a_k=1 se esiste un (unico) n, con k=f(n) e a_k=0 altrimenti. Dato che a_k=1 oppure a_k=0 è evidente che la successione b_k:=\root[k] a_k assume come valori solamente 0 o 1, cosicchè si ha 0 =< limsup b_k =< 1.
D'altra parte, per la monotonia di f, il valore 1 è assunto infinte volte, per cui 1 è il limite superiore della successione b_k.
Usando la formula che lega il limite superiore di b_k al raggio di convergenza della serie associata, si ottiene dunque che il raggio di convergenza è pari a 1.
venerdì, luglio 20, 2007
sabato, luglio 14, 2007
la genesi secondo peano (I)
se una notte d'inverno un viaggiatore fuori dall'abitato di Malbork sporgendosi dalla costa scoscesa senza temere il vento e la vertigine guarda in basso dove l'ombra si addensa in una rete di linee che s'allacciano in una rete di linee che s'intersecano sul tappeto di foglie illuminato dalla luna intorno a una fossa vuota quale storia laggiù attende la fine?
italo calvino
il primo giorno, il signore della logica disse
esista un numero naturale 0.
chiamati in vita da una forza misteriosa, ci troviamo a muoverci in una regione dell'esistenza ancora poco definita. il nostro mondo è molto limitato: esiste solo la contemplazione questo immenso, incomprensibile, enigmatico monolito nero, o monolito zero, di cui non capiamo il significato, e tutto ciò solo in un eterno istante presente.
italo calvino
il primo giorno, il signore della logica disse
esista un numero naturale 0.
chiamati in vita da una forza misteriosa, ci troviamo a muoverci in una regione dell'esistenza ancora poco definita. il nostro mondo è molto limitato: esiste solo la contemplazione questo immenso, incomprensibile, enigmatico monolito nero, o monolito zero, di cui non capiamo il significato, e tutto ciò solo in un eterno istante presente.
sabato, luglio 07, 2007
bias architecture
qual è 'l geomètra che tutto s'affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond' elli indige,
tal era io a quella vista nova:
dante alighieri
il seminario di barbara hammer mi ha lasciato notevoli impressioni : ecco una bella favoletta.
c'era una volta in una fredda giornata d'estate il laplaciano con condizioni al bordo di robin, che altro non sarebbero che un miscuglio lineare di neumann e dirchlet. la nostra storia parla di un giovane e brillante matematico, che chiamerò qfwfq, che si è posto come compito per la vita di dimostrare che la distribuzione asintotica dei suoi autovalori è la stessa del laplaciano con condizioni di dirichlet e neumann; e questo per tutti i domini possibili e immaginabili. tutti i matematici del mondo sanno che è così - come potrebbe essere altrimenti! - ma qfwfq vuole dimostrarlo, nero su bianco. e poi chi lo sa, magari si scopre qualcosa di interessante in questo viaggio...
il nostro venne da me ieri chiedendomi aiuto, perchè si era ingarbugliato nel calcolare lo spettro nel caso di una dimensione; direte: impossibile, è così facile! è qua entra in gioco barbara hammer; il problema è che io e qfwfq lavoriamo spesso e volentieri (io non faccio altro) su problemi di cauchy astratti su grafi, che vengono sempre parametrizzati come incollamenti di intervalli [0,l]; questa è, per dirla con le parole di barbara hammer, la nostra "bias architecture"; le nostre capacità di aprendimento sono pertanto da essa limitate.
fatto sta che calcolare lo spettro sull'intervallo [0,l] è un ginepraio spinoso, e questo a causa di un beta che si infila in tutti i pertugi infastidendo non poco; cosÍ, dopo circa un'ora di calcoli inutili, ci siamo arresi.
a quel punto è successo che ho dovuto cambiare il mio bias per lavorare con d.m.; la nostra ossessione di questa settimana sono le funzioni radiali, che infestano i nostri pensieri e i nostri sogni. senza più pensare alle condizioni di robin, ho discusso un po' con d.m. su queste questioni radiali.
arrivato a casa, il nuovo bias ha dato i suoi frutti. calcolare lo spettro della derivata seconda con condizioni di robin al bordo, dopo aver riparametrizzato [0,l] come [-l/2,l/2], che è certo un oggetto molto più radiale di [0,l], è di una banalità sconcertante, il che mi ha fatto vergognare della nostra precedente cecità.
morale della favola, in rime abbastanza sciocche:
se non cambi il tuo bias, sono guai con la zia,
se il tuo bias non cambi, intercedano i santi.
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond' elli indige,
tal era io a quella vista nova:
dante alighieri
il seminario di barbara hammer mi ha lasciato notevoli impressioni : ecco una bella favoletta.
c'era una volta in una fredda giornata d'estate il laplaciano con condizioni al bordo di robin, che altro non sarebbero che un miscuglio lineare di neumann e dirchlet. la nostra storia parla di un giovane e brillante matematico, che chiamerò qfwfq, che si è posto come compito per la vita di dimostrare che la distribuzione asintotica dei suoi autovalori è la stessa del laplaciano con condizioni di dirichlet e neumann; e questo per tutti i domini possibili e immaginabili. tutti i matematici del mondo sanno che è così - come potrebbe essere altrimenti! - ma qfwfq vuole dimostrarlo, nero su bianco. e poi chi lo sa, magari si scopre qualcosa di interessante in questo viaggio...
il nostro venne da me ieri chiedendomi aiuto, perchè si era ingarbugliato nel calcolare lo spettro nel caso di una dimensione; direte: impossibile, è così facile! è qua entra in gioco barbara hammer; il problema è che io e qfwfq lavoriamo spesso e volentieri (io non faccio altro) su problemi di cauchy astratti su grafi, che vengono sempre parametrizzati come incollamenti di intervalli [0,l]; questa è, per dirla con le parole di barbara hammer, la nostra "bias architecture"; le nostre capacità di aprendimento sono pertanto da essa limitate.
fatto sta che calcolare lo spettro sull'intervallo [0,l] è un ginepraio spinoso, e questo a causa di un beta che si infila in tutti i pertugi infastidendo non poco; cosÍ, dopo circa un'ora di calcoli inutili, ci siamo arresi.
a quel punto è successo che ho dovuto cambiare il mio bias per lavorare con d.m.; la nostra ossessione di questa settimana sono le funzioni radiali, che infestano i nostri pensieri e i nostri sogni. senza più pensare alle condizioni di robin, ho discusso un po' con d.m. su queste questioni radiali.
arrivato a casa, il nuovo bias ha dato i suoi frutti. calcolare lo spettro della derivata seconda con condizioni di robin al bordo, dopo aver riparametrizzato [0,l] come [-l/2,l/2], che è certo un oggetto molto più radiale di [0,l], è di una banalità sconcertante, il che mi ha fatto vergognare della nostra precedente cecità.
morale della favola, in rime abbastanza sciocche:
se non cambi il tuo bias, sono guai con la zia,
se il tuo bias non cambi, intercedano i santi.
venerdì, luglio 06, 2007
impressioni
legend has it that the discovery was made at sea and that hippasus' fellow pythagoreans threw him overboard.
wikipedia su ippaso da metaponto
ieri sono stato ad un talk di barbara hammer: era un overview su tutto quello che si può dire sulle reti neurali ricorrenti.
di questo bellissimo talk mi ha in particolare colpito una cosa che lei ha detto di sfuggita e che già sapevo; cioè che le macchine di turing non possono manipolare i numeri reali e che, se potessero, allora porebbero fare veramente qualcosa di più. mi si perdoni il linguaggio poco scientifico, ma sono le 8 di mattina...
quindi siamo andati alla grigliata della facoltà di informatica, e seduti ad un tavolo, gustandomi il mio buon tannenzäpfle, ho potuto assistere ad un'accesa discussione fra lei, g.p. e c.t. sul problema dei numeri reali; che, afferma sempre g.p., tanto reali non possono essere, dato che si può sopravvivere benissimo senza di essi, approssimando tutto in maniera razionale.
a quel punto mi sono ricordato di una conversazione con r.n. in cui lui mi spiegava che, se si decide di essere rigorosamente costruttivisti, allora ogni funzione su R è automaticamente continua. purtroppo non ricordo come funzionava la dimostrazione. che ci sia una connessione frai due fatti, si vede subito: accettare di approssimare tutto con razionali, è simile al punto di vista costruttivista dell'accettare solo numeri creati da un algoritmo.
e poi mi è venuto in mente che quando si esegue l'analisi di fourier, la continuità della funzione influisce sulla velocità di convergenza della sua serie di fourier. da questo punto di vista, dato che la serie di fourier è un ente fisico, o almeno oggi mi piace pensarla così, se si accetta questa serie di impressioni e analogie come fossero un ragionamento, sembra quasi che ci sia una possibilità di verificare fisicamente l'esistenza dei numeri reali.
wikipedia su ippaso da metaponto
ieri sono stato ad un talk di barbara hammer: era un overview su tutto quello che si può dire sulle reti neurali ricorrenti.
di questo bellissimo talk mi ha in particolare colpito una cosa che lei ha detto di sfuggita e che già sapevo; cioè che le macchine di turing non possono manipolare i numeri reali e che, se potessero, allora porebbero fare veramente qualcosa di più. mi si perdoni il linguaggio poco scientifico, ma sono le 8 di mattina...
quindi siamo andati alla grigliata della facoltà di informatica, e seduti ad un tavolo, gustandomi il mio buon tannenzäpfle, ho potuto assistere ad un'accesa discussione fra lei, g.p. e c.t. sul problema dei numeri reali; che, afferma sempre g.p., tanto reali non possono essere, dato che si può sopravvivere benissimo senza di essi, approssimando tutto in maniera razionale.
a quel punto mi sono ricordato di una conversazione con r.n. in cui lui mi spiegava che, se si decide di essere rigorosamente costruttivisti, allora ogni funzione su R è automaticamente continua. purtroppo non ricordo come funzionava la dimostrazione. che ci sia una connessione frai due fatti, si vede subito: accettare di approssimare tutto con razionali, è simile al punto di vista costruttivista dell'accettare solo numeri creati da un algoritmo.
e poi mi è venuto in mente che quando si esegue l'analisi di fourier, la continuità della funzione influisce sulla velocità di convergenza della sua serie di fourier. da questo punto di vista, dato che la serie di fourier è un ente fisico, o almeno oggi mi piace pensarla così, se si accetta questa serie di impressioni e analogie come fossero un ragionamento, sembra quasi che ci sia una possibilità di verificare fisicamente l'esistenza dei numeri reali.
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