an enticing game is to choose the basis so as to make the matrix as simple as possible.
paul halmos
qui avevo formulato una congettura. ebbene, tale congettura è falsa. Infatti vale il seguente lemma:
Lemma
La matrice di incidenza di un grafo è un operatore limitato su l^2 se e solo se il grafo è uniformemente localmente finito.
la dimostrazione è un calcolo semplice in ambo le direzioni (una la devo a d.m.). la cosa divertente è che tutto ciò ha lo stesso aroma del capitolo di "a hilbert space problem book" di halmos, nel capitolo dove discute di matrici infinite. in particolare assomiglia ad un lemma di toeplitz che afferma che se A è un operatore su l^2, allora esiste una rappresentazione matriciale dove ogni colonna contiene solo un numero finito di elementi diversi da 0.
ed anche oggi ho un intrattieni...
lunedì, novembre 26, 2007
giovedì, novembre 08, 2007
componente connessa (I)
quant'è bella giovinezza che si fugge tuttavia!
lorenzo de'medici
in risposta ad un mio amico barese, ecco qua una spiegazione visiva del significato del termine "componente connessa".
immaginiamo di vivere in un arcipelago di isole, collegate tra loro da ponti, ognuno dei quali è percorso da una strada a doppio senso. l'isola dove noi viviamo si chiama aaaahh. un giorno prendiamo la macchina e ci avviamo per il primo ponte che incontriamo, che si chiama uuunnno. per semplicità, supponiamo che l'unica strada interna alle isole sia una litoranea percorribile solo in senso orario, cosicchè esiste un unico primo ponte che si incontra partendo da un qualsiasi punto della strada. prima di attraversare il ponte disegniamo su un foglietto un punto rappresentante l'isola e una linea per il ponte.
attraversiamo questo ponte ed arriviamo su di una seconda isola, l'isola di bbbbee. nuovamente cerchiamo il primo ponte, che chiamiamo ddueeee. potrebbe essere quello da cui siamo appena arrivati, nel caso ci sia un solo ponte per bbbbee. in questo caso facciamo sul nostro foglietto una croce su bbbbee, per segnarci che abbiamo percorso tutti i ponti, e torniamo a aaaahh, a prendere il successivo ponte. nell'altro caso, segniamo sulla carta prendiamo il ponte ddueeee e proseguiamo per andare all'isola di cccì.
li proseguiremo questa operazione in un'ovvia progressione; alla fine avremo solo isole segnate da croci sulla nostra carta: quella che vediamo disegnata è una componente connessa del grafo delle isole.
le altre le possiamo trovare volando con l'aereo su un'altra isola e ricominciando il gioco...
lorenzo de'medici
in risposta ad un mio amico barese, ecco qua una spiegazione visiva del significato del termine "componente connessa".
immaginiamo di vivere in un arcipelago di isole, collegate tra loro da ponti, ognuno dei quali è percorso da una strada a doppio senso. l'isola dove noi viviamo si chiama aaaahh. un giorno prendiamo la macchina e ci avviamo per il primo ponte che incontriamo, che si chiama uuunnno. per semplicità, supponiamo che l'unica strada interna alle isole sia una litoranea percorribile solo in senso orario, cosicchè esiste un unico primo ponte che si incontra partendo da un qualsiasi punto della strada. prima di attraversare il ponte disegniamo su un foglietto un punto rappresentante l'isola e una linea per il ponte.
attraversiamo questo ponte ed arriviamo su di una seconda isola, l'isola di bbbbee. nuovamente cerchiamo il primo ponte, che chiamiamo ddueeee. potrebbe essere quello da cui siamo appena arrivati, nel caso ci sia un solo ponte per bbbbee. in questo caso facciamo sul nostro foglietto una croce su bbbbee, per segnarci che abbiamo percorso tutti i ponti, e torniamo a aaaahh, a prendere il successivo ponte. nell'altro caso, segniamo sulla carta prendiamo il ponte ddueeee e proseguiamo per andare all'isola di cccì.
li proseguiremo questa operazione in un'ovvia progressione; alla fine avremo solo isole segnate da croci sulla nostra carta: quella che vediamo disegnata è una componente connessa del grafo delle isole.
le altre le possiamo trovare volando con l'aereo su un'altra isola e ricominciando il gioco...
sabato, novembre 03, 2007
buona notte
dolce e chiara è la notte e senza vento,
e queta sovra i tetti e in mezzo agli orti
posa la luna, e di lontan rivela
serena ogni montagna.
g. leopardi
premesso che non sono costretto a "gettarmi a terra, gridare e fremere" come il buon giacomo (anzi, oggi ho anche rifiutato un invito al rockside della mia graziosa coinquilina), ammetto che ho passato tutta la serata a fare conti.
con questi risultati.
Congettura
La matrice di di incidenza di un grafo è un operatore limitato su l^2 se e solo se il grafo contiene O(k) nodi di grado k.
Dimostrazione
Speriamo domani.
PS: se qualcuno fosse infastidito dalla notazione con O(k): vuol dire semplicemente che il limite superiore del numero dei nodi di grado k diviso k è minore di infinito.
e queta sovra i tetti e in mezzo agli orti
posa la luna, e di lontan rivela
serena ogni montagna.
g. leopardi
premesso che non sono costretto a "gettarmi a terra, gridare e fremere" come il buon giacomo (anzi, oggi ho anche rifiutato un invito al rockside della mia graziosa coinquilina), ammetto che ho passato tutta la serata a fare conti.
con questi risultati.
Congettura
La matrice di di incidenza di un grafo è un operatore limitato su l^2 se e solo se il grafo contiene O(k) nodi di grado k.
Dimostrazione
Speriamo domani.
PS: se qualcuno fosse infastidito dalla notazione con O(k): vuol dire semplicemente che il limite superiore del numero dei nodi di grado k diviso k è minore di infinito.
mercoledì, ottobre 31, 2007
implicazioni
l'intelligenza non è misurabile: non esiste
pietro greco dell'unità
ho già discusso di pietro greco, il giornalista scientifico dell'unità. precisamente qui e qui.
oggi decide di affermare qui che l'intelligenza non è misurabile perchè non esiste. ora accetto che lui voglia dimostrare con tutti i mezzi che watson dice cretinate. però bisogna essere giusti e dire che anche greco dice cretinate.
se leggete l'articolo egli ragiona in questa maniera: l'intelligenza non esiste. infatti tutti i tentativi di misurarla con un solo parametro sono falliti. quindi ne deduciamo che non esiste e quindi watson ha torto.
ora, premesso che mi sembra una dimostrazione di questo tipo, mi sembra anche che sia semplicemente sbagliato: l'intelligenza si può misurare; non ha un solo parametro e non è costante nel tempo (come peraltro greco fa giustamente notare nel corso dell'articolo), però esiste ed è misurabile.
ps: a questo proposito segnalo il post di oggi di chris chatham.
pietro greco dell'unità
ho già discusso di pietro greco, il giornalista scientifico dell'unità. precisamente qui e qui.
oggi decide di affermare qui che l'intelligenza non è misurabile perchè non esiste. ora accetto che lui voglia dimostrare con tutti i mezzi che watson dice cretinate. però bisogna essere giusti e dire che anche greco dice cretinate.
se leggete l'articolo egli ragiona in questa maniera: l'intelligenza non esiste. infatti tutti i tentativi di misurarla con un solo parametro sono falliti. quindi ne deduciamo che non esiste e quindi watson ha torto.
ora, premesso che mi sembra una dimostrazione di questo tipo, mi sembra anche che sia semplicemente sbagliato: l'intelligenza si può misurare; non ha un solo parametro e non è costante nel tempo (come peraltro greco fa giustamente notare nel corso dell'articolo), però esiste ed è misurabile.
ps: a questo proposito segnalo il post di oggi di chris chatham.
lunedì, ottobre 29, 2007
grafi funzionali (II)
qui consideravo la possibilità di associare ad un grafo una funzione bilineare su un qualche spazio ancora da identificare. il problema nel risolvere questo esercizio è che non è possibile scegliere l'insieme potenza di V corredato dell'operazione di unione, dato che in tal caso la matrice di adiacenza induce una forma sublineare.
ecco una possibilità: si consideri un insieme di punti V e l'insieme delle funzioni definite su V e assumenti valori nei numeri naturali che denoto
si noti che ad ognunga di queste funzioni si può canonicamente associare un sottoinsieme pesato di V. il peso di ogni punto è pari al valore assunto dalla funzione nel punto.
si consideri adesso la matrice delle adiacenze A di un grafo G avente come insieme di vertici V. si consideri la funzione F: C(V) x C(V) --> N definita specificando i suoi valori sugli elementi della base canonica
per costruzione F è bilinerare, se non ho fatto errori.
fissata F, esiste un grafo che induce F?
ecco una possibilità: si consideri un insieme di punti V e l'insieme delle funzioni definite su V e assumenti valori nei numeri naturali che denoto
si noti che ad ognunga di queste funzioni si può canonicamente associare un sottoinsieme pesato di V. il peso di ogni punto è pari al valore assunto dalla funzione nel punto.
si consideri adesso la matrice delle adiacenze A di un grafo G avente come insieme di vertici V. si consideri la funzione F: C(V) x C(V) --> N definita specificando i suoi valori sugli elementi della base canonica
per costruzione F è bilinerare, se non ho fatto errori.
fissata F, esiste un grafo che induce F?
venerdì, ottobre 26, 2007
grafi funzionali (I)
convergenze parallele è un'espressione tipica della lingua italiana, e in particolare del lessico politico o politichese.
wikipedia
oggi ho ricominciato a lavorare alla mia tesi e ho aggiunto un paragrafo sui diversi formalismi possibili quando si parla di grafi.
uno dei formalismi più utili, se non si ritiene necessario numerare i lati, è quello che considera la matrice delle adiacenze A che è definita ponendo a_{ij}=1 se e solo se un lato va dal vertice i a quello j e 0 altrimenti.
se consideriamo un grafo semplice, cioè senza lati multipli, allora è facile vedere che questa matrice di adiacenza è identificabile con una funzione F a valori booleani definita sull'insieme dei vertici V dalla relazione
si vede che questo formalismo si estende senza difficoltà al caso in cui il grafo abbia lati mutlipli se si concede a F di assumere valori nei naturali. ora però voglio estenderlo un po' di più. voglio sostituire vertici i e j con sottoinsiemi I e J dell'insieme dei vertici V. è facile farlo. si definisca F(I,J) come il numero dei vertici che congiungono un qualsiasi elemento di I a un qualsiasi elemento di J. in formule
sarebbe bello che F fosse lineare rispetto alla somma definita tramite l'unione di sottoinsiemi. solo che non lo è: è solo subilineare. e quindi questo tentativo di definire una forma sesqulineare discreta sullo spazio delle configurazioni di punti fallisce miseramente.
wikipedia
oggi ho ricominciato a lavorare alla mia tesi e ho aggiunto un paragrafo sui diversi formalismi possibili quando si parla di grafi.
uno dei formalismi più utili, se non si ritiene necessario numerare i lati, è quello che considera la matrice delle adiacenze A che è definita ponendo a_{ij}=1 se e solo se un lato va dal vertice i a quello j e 0 altrimenti.
se consideriamo un grafo semplice, cioè senza lati multipli, allora è facile vedere che questa matrice di adiacenza è identificabile con una funzione F a valori booleani definita sull'insieme dei vertici V dalla relazione
si vede che questo formalismo si estende senza difficoltà al caso in cui il grafo abbia lati mutlipli se si concede a F di assumere valori nei naturali. ora però voglio estenderlo un po' di più. voglio sostituire vertici i e j con sottoinsiemi I e J dell'insieme dei vertici V. è facile farlo. si definisca F(I,J) come il numero dei vertici che congiungono un qualsiasi elemento di I a un qualsiasi elemento di J. in formule
sarebbe bello che F fosse lineare rispetto alla somma definita tramite l'unione di sottoinsiemi. solo che non lo è: è solo subilineare. e quindi questo tentativo di definire una forma sesqulineare discreta sullo spazio delle configurazioni di punti fallisce miseramente.
giovedì, ottobre 25, 2007
random neurons (I)
gott würfelt nicht
albert einstein
martedì ho tenuto il seminario conclusivo del mio soggiorno a freiburgo. mi è piaciuto molto questo periodo qui e cerco quindi di spiegare cosa ho imparato. così spiego anche cosa intendevo in questo post.
l'ipotesi zero è che i neuroni scarichino potenziali d'azione in maniera casuale. l'obbiettivo finale è di scoprire tramite registrazioni di serie di potenziali d'azione provenienti contemporaneamente da diversi neuroni quali sono le carrateristiche statistiche dei neuroni singoli.
il modello matematico che scegliamo per un singolo neurone è quello di un processo di rinnovamento: ogni neurone singolo viene identificato con una successione di variabili aleatorie (X_i)_{i \in N} che rapprestano i tempi intercorrenti fra potenziali d'azioni successivi. si suppone che tali variabili siano indipendenti e identicamente distribuite.
ciò che si osserva nelle immagini che ho linkato sopra è allora nient'altro che una realizzazione della successione (S_n)_{n \in N} di variabili casuali che definisco tramite
si noti che abbiamo implicitamente posto l'origine del riferimento temporale coincidente col primo potenziale d'azione: quindi, S_n non è altro che il tempo a cui si registra l'n+1esimo potenziale d'azione.
una grandezza fondamentale per tale successione è la funzione di rinnovamento H che è definita ponendo H(t) uguale al valore atteso del numero dei potenziali d'azione registrati fino a t. indicando con N_t il numero di potenziali d'azione registrati nella nostra particolare realizzazione, si scrive in formule
si noti che N_t è essa stessa, per ogni t, una variabile aleatoria, e quindi se ne possono prendere K diverse copie indipendenti, ognuna che possiamo identificare con un singolo neurone di quelli che fanno parte della popolazione che abbiamo registrato. volendo possiamo assegnare ad ogni neurone un'etichetta, diciamo k, per distinguerli l'uno dall'altro. per cui le variabili aleatorie in questione diventano N^k_t.
in uno dei prossimi post mi propongo di dimostrare l'utile e facile formula
di interpretarla e di trarne qualche interessante conseguenza.
albert einstein
martedì ho tenuto il seminario conclusivo del mio soggiorno a freiburgo. mi è piaciuto molto questo periodo qui e cerco quindi di spiegare cosa ho imparato. così spiego anche cosa intendevo in questo post.
l'ipotesi zero è che i neuroni scarichino potenziali d'azione in maniera casuale. l'obbiettivo finale è di scoprire tramite registrazioni di serie di potenziali d'azione provenienti contemporaneamente da diversi neuroni quali sono le carrateristiche statistiche dei neuroni singoli.
il modello matematico che scegliamo per un singolo neurone è quello di un processo di rinnovamento: ogni neurone singolo viene identificato con una successione di variabili aleatorie (X_i)_{i \in N} che rapprestano i tempi intercorrenti fra potenziali d'azioni successivi. si suppone che tali variabili siano indipendenti e identicamente distribuite.
ciò che si osserva nelle immagini che ho linkato sopra è allora nient'altro che una realizzazione della successione (S_n)_{n \in N} di variabili casuali che definisco tramite
si noti che abbiamo implicitamente posto l'origine del riferimento temporale coincidente col primo potenziale d'azione: quindi, S_n non è altro che il tempo a cui si registra l'n+1esimo potenziale d'azione.
una grandezza fondamentale per tale successione è la funzione di rinnovamento H che è definita ponendo H(t) uguale al valore atteso del numero dei potenziali d'azione registrati fino a t. indicando con N_t il numero di potenziali d'azione registrati nella nostra particolare realizzazione, si scrive in formule
si noti che N_t è essa stessa, per ogni t, una variabile aleatoria, e quindi se ne possono prendere K diverse copie indipendenti, ognuna che possiamo identificare con un singolo neurone di quelli che fanno parte della popolazione che abbiamo registrato. volendo possiamo assegnare ad ogni neurone un'etichetta, diciamo k, per distinguerli l'uno dall'altro. per cui le variabili aleatorie in questione diventano N^k_t.
in uno dei prossimi post mi propongo di dimostrare l'utile e facile formula
di interpretarla e di trarne qualche interessante conseguenza.
mercoledì, ottobre 24, 2007
ghiaccio
la desertificazione è il processo di degradazione del suolo causato da numerosi fattori, tra cui variazioni climatiche e attività umane.
wikipedia
prendendo spunto da questa discussione facciamo un conto che risponda a questa domanda: verremo sommersi dai ghiacci dell'antardide? per rispondere a questa domanda è necessario risolvere questo semplice esercizio:
Esercizio
Si stimi l'innalzamento degli oceani osservabile nel caso del riscaldamento di 1°C dell'atmosfera.
Si utilizzino le costanti presentu su Wikipedia.
Soluzione
Passo 1
Dato che la terra è approssimativamente in equilibrio termico si può cominciare stimando al rialzo la quantità di calore necessaria per ottenere l'innalzamento di 1°C delle calotte polari. Le calotte polari e tuti i ghiacciai contengono 25x10^6 Km^3 di ghiaccio. Supponiamo che si trovino tutte in antartide; 25x10^6 Km^3 corrispondono a un po' meno di 2.5x10^22 grammi di acqua. A circa 4 J per grado per grammo si ottengono 10^23 joule necessari per ottenere questo riscaldamento.
Passo 2
Supponiamo adesso che tutto questo calore destinato alla massa di ghiaccio non venga utilizzato equamente per riscaldare le molecole, ciascuna secondo la sua temperatura, ma vengano utilizzate tutte per sciogliere il ghiaccio che si trova a zero gradi, ciò che vengano utilizzate tutte per superare l'energia latente del ghiaccio. Il calore latente dell'acqua è 3.35x10^2 J per grammo. Cosicchè si ottiene che possiamo scogliere 3x10^20 grammi di ghiaccio, che corrispondono a circa 3x10^4 chilometri cubi di ghiacci.
Passo 3
Dividiamo adesso questi chilometri cubi di ghiaccio per la superficie degli oceani: 3x10^8 Km^2. Come vi vede subito, si ottengono 10^-4 Km di innalzamento del livello dei mari per ogni grado di innalzamento.
cosa abbiamo calcolato? che per ogni grado di cui la temperatura si alza, il livello del mare si può alzare al massimo di 10 cm. si noti che abbiamo fatto tutti i conti in abbondante vantaggio di stabilità. c'è da preoccuparsi? si noti che per ottenere un innalzamento di 1 metro, che non riuscirebbe nemmeno a sommergere tutto il lungomare di bari, sarebbe necessario un innalzamento della temperatura di 10 gradi (dieci!) centigradi. sempre in questo calcolo dove abbiamo approssimato tutto a favore dei catastrofisti...
il vero problema del riscaldamento globale non è lo scioglimento dei ghiacci, ma la desertificazione, che però, come spiega wiki, spesso ha origine dallo sfruttamento intensivo della popolazione che si stabilisce nel territorio per coltivarlo oppure dalle necessità industriali e di utilizzo per il pascolo.
specifico: non sono contro kyoto o per il petrolio o il nucleare, anzi! solo che preferisco si parli delle cose così come stanno. o perlomeno che si cerchi di ragionarci. soprattutto vedendo cosa siamo riusciti ad affermare nel passato...
ps: ho già fatto un calcolo del genere, una volta...
wikipedia
prendendo spunto da questa discussione facciamo un conto che risponda a questa domanda: verremo sommersi dai ghiacci dell'antardide? per rispondere a questa domanda è necessario risolvere questo semplice esercizio:
Esercizio
Si stimi l'innalzamento degli oceani osservabile nel caso del riscaldamento di 1°C dell'atmosfera.
Si utilizzino le costanti presentu su Wikipedia.
Soluzione
Passo 1
Dato che la terra è approssimativamente in equilibrio termico si può cominciare stimando al rialzo la quantità di calore necessaria per ottenere l'innalzamento di 1°C delle calotte polari. Le calotte polari e tuti i ghiacciai contengono 25x10^6 Km^3 di ghiaccio. Supponiamo che si trovino tutte in antartide; 25x10^6 Km^3 corrispondono a un po' meno di 2.5x10^22 grammi di acqua. A circa 4 J per grado per grammo si ottengono 10^23 joule necessari per ottenere questo riscaldamento.
Passo 2
Supponiamo adesso che tutto questo calore destinato alla massa di ghiaccio non venga utilizzato equamente per riscaldare le molecole, ciascuna secondo la sua temperatura, ma vengano utilizzate tutte per sciogliere il ghiaccio che si trova a zero gradi, ciò che vengano utilizzate tutte per superare l'energia latente del ghiaccio. Il calore latente dell'acqua è 3.35x10^2 J per grammo. Cosicchè si ottiene che possiamo scogliere 3x10^20 grammi di ghiaccio, che corrispondono a circa 3x10^4 chilometri cubi di ghiacci.
Passo 3
Dividiamo adesso questi chilometri cubi di ghiaccio per la superficie degli oceani: 3x10^8 Km^2. Come vi vede subito, si ottengono 10^-4 Km di innalzamento del livello dei mari per ogni grado di innalzamento.
cosa abbiamo calcolato? che per ogni grado di cui la temperatura si alza, il livello del mare si può alzare al massimo di 10 cm. si noti che abbiamo fatto tutti i conti in abbondante vantaggio di stabilità. c'è da preoccuparsi? si noti che per ottenere un innalzamento di 1 metro, che non riuscirebbe nemmeno a sommergere tutto il lungomare di bari, sarebbe necessario un innalzamento della temperatura di 10 gradi (dieci!) centigradi. sempre in questo calcolo dove abbiamo approssimato tutto a favore dei catastrofisti...
il vero problema del riscaldamento globale non è lo scioglimento dei ghiacci, ma la desertificazione, che però, come spiega wiki, spesso ha origine dallo sfruttamento intensivo della popolazione che si stabilisce nel territorio per coltivarlo oppure dalle necessità industriali e di utilizzo per il pascolo.
specifico: non sono contro kyoto o per il petrolio o il nucleare, anzi! solo che preferisco si parli delle cose così come stanno. o perlomeno che si cerchi di ragionarci. soprattutto vedendo cosa siamo riusciti ad affermare nel passato...
ps: ho già fatto un calcolo del genere, una volta...
lunedì, ottobre 22, 2007
delusioni
prima di tutto dobbiamo guardarci dal credere, trascinando così la nostra anima in questa opinione, che non ci sia alcun ragionamento sano. piuttosto, dobbiamo credere che siamo noi a non essere sani; proprio per questo, però, dobbiamo farci coraggio e impegnarci con tutte le forze per diventare sani
socrate
consiglio di leggere tutto il passo in questione del fedone; si trova un po' dopo la metà, quando socrate incomincia a rispondere a simmia e cebete (90-91).
socrate spiega perchè si diventa avversi ai ragionamenti; come spesso ci si affida prematuramente agli uomini, così ci si affida anche prematuramente a ragionamenti, rimanendo poi profondamente delusi se essi si rivelano fallaci. e conclude spiegando che ciò porta a diventare "odiatori di ragionamenti".
che poi è la stessa terribile sensazione che si prova quando qualcuno ti fa vedere che la tua dimostrazione era sbagliata...
socrate
consiglio di leggere tutto il passo in questione del fedone; si trova un po' dopo la metà, quando socrate incomincia a rispondere a simmia e cebete (90-91).
socrate spiega perchè si diventa avversi ai ragionamenti; come spesso ci si affida prematuramente agli uomini, così ci si affida anche prematuramente a ragionamenti, rimanendo poi profondamente delusi se essi si rivelano fallaci. e conclude spiegando che ciò porta a diventare "odiatori di ragionamenti".
che poi è la stessa terribile sensazione che si prova quando qualcuno ti fa vedere che la tua dimostrazione era sbagliata...
venerdì, ottobre 19, 2007
apologia
meglio tardi che mai
mio nonno
la matematica è una cosa strana: m si studia per anni e anni un argomento, e non si capisce mai quale ne sia il senso, e lo si disprezza, e ci si dice "si, dovrei studiare anche questo", ma non se ne ha voglia e si cerca di evitare.
fino a quando, un giorno, d'improvviso, mentre si cerca di dimostrare un risultato per la densità spettrale di sequenze di potenziali d'azioni, si viene fulminati dal vero significato della vita.
in questo caso, delle variabili aleatorie.
consideriamo un insieme finito di numeri reali A=(a_1, ... , a_k). si definisca adesso una successione tramite
in pratica percorriamo tutti gli a_j dal primo all'ultimo, e poi ricominciamo. è evidente che tale successione non converge: ha esattamente k punti di accumulazione. tuttavia, se consideriamo il limite secondo cesaro, di cui ho parlato anche l'ultima volta, allora si vede subito che
in realtà, si vede subito che non è necessario definire la successione in tale maniera artificiosa. come prima generalizzazione si scelga ad ogni "giro" un nuovo ordine in cui vengono assunti i valori. si vede, quindi, che è possibile definirla in una maniera arbitraria, purchè la densità relativa che i valori valori a_j sia uguale. se le densità sono diverse (si noti che non ho ancora definito cos'è questa densità e che non lo farò), allora il limite secondo cesaro altro non sarà che una media pesata, dove il peso altro non è che la densità del valore in questione.
ora, supponiamo di non volerci fissare su una specifica, per quanto arbitraria, scelta dell'ordine dei valori assunti dalla successione. vogliamo lasciare la massima libertà, e scegliere una successione in maniera in parte algoritmica cioè deterministica, e in parte casuale, cioè stocastica.
per ogni n scegliamo un numero a caso fra gli elementi di A, purchè alla fine (per n grande) siano rispettate le densità relative. cosa abbiamo fatto? non abbiamo fatto altro che definire una successione indipendente di variabili aleatorie X, ognuna di esse avente la seguente distribuzione: con probabilità p_j pari alla densità del numero in questione, viene assunto il valore a_j.
per capire la connessione tra limite secondo cesaro e il valore atteso si consideri ogni successione scelta secondo tale algoritmo come una particolare realizzazione di questa successione di variabili aleatorie. il limite secondo cesaro di tale realizzazione esiste ed è uguale al valore atteso della variabile aleatoria. cioè, indicando con X tale variabile aleatoria,
qua si vede il vantaggio dell'approccio stocastico: non è necessario fermarsi a variabili aleatorie a valori in un insieme finito, o numerabile. si può assumere che la variabile aleatoria abbia valori reali. e mentre nel caso numerabile sarebbe possibile definire la successione in questione in maniera algoritmica, dato che è possibile assegnare ad ogni valore che può assumere X una densità finita maggiore di 0, ciò diventa impossibile nel caso continuo, rendendo necessario il ricorso al concetto di variabile aleatoria.
prima o poi devo spiegare cosa ha che fare tutto ciò con la densità spettrale di una popolazione neuronale.
mio nonno
la matematica è una cosa strana: m si studia per anni e anni un argomento, e non si capisce mai quale ne sia il senso, e lo si disprezza, e ci si dice "si, dovrei studiare anche questo", ma non se ne ha voglia e si cerca di evitare.
fino a quando, un giorno, d'improvviso, mentre si cerca di dimostrare un risultato per la densità spettrale di sequenze di potenziali d'azioni, si viene fulminati dal vero significato della vita.
in questo caso, delle variabili aleatorie.
consideriamo un insieme finito di numeri reali A=(a_1, ... , a_k). si definisca adesso una successione tramite
in pratica percorriamo tutti gli a_j dal primo all'ultimo, e poi ricominciamo. è evidente che tale successione non converge: ha esattamente k punti di accumulazione. tuttavia, se consideriamo il limite secondo cesaro, di cui ho parlato anche l'ultima volta, allora si vede subito che
in realtà, si vede subito che non è necessario definire la successione in tale maniera artificiosa. come prima generalizzazione si scelga ad ogni "giro" un nuovo ordine in cui vengono assunti i valori. si vede, quindi, che è possibile definirla in una maniera arbitraria, purchè la densità relativa che i valori valori a_j sia uguale. se le densità sono diverse (si noti che non ho ancora definito cos'è questa densità e che non lo farò), allora il limite secondo cesaro altro non sarà che una media pesata, dove il peso altro non è che la densità del valore in questione.
ora, supponiamo di non volerci fissare su una specifica, per quanto arbitraria, scelta dell'ordine dei valori assunti dalla successione. vogliamo lasciare la massima libertà, e scegliere una successione in maniera in parte algoritmica cioè deterministica, e in parte casuale, cioè stocastica.
per ogni n scegliamo un numero a caso fra gli elementi di A, purchè alla fine (per n grande) siano rispettate le densità relative. cosa abbiamo fatto? non abbiamo fatto altro che definire una successione indipendente di variabili aleatorie X, ognuna di esse avente la seguente distribuzione: con probabilità p_j pari alla densità del numero in questione, viene assunto il valore a_j.
per capire la connessione tra limite secondo cesaro e il valore atteso si consideri ogni successione scelta secondo tale algoritmo come una particolare realizzazione di questa successione di variabili aleatorie. il limite secondo cesaro di tale realizzazione esiste ed è uguale al valore atteso della variabile aleatoria. cioè, indicando con X tale variabile aleatoria,
qua si vede il vantaggio dell'approccio stocastico: non è necessario fermarsi a variabili aleatorie a valori in un insieme finito, o numerabile. si può assumere che la variabile aleatoria abbia valori reali. e mentre nel caso numerabile sarebbe possibile definire la successione in questione in maniera algoritmica, dato che è possibile assegnare ad ogni valore che può assumere X una densità finita maggiore di 0, ciò diventa impossibile nel caso continuo, rendendo necessario il ricorso al concetto di variabile aleatoria.
prima o poi devo spiegare cosa ha che fare tutto ciò con la densità spettrale di una popolazione neuronale.
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