Prima di andarmene in vacanza fino al 20 aprile vi lascio un articolo da leggere del da me tanto vituperato Pietro Greco sulle disuguaglianze nell'accesso al diritto alla salute. Se vi interessa, l'articolo è una recensione di questo libro.
Come al solito, il livello d'istruzione conta eccome!
Ps: ieri ho parlato con il mio controrelatore esterno, che era soddisfatto della mia tesi... me ne vado in vacanza con la coscienza pulita..
venerdì, aprile 11, 2008
mercoledì, aprile 09, 2008
encounters
Oggi e domani sono a questa conferenza.
Ad aprire la conferenza è Joachim von Below, un professore tedesco emigrato in Francia - che è anche uno dei controrelatori della mia tesi.
Parlerà del problema di isospettralità e isomorfia dei grafi. Cos'è questa misteriosa branca? Consideriamo un grafo, cioè un'unione di intervalli incollati fra loro nei punti terminali. In questo post non ci interessano le lunghezze degli intervalli, che consideriamo essere sempre unitaria, nè i nomi che abbiamo assegnato ai vari nodi e intervalli, ma solo le relazioni di vicinanza fra nodi e lati.
Mi spiego con un esempio: questo grafo e quest'altro grafo hanno le stesse relazioni di vicinanza. Il nodo blu, ad esempio, è collegato in tutti e due i grafi al nodo rosso, al nodo verde e al nodo beige. Lo stesso dicasi per gli altri nodi.
Questo vuol dire che i due grafi hanno le stesse relazioni di vicinanza, cioè, per dirla in maniera più roboante, essi sono isomorfi.
Supponiamo adesso che all'interno degli intervalli si muovano degli elettroni, i quali possono passare da un intervallo all'altro passando attraverso i nodi, con l'ipotesi che si distribuiscano uniformemente in tutti gli intervalli uscenti da un nodo e che nessun elettrone vada perso. Quello che stiamo considerando, allora, è un grafo quantistico, governato da un certo operatore di Hamilton.
Questo Hamiltoniano avrà un certo spettro. È abbastanza facile dimostrare che se due grafi sono isomorfi, allora i rispettivi Hamiltoniani hanno lo stesso spettro.
Si potrebbe allora pensare che valga il contrario: se i rispettivi Hamiltoniani hanno lo stesso spettro, allora i grafi sono isomorfi. Nulla di più falso!
Di questo parlerà Joachim von Below oggi.
Ps: un altro gruppo, oltre ai francesi che lavorano con von Below, che lavora al problema è in Israele. Li stanno sviluppando un interessante approccio sistematico al problema, vedi qui.
Ad aprire la conferenza è Joachim von Below, un professore tedesco emigrato in Francia - che è anche uno dei controrelatori della mia tesi.
Parlerà del problema di isospettralità e isomorfia dei grafi. Cos'è questa misteriosa branca? Consideriamo un grafo, cioè un'unione di intervalli incollati fra loro nei punti terminali. In questo post non ci interessano le lunghezze degli intervalli, che consideriamo essere sempre unitaria, nè i nomi che abbiamo assegnato ai vari nodi e intervalli, ma solo le relazioni di vicinanza fra nodi e lati.
Mi spiego con un esempio: questo grafo e quest'altro grafo hanno le stesse relazioni di vicinanza. Il nodo blu, ad esempio, è collegato in tutti e due i grafi al nodo rosso, al nodo verde e al nodo beige. Lo stesso dicasi per gli altri nodi.
Questo vuol dire che i due grafi hanno le stesse relazioni di vicinanza, cioè, per dirla in maniera più roboante, essi sono isomorfi.
Supponiamo adesso che all'interno degli intervalli si muovano degli elettroni, i quali possono passare da un intervallo all'altro passando attraverso i nodi, con l'ipotesi che si distribuiscano uniformemente in tutti gli intervalli uscenti da un nodo e che nessun elettrone vada perso. Quello che stiamo considerando, allora, è un grafo quantistico, governato da un certo operatore di Hamilton.
Questo Hamiltoniano avrà un certo spettro. È abbastanza facile dimostrare che se due grafi sono isomorfi, allora i rispettivi Hamiltoniani hanno lo stesso spettro.
Si potrebbe allora pensare che valga il contrario: se i rispettivi Hamiltoniani hanno lo stesso spettro, allora i grafi sono isomorfi. Nulla di più falso!
Di questo parlerà Joachim von Below oggi.
Ps: un altro gruppo, oltre ai francesi che lavorano con von Below, che lavora al problema è in Israele. Li stanno sviluppando un interessante approccio sistematico al problema, vedi qui.
martedì, aprile 08, 2008
wawes
Ieri sono andato al cinema a vedere Die Welle.
È la trasposizione cinematografica di un esperimento fatto da un insegnante di storia di un liceo americano negli anni '60 (anche se si potrebbe avere qualche dubbio, dato che le testimonianze non sono molte) per trasformare una normale classe in un gruppo di nazisti.
Il film è duro, ma bellissimo. In rete si trova il resoconoto originale, in inglese, dell'insegnante che fece l'esperimento: parte 1 e parte 2.
Se volete andare a vedere il film, sappiate che è lievemente esagerato rispetto al resoconto ed è ambientato in Germania e non negli USA; c'è molta più violenza e azione e piacerà anche a chi non piacciono i film intellettuali.
È la trasposizione cinematografica di un esperimento fatto da un insegnante di storia di un liceo americano negli anni '60 (anche se si potrebbe avere qualche dubbio, dato che le testimonianze non sono molte) per trasformare una normale classe in un gruppo di nazisti.
Il film è duro, ma bellissimo. In rete si trova il resoconoto originale, in inglese, dell'insegnante che fece l'esperimento: parte 1 e parte 2.
Se volete andare a vedere il film, sappiate che è lievemente esagerato rispetto al resoconto ed è ambientato in Germania e non negli USA; c'è molta più violenza e azione e piacerà anche a chi non piacciono i film intellettuali.
domenica, aprile 06, 2008
Commutatori culinari
L'altro ieri ho cucinato delle lasagne per la mia fanciulla. E mentre cucinavo sono rimasto affascinato dalla scarsezza di commutatività in cucina.
Pensiamo di avere due operatori A,B su un certo spazio degli stati X. Allora A e B commutano se per ogni x in X vale A(B(x))=B(A(x)).
Teorema
Si definisca un operatore A tramite A(x):="miscuglio di x e farina" e un operatore B tramite B(x):="miscuglio di x e latte". Allora A e B non commutano
Dimostrazione
Si consideri il vettore x="casseruola col burro sciolto" e si calcoli B(x)="miscuglio insoluto di burro e latte". Applicando l'operatore A a B(x) la farina viene raggrumata dall'acqua contenuta del latte per cui
A(B(x))="miscuglio orrendo di olio e grumi di farina"
Al contrario, A(x)="massa farinosa compatta di ottima densità". Applicando questa volta B ad A(x) e mescolando continuamente, la massa farinosa compatta di ottima densità perderà la sua compattezza; ad un certo punto assumerà una consistenza semiliquida. Come conseguenza
B(A(x))="besciamella"
Abbiamo quindi provato che esiste un x tale che A(B(x)) è diverso da B(A(x)), q.e.d.
Fortunatamente, c'è da dirlo, ho calcolato B(A(x)).
Pensiamo di avere due operatori A,B su un certo spazio degli stati X. Allora A e B commutano se per ogni x in X vale A(B(x))=B(A(x)).
Teorema
Si definisca un operatore A tramite A(x):="miscuglio di x e farina" e un operatore B tramite B(x):="miscuglio di x e latte". Allora A e B non commutano
Dimostrazione
Si consideri il vettore x="casseruola col burro sciolto" e si calcoli B(x)="miscuglio insoluto di burro e latte". Applicando l'operatore A a B(x) la farina viene raggrumata dall'acqua contenuta del latte per cui
A(B(x))="miscuglio orrendo di olio e grumi di farina"
Al contrario, A(x)="massa farinosa compatta di ottima densità". Applicando questa volta B ad A(x) e mescolando continuamente, la massa farinosa compatta di ottima densità perderà la sua compattezza; ad un certo punto assumerà una consistenza semiliquida. Come conseguenza
B(A(x))="besciamella"
Abbiamo quindi provato che esiste un x tale che A(B(x)) è diverso da B(A(x)), q.e.d.
Fortunatamente, c'è da dirlo, ho calcolato B(A(x)).
venerdì, aprile 04, 2008
Stellvertretend
Sesso, i numeri di una vita: a letto tredici partner per lui, sette per lei.
Enrico Franceschini
Questa è la fonte della sconvolgente notizia. E se volete, qua un preclaro esempio di cattiveria nei confronti di Repubblica.
Qual è il problema? Il problema è che una tale statistica non è possibile!. In un campione standard, con una percentuale non troppo elevata di omosessuali, la media di partner per un uomo ed una donna sono uguali.
Ne risparmio la dimostrazione.
Giusto per pedanteria: quali sono i motivi per l'errore in questa statistica?
1) Il campione era troppo piccolo, o scelto male: la maggior parte dei partner di ogni persona nel campione sono al di fuori del campione stesso, per cui la "legge di conservazione" viene violata.
Escludiamo per bontà questa possibilità.
2) Vi è una percentuale non trascurabile di omosessuali uomini e una trascurabile di omosessuali donne; secondo wiki è un'approssimazione accettabile.
Infatti, supponiamo che il campione sia di 1000 persone, che non vi siano omosessuali donne e che vi siano 40 omosessuali uomini ognuno dei quali ha avuto 9 partner (prendo la media delle donne per arrotondare per difetto). Allora si producono 360 partner in più, che divisi per 1000 sono 0.36. Basta che ci sia qualche omosessuale in più (diciamo un fattore 2) o che essi siano in media più promiscui dei colleghi uomini (diciamo un fattore 2) per ottenere un fattore 6, che ci farebbe spiegare 2 punti della differenza di 4.
3) Molte persone nel campione hanno mentito: gli uomini dichiarano di più, le donne di meno.
Ometto di commentare il resto dell'articolo che è da sbellicarsi per la costruzione illogica e sciocca... ma dove l'hanno preso Franceschini?
Enrico Franceschini
Questa è la fonte della sconvolgente notizia. E se volete, qua un preclaro esempio di cattiveria nei confronti di Repubblica.
Qual è il problema? Il problema è che una tale statistica non è possibile!. In un campione standard, con una percentuale non troppo elevata di omosessuali, la media di partner per un uomo ed una donna sono uguali.
Ne risparmio la dimostrazione.
Giusto per pedanteria: quali sono i motivi per l'errore in questa statistica?
1) Il campione era troppo piccolo, o scelto male: la maggior parte dei partner di ogni persona nel campione sono al di fuori del campione stesso, per cui la "legge di conservazione" viene violata.
Escludiamo per bontà questa possibilità.
2) Vi è una percentuale non trascurabile di omosessuali uomini e una trascurabile di omosessuali donne; secondo wiki è un'approssimazione accettabile.
Infatti, supponiamo che il campione sia di 1000 persone, che non vi siano omosessuali donne e che vi siano 40 omosessuali uomini ognuno dei quali ha avuto 9 partner (prendo la media delle donne per arrotondare per difetto). Allora si producono 360 partner in più, che divisi per 1000 sono 0.36. Basta che ci sia qualche omosessuale in più (diciamo un fattore 2) o che essi siano in media più promiscui dei colleghi uomini (diciamo un fattore 2) per ottenere un fattore 6, che ci farebbe spiegare 2 punti della differenza di 4.
3) Molte persone nel campione hanno mentito: gli uomini dichiarano di più, le donne di meno.
Ometto di commentare il resto dell'articolo che è da sbellicarsi per la costruzione illogica e sciocca... ma dove l'hanno preso Franceschini?
giovedì, aprile 03, 2008
Teoremi di Baire (III)
Signore e signori, oggi un'applicazione spettacolare del teorema di Baire-Hausdorff.
È noto a tutti che l'insieme dei numeri razionali Q, dotato della distanza d(x,y)=|x-y| non è uno spazio metrico completo. Per chiarire questo problema si porta di solito il seguente
1. Esempio
La radice di 2 è reale e non razionale. La radice di 2 può essere approssimata tramite numeri razionali. Quindi lo spazio metrico dei razionali non è completo.
Questo esempio in forma sillogistica è corretto, tuttavia ha un problema; il secondo termine non è così semplice da dimostrare; la maniera più semplice mi pare quella di definire la funzione radice, dimostrare che è continua et cetera.
Tuttavia questo approccio ha lo svantaggio che bisogna utilizzare uno strumento raffinato (l'analisi) per dimostrare una proposizione di una disciplina più primitiva (la topologia).
Guardate invece cosa si ottiene col teorema di Baire-Hausdorff.
2. Teorema
Lo spazio metrico (Q, d) non è completo.
Dimostrazione
Si noti che la topologia indotta dalla metrica d è esattamente ciò che si aspetta; un insieme è aperto se ogni suo punto contiene una palla di numeri razionali.
Osserviamo che un insieme ridotto ad un punto singolo q è mai denso; infatti ogni palla aperta di Q contiene infiniti elementi.
Questo si vede così: sia q in Q e r un numero reale e si consideri la palla di raggio r e centro q. Si scelga adesso un numero razionale s compreso fra 0 e r; è possibile farlo dato che ogni numero reale ha uno sviluppo decimale. Quindi q-s, q e q+s sono nella palla; ergo la palla non può essere contenuta nell'insieme costituito dal solo elemento q.
Ricordiamo che Q è numerabile; questo perchè Q è l'insieme di tutte le frazioni e quindi è isomorfo a un sottoinsieme di N x N.
Dunque Q è uno spazio metrico ed è l'unione numerabile di insiemi mai densi. Quindi non può essere completo.
Si ricordi ora l'esempio; la facevamo vedere che esistono alcune successioni di Cauchy di razionali (quelle convergenti a radice di 2) che non convergono ad un numero razionale. Facevamo quindi vedere che Q è localmente non completo intorno a radice di 2.
L'attento lettore avrà notato che la dimostrazione precedente può essere generalizzata per dimostrare che Q è mai completo!
3. Definizione
Unp spazio metrico (X,d) è mai completo se per nessun numero reale r strettamente positivo e nessun elemento x lo spazio metrico (B(r,x),d) è completo.
Qua B(r,x) è la palla di centro x e raggio r e la distanza d è la stessa distanza dello spazio metrico ambiente.
4. Teorema
Lo spazio metrico (B(r,x),d) è mai completo.
Dimostrazione
Come nella precedente dimostrazione, ogni insieme ridotto ad un solo punto è mai denso. B(r,x) è numerabile in quanto sottoinsieme di un insieme numerabile. Quindi B(r,x) non è completo.
È noto a tutti che l'insieme dei numeri razionali Q, dotato della distanza d(x,y)=|x-y| non è uno spazio metrico completo. Per chiarire questo problema si porta di solito il seguente
1. Esempio
La radice di 2 è reale e non razionale. La radice di 2 può essere approssimata tramite numeri razionali. Quindi lo spazio metrico dei razionali non è completo.
Questo esempio in forma sillogistica è corretto, tuttavia ha un problema; il secondo termine non è così semplice da dimostrare; la maniera più semplice mi pare quella di definire la funzione radice, dimostrare che è continua et cetera.
Tuttavia questo approccio ha lo svantaggio che bisogna utilizzare uno strumento raffinato (l'analisi) per dimostrare una proposizione di una disciplina più primitiva (la topologia).
Guardate invece cosa si ottiene col teorema di Baire-Hausdorff.
2. Teorema
Lo spazio metrico (Q, d) non è completo.
Dimostrazione
Si noti che la topologia indotta dalla metrica d è esattamente ciò che si aspetta; un insieme è aperto se ogni suo punto contiene una palla di numeri razionali.
Osserviamo che un insieme ridotto ad un punto singolo q è mai denso; infatti ogni palla aperta di Q contiene infiniti elementi.
Questo si vede così: sia q in Q e r un numero reale e si consideri la palla di raggio r e centro q. Si scelga adesso un numero razionale s compreso fra 0 e r; è possibile farlo dato che ogni numero reale ha uno sviluppo decimale. Quindi q-s, q e q+s sono nella palla; ergo la palla non può essere contenuta nell'insieme costituito dal solo elemento q.
Ricordiamo che Q è numerabile; questo perchè Q è l'insieme di tutte le frazioni e quindi è isomorfo a un sottoinsieme di N x N.
Dunque Q è uno spazio metrico ed è l'unione numerabile di insiemi mai densi. Quindi non può essere completo.
Si ricordi ora l'esempio; la facevamo vedere che esistono alcune successioni di Cauchy di razionali (quelle convergenti a radice di 2) che non convergono ad un numero razionale. Facevamo quindi vedere che Q è localmente non completo intorno a radice di 2.
L'attento lettore avrà notato che la dimostrazione precedente può essere generalizzata per dimostrare che Q è mai completo!
3. Definizione
Unp spazio metrico (X,d) è mai completo se per nessun numero reale r strettamente positivo e nessun elemento x lo spazio metrico (B(r,x),d) è completo.
Qua B(r,x) è la palla di centro x e raggio r e la distanza d è la stessa distanza dello spazio metrico ambiente.
4. Teorema
Lo spazio metrico (B(r,x),d) è mai completo.
Dimostrazione
Come nella precedente dimostrazione, ogni insieme ridotto ad un solo punto è mai denso. B(r,x) è numerabile in quanto sottoinsieme di un insieme numerabile. Quindi B(r,x) non è completo.
mercoledì, aprile 02, 2008
Successioni di Cauchy
Gli spazi metrici hanno un grande vantaggio. In un tale spazio è infatti possibile definire una successione di Cauchy.
Una successione (x_n) di elementi in uno spazio metrico è detta di Cauchy se per ogni quantità qcomunque piccola è possibile trovare un N tale che d(x_n, x_m) <> N.
Detto così, è un po' triste e freddo; per apprezzare l'utilità di una tale proprietà il primo passo è ricordare un ottimo teorema di analisi I.
Teorema
Sia (x_n) una successione di numeri reali. Allora (x_n) converge se e solo se è di Cauchy.
Dimostrazione
Incominciamo ricordando che la distanza di due numeri reali x,y è definita tramite d(x,y):=|x-y|. Dimostriamo prima l'implicazione più facile.
Supponiamo che la successione converga verso un limite x e fissiamo un q arbitrario. Dato che la successione converge, esiste un N tale che |x_n - x| < 0.5 q per ogni n > N.
Fissiamo adesso n,m arbitrari maggiori di N. Per la disuguaglianza triangolare vale
|x_n - x_m| =< |x_n - x| +| x_m-x| < q
Questo è ciò che volevamo dimostrare.
Per vedere che vale anche l'implicazione opposta, osserviamo prima che ogni successione limitata in R ha una sottosuccessione convergente.
Per vedere ciò si fissi R positivo tale che -R < x_n < R. Scomponendo (-R,R)=(_R,0) U 0 U (0,R) si osservi che la successione ha infiniti termini in uno degli intervalli. Se x_n=0 per infiniti n abbiamo già la nostra sottosuccessione convergente. Altrimenti scegliamo fra i due restanti intervalli uno che contenga infiniti termini e scegliamo il termin x_n con indice più basso all'interno dell'intervallo. Iterando il procedimento otteniamo una successione di intervalli incapsulati (a_n,b_n) e una sottosuccesione di x_n tale che x_n_k è in (a_k,b_k). Per il teorema dei carabinieri x_n_k converge.
Osserviamo anche che una successione di Cauchy è limitata: per vedere ciò si scelga N tale che |x_n - x_m| < 1 per ogni n,m > N. Allora la successione è compresa tra il minimo dei primi N elementi - 1 e il massimo dei primi N elementi +1.
D'altra parte ogni due sottosuccessioni convergenti hanno lo stesso limite a causa della proprietà di Cauchy.
Concludiamo: la successione di Cauchy è limitata. Quindi ogni sottosuccessione è limitata. Quindi ogni sottosuccessione ha una sottosottosuccessione convergente. Tali sottosottosuccessioni convergono sempre a x.
Si ricordi questo post. La proprietà precedente vuol dire che la nostra succesione di Cauchy converge a x!
Nel secondo passo, che rimando ad un post successivo, osserveremo come la proprietà di Cauchy suggerisca una maniera algoritmica di verificare la convergenza di una successione, a differenza della definizione di limite.
Ps: per qualche motivo, blogger non mi accetta più i link di texify.com... qualcuno ne sa qualcosa?
Una successione (x_n) di elementi in uno spazio metrico è detta di Cauchy se per ogni quantità qcomunque piccola è possibile trovare un N tale che d(x_n, x_m) <> N.
Detto così, è un po' triste e freddo; per apprezzare l'utilità di una tale proprietà il primo passo è ricordare un ottimo teorema di analisi I.
Teorema
Sia (x_n) una successione di numeri reali. Allora (x_n) converge se e solo se è di Cauchy.
Dimostrazione
Incominciamo ricordando che la distanza di due numeri reali x,y è definita tramite d(x,y):=|x-y|. Dimostriamo prima l'implicazione più facile.
Supponiamo che la successione converga verso un limite x e fissiamo un q arbitrario. Dato che la successione converge, esiste un N tale che |x_n - x| < 0.5 q per ogni n > N.
Fissiamo adesso n,m arbitrari maggiori di N. Per la disuguaglianza triangolare vale
|x_n - x_m| =< |x_n - x| +| x_m-x| < q
Questo è ciò che volevamo dimostrare.
Per vedere che vale anche l'implicazione opposta, osserviamo prima che ogni successione limitata in R ha una sottosuccessione convergente.
Per vedere ciò si fissi R positivo tale che -R < x_n < R. Scomponendo (-R,R)=(_R,0) U 0 U (0,R) si osservi che la successione ha infiniti termini in uno degli intervalli. Se x_n=0 per infiniti n abbiamo già la nostra sottosuccessione convergente. Altrimenti scegliamo fra i due restanti intervalli uno che contenga infiniti termini e scegliamo il termin x_n con indice più basso all'interno dell'intervallo. Iterando il procedimento otteniamo una successione di intervalli incapsulati (a_n,b_n) e una sottosuccesione di x_n tale che x_n_k è in (a_k,b_k). Per il teorema dei carabinieri x_n_k converge.
Osserviamo anche che una successione di Cauchy è limitata: per vedere ciò si scelga N tale che |x_n - x_m| < 1 per ogni n,m > N. Allora la successione è compresa tra il minimo dei primi N elementi - 1 e il massimo dei primi N elementi +1.
D'altra parte ogni due sottosuccessioni convergenti hanno lo stesso limite a causa della proprietà di Cauchy.
Concludiamo: la successione di Cauchy è limitata. Quindi ogni sottosuccessione è limitata. Quindi ogni sottosuccessione ha una sottosottosuccessione convergente. Tali sottosottosuccessioni convergono sempre a x.
Si ricordi questo post. La proprietà precedente vuol dire che la nostra succesione di Cauchy converge a x!
Nel secondo passo, che rimando ad un post successivo, osserveremo come la proprietà di Cauchy suggerisca una maniera algoritmica di verificare la convergenza di una successione, a differenza della definizione di limite.
Ps: per qualche motivo, blogger non mi accetta più i link di texify.com... qualcuno ne sa qualcosa?
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